专题01 集合与常用逻辑用语（必备知识+7大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

专题01 集合与常用逻辑用语 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一 元素与集合的关系…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…..5 考点二：集合中元素特征…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……6 考点三：集合中元间的基本关系……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..8 考点四：集合的运算…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………9 考点五：集合的新定义问题……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..12 考点六：充分必要条件的判断………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………13 考点七：充分必要条件的探求…………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………15 考点八：全称量词例题、存在量词真假与否定………………………………………………………………………………………………………………..……………17 实战精练与提升 19 考情解读 一、考试要求 了解集合含义与元素属于关系，掌握常用数集记法和两种表示方法；理解集合包含、相等关系，识别子集，知晓空集含义，会用 Venn 图表达集合关系；理解并集、交集、补集概念与简单性质，会求相关集合；理解充分条件、全称与存在量词意义，能正确否定对应命题并判断真假。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2026年在选择题中考查集合的概念与运算 充分条件和必要条件 5年4考 判断充分条件和必要条件 预测2026年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 预测2026年在选择中考查命题的否定 知识梳理 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 知识点4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点精讲 考点一 元素与集合的关系 解题策略 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例1-1（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例1-2若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【变式训练1-2】已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二：集合中元素特征 解题策略 应用集合元素的特性解题的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． ． 例2-1已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2-2（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【变式训练2-1】集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2-2】设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【变式训练2-3】举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 考点三：集合中元间的基本关系 解题策略 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 例3-1（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 例3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 例3-3（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点四：集合的运算 解题策略 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 例4-1已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 例4-2若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 例4-3已知集合，则（   ） A． B． C． D． 例4-4已知集合，则（ ） A． B． C． D． 例4-5（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 例4-6设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 例4-7已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】集合的真子集的个数是 . 【变式训练4-2】设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知全集，集合，，则 ，（ ． 【变式训练4-4】若集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知集合，，则 ． 考点五：集合的新定义问题 解题策略 集合新定义问题的解题方法 先紧扣新定义，明确元素属性、运算规则或集合关系 关键是 “先懂定义，再用实例，结合基础”，快速转化陌生概念为熟悉逻辑。紧扣新定义，提取关键词，明确元素类型、范围及运算规则，标注限制条件；取具体实例（列举元素、代入运算）验证定义理解，化抽象为具体；结合集合确定性、互异性等基本性质推理，排除矛盾情形，推导符合条件的结果。 例5-1设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【变式训练5-1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练5-2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点六：充分必要条件的判断 解题策略 充分、必要条件的判断方法 （1）命题判断法： ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例6-1已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6-2已知a，b均为正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-1】“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 【变式训练6-2】已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-3】已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点七：充分必要条件的探求 解题策略 根据充分必要条件求解参数的步骤 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 要注意：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件，故在用集合法判断解决题目时，注意两集合之间的关系 例7-1设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 例7-2已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 例7-3已知集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【变式训练7-1】已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ． 【变式训练7-2】不等式成立的一个必要不充分条件是 .（写出一个符合条件的答案即可） 【变式训练7-3】已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式训练7-5】已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式训练7-6】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 考点八：全称量词例题、存在量词真假与否定 解题策略 判断全称量词命题和存在量词命题的真假方法 （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 例8-1（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 例8-3下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 例8-4命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 例8-5（2025·云南·三模）已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（   ） A．p和q都是假命题 B．和q都是假命题 C．p和都是假命题 D．和都是假命题 【变式训练8-1】下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（    ） A． B．任意两个无理数之和仍是无理数 C． D．至少存在两个质数的平方是偶数 【变式训练8-2】命题“”的否定是 . 【变式训练8-3】定义新运算：，设，命题，则（ ） A．，且为假 B．，且为假 C．，且为真 D．，且为真 实战训练 1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 3．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 10．设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 目录 1 2 3 4 5 6 考情解读 一、考试要求 了解集合含义与元素属于关系，掌握常用数集记法和两种表示方法；理解集合包含、相等关系，识别子集，知晓空集含义，会用 Venn 图表达集合关系；理解并集、交集、补集概念与简单性质，会求相关集合；理解充分条件、全称与存在量词意义，能正确否定对应命题并判断真假。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2026年在选择题中考查集合的概念与运算 充分条件和必要条件 5年4考 判断充分条件和必要条件 预测2026年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 预测2026年在选择中考查命题的否定 知识梳理 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 知识点4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点精讲 考点一 元素与集合的关系 解题策略 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例1-1（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 例1-2若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 【变式训练1-1】集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，新以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 【变式训练1-2】已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，且，则，即. 考点二：集合中元素特征 解题策略 应用集合元素的特性解题的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 例2-1已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 例2-2（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 【变式训练2-1】集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【变式训练2-2】设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 【变式训练2-3】举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 考点三：集合中元间的基本关系 解题策略 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 例3-1（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 故选：B. 例3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 例3-3（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以当时满足题意，此时， 当时，要满足题意，则有 综上实数的取值范围为. 故选：A 【变式训练3-1】设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令或分类讨论即可． 因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上．故选：C． 考点四：集合的运算 解题策略 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 例4-1已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由，则，又，且， 所以，故子集个数为. 故选：B 例4-2若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 例4-3已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得，， 所以， 故选：D． 例4-4已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程组，解得，则. 故选：C． 例4-5（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【详解】联立，整理得， 解得，则，即，有1个元素. 故选：. 例4-6设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 例4-7已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由图可知，，不是空集， 故选：C 【变式训练4-1】集合的真子集的个数是 . 【答案】 【详解】由题意得，为的正因数， 故， 所以此集合的真子集个数为. 故答案为：. 【变式训练4-2】设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，． 【变式训练4-2】已知全集，集合，，则 ，（ ． 【答案】 或 或． 【详解】或  利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图： 则或．又，所以或，或． 【变式训练4-3】若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 故， 故选：C 【变式训练4-4】已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】由，得或或或 . 故答案为： 考点五：集合的新定义问题 解题策略 集合新定义问题的解题方法 先紧扣新定义，明确元素属性、运算规则或集合关系 关键是 “先懂定义，再用实例，结合基础”，快速转化陌生概念为熟悉逻辑。紧扣新定义，提取关键词，明确元素类型、范围及运算规则，标注限制条件；取具体实例（列举元素、代入运算）验证定义理解，化抽象为具体；结合集合确定性、互异性等基本性质推理，排除矛盾情形，推导符合条件的结果。 例5-1设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 【变式训练5-1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 【变式训练5-2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 【变式训练5-3】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 考点六：充分必要条件的判断 解题策略 充分、必要条件的判断方法 （1）命题判断法： ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例6-1已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则，，此时， 当时，也能得到， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 例6-2已知a，b均为正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，所以，即， 所以，所以，所以“”是“”的充分条件； 取，可得，故“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练6-1】“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 【答案】必要不充分 【详解】解：因为由可得或， 所以即且. 因为由“”不能推出“且”； 由“且”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【变式训练6-2】已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 【变式训练6-3】已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，因为l⊥β，所以l⊥α成立； 若l⊥α，因为l⊥β，根据与同一条直线垂直的两个平面平行，所以成立， 所以“”是“l⊥α”的充分必要条件. 故选：A． 考点七：充分必要条件的探求 解题策略 根据充分必要条件求解参数的步骤 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 要注意：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件，故在用集合法判断解决题目时，注意两集合之间的关系 例7-1设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 例7-2已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 例7-3已知集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，或， 则，故； （2），且“”是“”的充分不必要条件， 故A为的真子集，， 故，结合，解得， 即实数a的取值范围. 【变式训练7-1】已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】或， 则命题对应集合为. ，则命题对应集合为. 因的一个必要不充分条件是，则命题对应集合为命题对应集合的真子集， 则. 故答案为： 【变式训练7-2】不等式成立的一个必要不充分条件是 .（写出一个符合条件的答案即可） 【答案】（满足是其真子集即可，答案不唯一）. 【详解】因为， 设：，的一个必要不充分条件是，成立的集合记为B， 所以，， 所以集合A是集合B的真子集， 故（满足集合A是集合B的真子集即可）. 故答案为：（满足是其真子集即可，答案不唯一）. 【变式训练7-3】已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 【变式训练7-4】已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合或，或， 若是的必要条件，则， 当时，即时，此时，成立； 当时，即时，若，此时，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练7-5】已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 【变式训练7-6】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 考点八：全称量词例题、存在量词真假与否定 解题策略 判断全称量词命题和存在量词命题的真假方法 （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 例8-1（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【详解】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题. 故选：B. 例8-2下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【答案】B 【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立． 例8-3命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，故原命题的否定为. 故选：D 例8-4（2025·云南·三模）已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（   ） A．p和q都是假命题 B．和q都是假命题 C．p和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】D 【详解】由，可得或，则可以推出，充分性成立； 当时，或，故必要性不成立， 所以可得是的充分不必要条件，故p是真命题，则是假命题； 令，得到，化简得，解得或， 则“，”，故q是真命题，则是假命题，即和都是假命题，故D正确， 故选：D． 【变式训练8-1】下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（    ） A． B．任意两个无理数之和仍是无理数 C． D．至少存在两个质数的平方是偶数 【答案】C 【详解】AB是全称量词命题，排除，CD是存在量词命题， C，存在使得，故C正确； 对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误. 故选：C. 【变式训练8-2】命题“”的否定是 . 【答案】 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：. 【变式训练8-3】定义新运算：，设，命题，则（ ） A．，且为假 B．，且为假 C．，且为真 D．，且为真 【答案】D 【详解】因为，且， 则，， 可得，即命题为假命题， 所以，且为真命题. 故选：D. 实战训练 1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 3．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 7．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 8．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 9．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以命题为真命题； 由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题； 所以为真命题，、、为假命题. 故选：A． 10．设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的子集关系求解． 【详解】因为，且， 所以. 故选：D. 6 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $