精品解析：重庆十一中教育集团2025-2026学年八下半期质量监测数学试题

重庆十一中教育集团2025－2026学年八下半期质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的概念与计算，对各选项逐一验证即可得到正确答案． 【详解】A．，错误，不符合题意； B． 不是整式乘积的形式，不符合因式分解定义，错误，不符合题意； C．是分式，不是整式，结果不符合要求，错误，不符合题意； D．，符合因式分解要求，符合题意． 4. 函数 中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 6. 在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（ ） 小刚： 小强： A. x表示规定时间 B. y表示慢马的速度 C. *表示 D. △表示 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 7. 黑板上有一个不完整的题目：如图，在中，是的中点．，垂足分别为，．数学兴趣小组的两位同学发表了自己的观点．小明：是等腰三角形．小红：若，则．对于他们两人的观点（ ） A. 只有小明对 B. 只有小红对 C. 两人都对 D. 两人都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，运用等角对等边得到是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形，故小明的观点正确； 当时，由上述证明得到是等腰三角形， ∴是等边三角形， 如图所示，连接， ∴是的角平分线，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得，，故小红的观点正确； 综上所述，他们两人的观点都对， 故选：C ． 8. 如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组．熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据图象可知，直线在直线的下方，且在x轴下方，对应的x的取值范围即为所求．直线和直线都过点，结合不等式组与函数图象，即可求出不等式的解集． 【详解】∵直线经过点和点，直线过点A，而满足不等式组的图象为如图之间所示的部分， ∴不等式的解集为． 故选：D． 9. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得，，结合，确定，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 根据垂直平分线的性质，得，， ∵， ∴， ∴， 解得，负的舍去． ∴， 由勾股定理得． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（ ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据递推公式得到数列6个数为一个周期循环的规律，再逐一判断每个结论即可，找到周期规律是解题关键. 【详解】解：∵，，， ∴，，，，，， ∴ 该数列每6个数为一个周期循环. ∵ ， ∴ ，故①正确； ∵，，， ∴，即 ∴，故②正确； ∵ 一个周期内， ∴，解得， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，， 则 ∵ 原式为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∴ 又∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， 舍去，共5个满足条件的整数，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 12. 如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 【答案】##270度 【解析】 【分析】根据，可先求出与的外角的度数，再用五边形的外角和减去前面求出的那个外角的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴的邻补角， ∴． 13. 如图，等腰三角形中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则两三角形重叠部分的面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、等腰三角形的性质和判定、含角的直角三角形．根据已知条件并结合“三线合一”的性质可求出，然后利用平移的性质及等腰三角形的判定可知是底角为的等腰三角形，进而求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于E，F． ∵在等腰三角形中，，， ∴． ∵为中线， ∴． 在中，． ∵， ∴． 由平移可知，， ∴，， ∴， ∴． ∴． 在中，，， ∴,， ∴， ∴ ． 14. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是以为底边的等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】可由为等腰三角形求解，再根据图形翻折的性质可得，，再由为等腰可求解的度数，再根据翻折的性质可得，再结合平角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是由翻折得到，是由翻折得到， ∴，， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 即， ∵， ∴，可得， ∴ ． 15. 若关于的不等式组有且只有4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再解分式方程得出，再根据方程有整数解，且，，从而求出符合条件的所有整数，然后再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组有且只有4个奇数解， ， 解得：； ， 解得：， 方程有整数解，且，， 符合题意的整数的值为，4， 符合条件的所有整数的和是． 16. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是___________；若“精益数”，规定将的十位数字与百位数字之差记为． 若正整数，都是“精益数”，其中，，（，，，，且是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数和的和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“精益数”意义得到最大的“精益数”，然后根据题意可得的千位为，百位为，十位为，个位为，t的千位为，百位为，十位为，个位为，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：求最大的“精益数”，需使高位数字尽可能大，且各数位数字互不相同，满足千位数字加个位数字等于百位数字加十位数字． 千位最大取，百位最大取，十位最大取，则个位数字为 ，各数位 互不相同，因此最大的“精益数”是． 由 得： ，因此的千位为，百位为，十位为，个位为． 由 定义得 ． 因为是“精益数”，所以 ，整理得． 由 得： ，因此的千位为，百位为，十位为，个位为． 由 定义得 ． 因为是“精益数”，所以 ，整理得． 由条件能被整除，结合，为整数，分情况讨论： ①当时，时， ，则，可得能被整除，即为整数． 结合，为整数，得 ，即或． 当时，，，符合条件． 当时，，，符合条件． ②当时，，t的各位数字为3， 4， 3， 4，不满足各数位上的数字互不相同，故t不是“精益数”，舍去． ③当时，，，可得能被整除，不存在符合条件的整数，舍去． ④当时，时， ，则，可得能被整除，即为整数，得 ，即或． 同理可求：或． 所有满足条件的不同正整数为， ，不同正整数为 ， ，计算总和得： ． 故答案为； ． 三、解答题：（本大题9个小题，其中17，18题每小题8分，其余各题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： ；并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，在同一条数轴上表示以上两个不等式的解集，如图： ． 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得 ； 解不等式②，得； 所以，原不等式组的解集为； 18. 化简求值：． 其中从0，1，2三个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再选择合适的值代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式． 19. 如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中，画出向右平移6个单位得到的； （2）在图中，画出以原点O为对称中心，与成中心对称图形的，并写出点的坐标； （3）在轴上找一点P，使得最短，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 即为所求： （2） 即为所求： ； （3） 点即为所求；． 【解析】 【分析】（1）将向右平移个单位得到，依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，依次连接，然后写出点的坐标即可； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 小张同学在八年级下册学习三角形的过程中，遇到了这样一个问题：如图，在中，，请把分成两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小张经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到解决． （1）请根据小张的思路进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （2）完成下面的填空： 解：作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． ∵垂直平分线段， ∴ ① ， ∴是等腰三角形， ∴＝ ② ， ∵， ∴， ∵， ∴ ③ ， ∴， ∴是等腰三角形， 故和是等腰三角形． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）①；②；③； 【解析】 【分析】（1）以点、为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，分别与，交于点D，E，即为所求； （2）按过程填写即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． ∵垂直平分线段， ∴， ∴是等腰三角形， ∴＝， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故和是等腰三角形． 21. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． （1）【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． （2）【应用公式】因式分解：． （3）【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）①20；②，24 【解析】 【分析】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据 ，即可得出结果；②先将代数式因式分解为，由 ，， ，得到，求出 ，据此即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴原式． 22. 五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售． 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍． （1）求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元． 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？ 【答案】（1）甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元 （2）商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个；方案②：购进甲商品95个，乙商品30个 【解析】 【分析】（1）设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据购进甲商品数量是乙商品数量的2倍列出分式方程，求出解，并检验可得答案； （2）设购进乙商品个，则购进甲商品个，再根据两个不等关系列出不等式组，求出解集得出整数解，并设计购买方案． 【小问1详解】 解：设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据题意，得 则， 解得， 经检验，是原方程的解， 乙商品进价： 答：甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元； 【小问2详解】 解：设购进乙商品个，则购进甲商品个 得， 解得，其中为正整数， ∴或30， 则或95， 答：商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个； 方案②：购进甲商品95个，乙商品30个． 23. 如图1，在中，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出的面积为3时，的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 解：函数图象如图： 性质：当时，的面积取得最大值，最大值是6；或当时，的面积随P点运动的时间增大而增大，当时，的面积随P点运动的时间增大而减小； （3）1.5或5.5秒 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据函数解析式即可作图，再可从增减性、最值的角度分析即可； （3）从函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，如图： ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 综上：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，当时，或 解得或， 或由函数图象可得，的面积为3时，的值为1.5或5.5秒． 24. 如图在平面直角坐标系中，直线过点，． （1）求直线表达式． （2）在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． （3）在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）Q点坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，再将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F， 的长即为的最小值，再求出直线的解析式，即可求得点的坐标，根据，可得点E的坐标； （3）过点M作轴于点F，延长交于点G，设，由点M在线段中垂线上，可得，可得，则，再证明，可得，，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）设直线表达式为， 将点，代入表达式得， 解得：， ∴直线表达式为． 【小问2详解】 解：如图1，过点C作轴于点D，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F，此时的长即为的最小值， 设直线的解析式为， ∵， ∴，， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时， 点E坐标为，的最小值是． 【小问3详解】 解：如图，过点M作轴于点F，延长交于点G， 设， ∵点M在线段中垂线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴，， ∴， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵延长交于点G，轴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴，， 如图，此时点在下方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 当时，， ∴，， 如图，此时点在上方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 综上所述，Q点坐标为或． 25. 如图，等腰，，点D为上一点，连接． （1）如图1，，以为边在其左侧作等边，连接，，求的长． （2）如图2，，以为底边在其左侧作等腰直角，连接，求证：． （3）如图3，，E为中点，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当的长最小时，直接写出的值． 【答案】（1）3 （2） 证明：延长到F，使得，连接，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， 垂直平分， 又， ． ， 即． 在和中， ∴， ． ， ， ． ， 即为直角三角形． 为中点， 在中，为斜边的中线． ，即． 为等腰直角三角形， ，． ． （3） 【解析】 【分析】（1）已知顶角的等腰三角形是等边三角形，结合等边，推出两组角相等，用证明三角形全等．将线段转化为，结合已知线段倍数条件，算出、长，相加得到底边总长，即可求出． （2）根据倍长底边构造垂直平分线，得到相等线段与角，利用等角变换证三角形全等．推出角度关系，得到直角三角形，运用直角三角形斜边中线定理，再结合等腰直角三角形斜边与直角边的倍关系，等量代换完成求证． （3）借助等腰三角形三线合一、旋转的边角相等条件，证明三角形全等，锁定动点在定直线上运动．依据垂线段最短，确定取最小值的位置．利用勾股定理，依次计算各段线段长度，最后化简求出线段比值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵以为边在其左侧作等边， ∴，， ∴ 即． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：过点作于，交于． ，，为中点， ，，． 由旋转得：，， ， ， 即． ， ． 在和中： ， ． 在中，， ， ， 点为上定点， 点在定直线上运动． 根据垂线段最短：当时，最小． 设，则，． 在中，， ∴， ∴， ， 在中，， ∴ ∴， ∴ ， ，即． ， ． ∴， ∴， 在中： ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， 为等边三角形， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中教育集团2025－2026学年八下半期质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数 中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 6. 在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（ ） 小刚： 小强： A. x表示规定时间 B. y表示慢马的速度 C. *表示 D. △表示 7. 黑板上有一个不完整的题目：如图，在中，是的中点．，垂足分别为，．数学兴趣小组的两位同学发表了自己的观点．小明：是等腰三角形．小红：若，则．对于他们两人的观点（ ） A. 只有小明对 B. 只有小红对 C. 两人都对 D. 两人都错 8. 如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（ ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 因式分解：______． 12. 如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 13. 如图，等腰三角形中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则两三角形重叠部分的面积是____． 14. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是以为底边的等腰三角形，则的度数为__________． 15. 若关于的不等式组有且只有4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为__________． 16. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是___________；若“精益数”，规定将的十位数字与百位数字之差记为． 若正整数，都是“精益数”，其中，，（，，，，且是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数和的和为__________． 三、解答题：（本大题9个小题，其中17，18题每小题8分，其余各题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： ；并把解集在数轴上表示出来． 18. 化简求值：． 其中从0，1，2三个数中选择一个合适的数代入求值． 19. 如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中，画出向右平移6个单位得到的； （2）在图中，画出以原点O为对称中心，与成中心对称图形的，并写出点的坐标； （3）在轴上找一点P，使得最短，请直接写出点P的坐标． 20. 小张同学在八年级下册学习三角形的过程中，遇到了这样一个问题：如图，在中，，请把分成两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小张经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到解决． （1）请根据小张的思路进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （2）完成下面的填空： 解：作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． ∵垂直平分线段， ∴ ① ， ∴是等腰三角形， ∴＝ ② ， ∵， ∴， ∵， ∴ ③ ， ∴， ∴是等腰三角形， 故和是等腰三角形． 21. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． （1）【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． （2）【应用公式】因式分解：． （3）【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 22. 五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售． 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍． （1）求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元． 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？ 23. 如图1，在中，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出的面积为3时，的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 如图在平面直角坐标系中，直线过点，． （1）求直线表达式． （2）在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． （3）在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 25. 如图，等腰，，点D为上一点，连接． （1）如图1，，以为边在其左侧作等边，连接，，求的长． （2）如图2，，以为底边在其左侧作等腰直角，连接，求证：． （3）如图3，，E为中点，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当的长最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $