第01讲 集合与常用逻辑用语（复习讲义）（广东小高考专用）2026年春季高考数学

专题01集合与常用逻辑用语 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 4 考点一 元素与集合之间的关系 4 考点二 集合之间的基本关系（重点） 4 考点三 集合的交、并、补运算 6 考点四 利用集合的运算求参数值或范围（难点） 7 考点五 充分、必要条件的判定（重点） 7 考点六 根据充分、必要条件求参数范围（难点） 9 考点七 判断全称、存在量词命题的真假及其否定 9 考点八 根据含量词命题的真假求参数（难点） 10 实战精练与提升 11 考情解读 一、考试要求 了解集合含义、元素与集合的属于关系，能用多种语言描述具体问题； 理解集合间包含与相等含义、全集与空集意义，会求集合并集、交集与补集，能用韦恩图表达集合关系及运算； 理解命题、充要条件、量词意义，能否定含一个量词的命题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2026年在选择题中考查集合的运算 充分条件和必要条件 5年3考 判断充分条件和必要条件 预测2026年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年1考 含有量词命题的否定 预测2026年在选择或填空题中考查命题的否定 知识梳理 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点3、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 知识点4、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 3.充分必要条件判断的常用方法： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点5、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 考点精讲 考点一 元素与集合之间的关系 解题策略 判断元素与集合关系的方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例1．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 练习2．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习4．集合，若，则的取值可能 .（写出一个满足题意的答案即可） 考点二 集合之间的基本关系 解题策略 判断集合间关系的方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系． 例3．集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 例4．（2024·25高一上·广东汕头·阶段练习）设集合和，那么M与P的关系为 ． 练习1．（2024·25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，则集合A的非空真子集有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 练习2．设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 练习3．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 练习4．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三 集合的交、并、补运算 解题策略 求集合交、并、补集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果． （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 例5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例6．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 练习1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 练习2．设集合，则集合中所含整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 练习3．已知，则（    ） A． B． C． D．或 练习4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点四 利用集合的运算求参数值或范围 解题策略 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路如下: ①将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 ②将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 例7．已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8．设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 练习1．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 练习2．已知集合，，若，则实数（    ）． A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1 练习3．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习4．已知集合. 若，则的取值范围为 . 考点五 充分、必要条件的判定 解题策略 充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例10．已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 练习1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3．已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习4．已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点六 根据充分、必要条件求参数范围 解题策略 根据充分、必要条件求参数范围，关键是先将条件转化为集合间的包含关系（如是的充分条件则，必要条件则）；再明确两个条件对应的集合，结合集合边界是否可取（端点值需单独验证是否满足条件），列出不等式（组）；最后解不等式（组），得到参数范围，注意端点值的取舍要符合逻辑关系。 例11．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例12．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习3．已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习4．若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 考点七 判断全称、存在量词命题的真假及其否定 解题策略 （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题nn 例13．命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 例14．已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 练习1．已知命题，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 练习2．已知命题，，，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题 C．和q都是真命题 D．和都是真命题 练习3．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 练习4．已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 考点八 根据含量词命题的真假求参数 解题策略 含量词命题求参数范围的2类题型： （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 例15．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例16．若命题“”是假命题，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．3 练习1．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习2．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 练习3．命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 练习4．若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ． nn实战训练 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则集合中元素个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知实数a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 7．若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设集合，则 . 9．已知集合，则 . 10．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 11．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 12．若全集， ，且，则的值为 . 13．已知集合，集合，若，则 ． 14．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01集合与常用逻辑用语 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 4 考点一 元素与集合之间的关系 4 考点二 集合之间的基本关系（重点） 4 考点三 集合的交、并、补运算 8 考点四 利用集合的运算求参数值或范围（难点） 10 考点五 充分、必要条件的判定（重点） 10 考点六 根据充分、必要条件求参数范围（难点） 14 考点七 判断全称、存在量词命题的真假及其否定 14 考点八 根据含量词命题的真假求参数（难点） 16 实战精练与提升 18 考情解读 一、考试要求 了解集合含义、元素与集合的属于关系，能用多种语言描述具体问题； 理解集合间包含与相等含义、全集与空集意义，会求集合并集、交集与补集，能用韦恩图表达集合关系及运算； 理解命题、充要条件、量词意义，能否定含一个量词的命题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2026年在选择题中考查集合的运算 充分条件和必要条件 5年3考 判断充分条件和必要条件 预测2026年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年1考 含有量词命题的否定 预测2026年在选择或填空题中考查命题的否定 知识梳理 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点3、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 知识点4、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 3.充分必要条件判断的常用方法： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点5、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 考点精讲 考点一 元素与集合之间的关系 解题策略 判断元素与集合关系的方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例1．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 例2．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 练习1．（2024·25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 练习2．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 故选：D. 练习3．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】若，， 则可能为，所以的元素个数为3. 故选：C. 练习4．集合，若，则的取值可能 .（写出一个满足题意的答案即可） 【答案】 【详解】若，满足，，所以可以是中任意一个，可以是， 故答案为：.（答案不唯一） 考点二 集合之间的基本关系 解题策略 判断集合间关系的方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系． 例3．集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】A 【详解】因为， 所以则的子集有个， 故选：A. 例4．（2024·25高一上·广东汕头·阶段练习）设集合和，那么M与P的关系为 ． 【答案】 【详解】同号， 又，即集合M的表达方式等价于集合P的表达方式，； 故答案为：. 练习1．（2024·25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，则集合A的非空真子集有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由集合， 所以集合的非空真子集为：，，，，，，共有6个. 故选：B. 练习2．设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，所以. 故选：B 练习3．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D 练习4．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 考点三 集合的交、并、补运算 解题策略 求集合交、并、补集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果． （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 例5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A 例6．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解方程：， 因式分解得：， 解得：或， 因此，； 满足 的自然数 为：， 因此，， 故. 故选：C 练习1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知. 故选：D 练习2．设集合，则集合中所含整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】，其中所含的整数有，，，，共个. 故选：C. 练习3．已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 练习4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 可得，则得，故A正确. 故选：A. 考点四 利用集合的运算求参数值或范围 解题策略 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路如下: ①将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 ②将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 例7．已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知解得：， 因为 所以． 故选：D． 例8．设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 故选：A. 练习1．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】，∴． ∴当时，；当时，；当时，， ∴m的值为0，1，，∴m的值为． 故答案为：. 练习2．已知集合，，若，则实数（    ）． A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1 【答案】A 【详解】由，可得. 若，则成立； 若，又，则或，则或. 综上可得或或. 故选：A 练习3．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 练习4．已知集合. 若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 考点五 充分、必要条件的判定 解题策略 充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，成立，故充分性满足， 当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 例10．已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 练习1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则有，所以； 若，比如，但是 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 练习2．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 练习3．已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 练习4．已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“”，不能得到“函数是偶函数”， 由“函数是偶函数”可得“”， 则“”是“函数是偶函数”的必要不充分条件. 故选：B 考点六 根据充分、必要条件求参数范围 解题策略 根据充分、必要条件求参数范围，关键是先将条件转化为集合间的包含关系（如是的充分条件则，必要条件则）；再明确两个条件对应的集合，结合集合边界是否可取（端点值需单独验证是否满足条件），列出不等式（组）；最后解不等式（组），得到参数范围，注意端点值的取舍要符合逻辑关系。 例11．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 例12．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 练习1．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 练习2．已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 练习3．已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是的充分不必要条件，得是的非空真子集， 则，解得，而当时，，当时，符合题意， 所以实数的取值范围为. 故选：C 练习4．若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，或， 因为“”是“或”的充分不必要条件， 所以是或的真子集， 所以， 故选：A. 考点七 判断全称、存在量词命题的真假及其否定 解题策略 （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题nn 例13．命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题，的否定是，. 故选：A. 例14．已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】由，所以命题为假命题，则命题为真命题； 又由当时，，所以命题为真命题，则为假命题. 故选：B. 练习1．已知命题，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】A 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题，它的否定， 所以对于命题，总有， 根据全称命题的否定规则，它的否定是：，使得． 故选：A． 练习2．已知命题，，，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题 C．和q都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，命题成立，所以命题p是真命题，命题是假命题； 当时，命题不成立，所以命题q是真命题，命题是真命题. 故选：B. 练习3．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C 练习4．已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，，故命题为假命题，命题为真命题； 当时，，故命题为真命题，命题为假命题； 故和都是真命题. 故选:B 考点八 根据含量词命题的真假求参数 解题策略 含量词命题求参数范围的2类题型： （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 例15．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 例16．若命题“”是假命题，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题知是真命题， 当，即时，恒成立，时，不恒成立； 当时，，解得， 综上得. 故选：B. 练习1．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意命题“，”为真命题， 当时，成立； 当时，成立； 当时，二次函数开口向下，不恒成立. 综上所述，. 故选：B. 练习2．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 练习3．命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 练习4．若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 即方程没有实数根， 所以，故， 所以的取值范围为. 故答案为：. nn实战训练 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：，即，又，. 故选：C. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故A错误； 对于B，由于或， 所以，故B错误； 对于C, 由于或，所以或，故C错误； 对于D，由于或，所以，故D正确； 故选：D． 3．已知集合，，则集合中元素个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由， 所以，故有2个元素. 故选：C 4．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意有“，”的否定是“，”， 故选：D. 5．已知实数a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立， 若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立， 故选：. 6．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 7．若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：如图所示，在长方体中，满足：，， 此时不垂直平面，故不满足充分性. 必要性：可推出，满足必要性. 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 8．设集合，则 . 【答案】 【详解】对于方程，根据十字相乘法可得. 则或，解得或，所以. 因为，所以. 故答案为：. 9．已知集合，则 . 【答案】 【详解】解集合A中的不等式，得， 就是求既属于A又属于的元素，所以. 故答案为： 10．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 11．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 12．若全集， ，且，则的值为 . 【答案】2或8 【详解】因为， ，且，所以，即的值为2或8， 故答案为2或8. 【点睛】本题主要考查补集的运算，属基础题. 13．已知集合，集合，若，则 ． 【答案】2 【详解】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 14．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $