数学（江苏常州卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 10. 11 12. 13 14 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(8分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 被抽取学生的垃圾分类知识 测试成绩的频数分布直方图 人数 25 21 20 15 10 10 60A70B80C90D100 成绩/分 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) D B 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) 26.(10分) B A B A F E E G D C F G 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 备用图 28.(10分) A B C B B C 0 01 0 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 2．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（    ） A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③①② 5．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 6．如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．80° 7．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图所示，点P从点A出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形运动一周，O为的中心，设点P走过的路程为x，的面积为y（当A，O，P三点共线时，记面积为0），则函数y的图像大致为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．实数的立方根是______． 10．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为______． 11．分解因式：______． 12．已知的值为7，则代数式的值为________． 13．将直角三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，已知，，那么_________． 14．某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 15．某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 16．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 17．如图，在中，，点D是边上一点，连接并延长到点，使，点F在的延长线上，且，连接，．若，，则的长为__________． 18．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程组与不等式组： (1)解方程； (2)解不等式组，并把解集表示在数轴上． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 22．（8分）酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性或中性溶液不变色（仍为无色）．某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液，结果如下表所示： 溶液编号 甲 乙 丙 丁 酚酞变色 红色 无色 无色 红色 已知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）． (1)若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为___________； (2)若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率． 23．（8分）如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 24．（8分）为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 26．（10分）如图1，在矩形中，，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G． 特例感知 (1)图2中，若E是的中点，，以下结论中正确的序号有________； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③；④． 探究发现 (2)在图1中，探究与的数量关系时，爱思考的小亮对旋转解题特别感兴趣．他发现与垂直，便尝试将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，从而构造两相似三角形求解与的数量关系，请你顺着小亮的思路继续完成求解过程； 类比运用 (3)若将矩形改为，，如图3，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G，．试探究与之间的数量关系并说明理由． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 28．（10分）有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且， ∴ ． 2．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，选项计算错误； B：，选项计算错误； C：，选项计算错误； D：，选项计算正确． 4．小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（    ） A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③①② 【答案】C 【分析】根据从不同方向观察物体，即可得到相应的图形． 【详解】解：在小路的相应位置标注所看到的图形的位置，如图所示： 所以自东向西的顺序为①②③． 5．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据的众数是3， ∴， 将该组数据从小到大排序为 ， ∵该组数据共有7个数，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数， ∴该组数据的中位数为4． 6．如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．80° 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，利用切线性质可得 再根据在四边形中，内角和为，即可求出，，最后利用圆周角定理即可求出． 【详解】解：是的两条切线， ， ， ． 7．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 8．如图所示，点P从点A出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形运动一周，O为的中心，设点P走过的路程为x，的面积为y（当A，O，P三点共线时，记面积为0），则函数y的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图像、等边三角形的性质、解直角三角形、三角形的面积公式，正确表示出函数y与x的关系是解题的关键．延长交于点，连接，利用等边三角形的性质和解直角三角形的知识得到，O到正三角形的边的距离为，再利用三角形的面积公式表示出y与x的关系，结合图像即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵O为正三角形的中心， ∴，，，， ∴，， ∴，O到正三角形的边的距离为， 当时，，故函数在上的图像为线段，排除B选项； 当时，，故函数在上的图像为线段，排除C、D选项； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．实数的立方根是______． 【答案】 【详解】解： 实数的立方根是． 10．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：2668万 11．分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再利用完全平方公式继续分解，直至不能再分解为止． 【详解】解： ． 12．已知的值为7，则代数式的值为________． 【答案】19 【分析】由已知条件可得，将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 13．将直角三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，已知，，那么_________． 【答案】35 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴． 14．某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 【答案】 【分析】先根据行驶路程和单位耗油量表示出总耗油量，再利用剩余油量等于原有油量减去总耗油量，即可推导出所求函数关系式． 【详解】解：由题意可得，该汽车行驶百公里的总耗油量为升，油箱原有油量为升，根据题意，得， 整理得． 15．某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 【答案】1900 【分析】先计算抽取样本的总户数和样本的生活垃圾总量，再利用样本估计总体计算该小区的生活垃圾总量； 【详解】解：抽取样本的总户数为（户）， 样本中住户当日生活垃圾总量为， 估计该小区1000个住户当日生活垃圾总量为：． 16．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】/ 【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 17．如图，在中，，点D是边上一点，连接并延长到点，使，点F在的延长线上，且，连接，．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据锐角三角函数以及相似三角形的判定和性质求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 18．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 【答案】 【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，d最大，过正方形的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案． 【详解】解：设的中点是E， 当过点E时，如图： ∴点O与边上所有点的连线中，最小，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 当过顶点A时，如图：            ∴点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴d的取值范围为． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程组与不等式组 (1)解方程； (2)解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示不等式的解集，再利用数轴确定两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，；（4分） （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： （8分） 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ．（3分） 当时，原式．（6分） 21．（8分）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 【答案】(1)50，见解析 (2)72，C (3)598人 【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解； （3）利用样本估计总体求解． 【详解】（1）解：抽取的学生的人数是（人）， ∴B组人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （2分） （2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是； ∵共有50个数据， ∴中位数是第25个和第26个数据的平均数， ∵A，B组的和为，C组人数为21， ∴第25个数，第26个数都落在C组；（5分） （3）解：（人）， 答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人．（8分） 22．（8分）酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性或中性溶液不变色（仍为无色）．某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液，结果如下表所示： 溶液编号 甲 乙 丙 丁 酚酞变色 红色 无色 无色 红色 已知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）． (1)若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为___________； (2)若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四种溶液中，甲和丁变红色， ∴从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为；（4分） （2）解：画表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12种等可能出现的结果，其中恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的结果有8种， 则恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率是．（8分） 23．（8分）如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形；（4分） （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 24．（8分）为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案． 【答案】(1) (2)有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备，方案2：购买1台A型设备，9台B型设备，方案3：购买2台A型设备，8台B型设备 【分析】（1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买m台A型设备，根据治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，解得；（4分） （2）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 依题意，解得． ∵m为非负整数， ∴m可以为0，1，2， ∴该治污公司有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备．（8分） 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象过点，求出，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，设点的横坐标为，利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为；（4分） （2）设直线与轴交于点， ， ∴当时，， ∴点的坐标为， 设点的横坐标为，则， 的面积， 整理得， 解得， ∴点的坐标为或．（8分） 26．（10分）如图1，在矩形中，，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G． 特例感知 (1)图2中，若E是的中点，，以下结论中正确的序号有________； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③；④． 探究发现 (2)在图1中，探究与的数量关系时，爱思考的小亮对旋转解题特别感兴趣．他发现与垂直，便尝试将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，从而构造两相似三角形求解与的数量关系，请你顺着小亮的思路继续完成求解过程； 类比运用 (3)若将矩形改为，，如图3，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G，．试探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明 ，可得四边形是矩形，即可判断①；证明 ，得到 ，即可判断②；由 ，推出，再根据，即可判断③；根据，即可判断④； （2）作出图形，证明，再证明，即可得出结论； （3）先证明．在上取点H，使，得，证明．再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ， ∴四边形是矩形，故①正确； ∵在矩形中，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴ ， ∴矩形与四边形位似；故②正确； ∵ ， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴点F是的中点， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴ ， ∴，故③错误； 同理，，故④正确； 综上，正确的序号有①②④；（3分） （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 如图，将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．（6分） （3）解：．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 如图，在上取点H，使，得， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． （10分） 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式；（3分） （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （6分） （3）解：①当时，， ∴点，则点．（8分） ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或．（10分） 28．（10分）有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【答案】【概念理解】 【活动探究一】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【活动探究二】见解析 【分析】【概念理解】求等边三角形的外接圆的半径即可； 【活动探究一】（1）以与的交点为圆心，到点的距离为半径画圆即可； （2）根据题意，可得未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上，再根据点和圆的位置关系即可求解； （3）根据的半径为3和该三角形未被覆盖的区域，即可求解； 【活动探究二】根据题意，可得半径最小的三个等圆，是以、、为直径的圆，则、的中点即为圆心、，作图即可． 【详解】解：【概念理解】如图，作的外接圆，即为半径最小的圆， 连接并延长交于点，连接， 等边的外接圆，， ，，垂直平分，平分， ，， 在中，，， 则，即， 解得； 故答案为：； 【活动探究一】（1）如图1，即为所求； （3分） （2）等圆，覆盖等边，的直径为， 和的半径为3， 又要把未被覆盖的区域全部覆盖， 未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上， 则这些点与点的距离为； 故答案为：；（6分） （3）如图2，分别以点，与、的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题意的点的集合； 【活动探究二】如图3，点、即为所求， 设与等边的边和的交点为点、，连接、相交于点， 此时以、、为直径作圆，即为覆盖等边的3个等圆，和，且半径最小， 作射线交于点，连接，交于一点，即为圆心； 连接，交于点，作射线交于一点，即为圆心；（10分） 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外接圆，点和圆的位置关系，基本作图，正确掌握基本作图的方法是解题的关键． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 5 6 8 B D B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9.-2 10.2.668×107 11.x(x-1)2 12.19 13.35 14.y=-6x+70 15.1900 16.-05 17.V6i 18.4-35sds 三、解答题（本大题共10个小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分) 【详解】(1)解：去分母得，2(2x+4)-3(3x-1)=6, 去括号得，4x+8-9x+3=6, 移项得，4x-9x=6-3-8, 合并同类项得，-5x=-5, 系数化为1得，x=1;(4分) x+1<3x-3① (2)解： 3x-4)<2(x-4②' 解不等式①得x>2, 解不等式②得x<4, 所以不等式组的解集是2<x<4, 在数轴上表示为： -3-2-1019 3 →(8分) 20.(6分) 1/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】解：(5-x)2-(x+1)(x-1) =x2-10x+25-(x2- =x2-10x+25-x2+1 =-10x+26.(3分) 当x写时，原式=-10+26=-10×兮+26=24.(6分) 1 21.(8分) 【详解】(1)解：抽取的学生的人数是21÷42%=50（人）， .B组人数为50-21-10-5=14（人)， 补全频数分布直方图如下： 被抽取学生的垃圾分类知识 测试成绩的频数分布直方图 人数 25 21 20 (2分) 15 10 10 0 60A70B80C90D100 成绩/分 (2)解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是 10 ×360°=72°； 50 ,共有50个数据， ∴.中位数是第25个和第26个数据的平均数， :A,B组的和为10+14=24，C组人数为21， 第25个数，第26个数都落在C组；(5分) (3)解：1150×21+5=598（人， 50 答：估计该校测试成绩“优秀的学生人数为598人.(8分) 22.(8分) 【详解】(1)解：，四种溶液中，甲和丁变红色， 二从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液时概率为})(4分 (2)解：画表格如下： 2/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12种等可能出现的结果，其中恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的结果有8种， 则恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率是8子、(8分) 23.(8分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,∠B0C=90°， CE DB,BE AC ∴.四边形OBEC是平行四边形， 又，∠B0C=90°， ∴.四边形OBEC是矩形；(4分) (2)解：，四边形OBEC是矩形， ∴.OB=CE=3, 又.∠B0C=90°， ∴.0A=VAB2-0B2=V52-32=4, .'BD=20B=6,AC=20A=8, .S菱形ABCD= 今AC.BD三号×8×6=24.(8分) 24.(8分) 【详解】(1)解：依题意得 x-y=2 x=12 3y-2x=61 解得 y=10:(4分) (2)解：设购买m台A型设备，则购买(10-m)台B型设备， 依题意12m+1010-m≤105，解得m≤之 .5 ,m为非负整数， .m可以为0,1,2， 3/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 该治污公司有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备： 方案3：购买2台A型设备，8台B型设备，(8分) 25.(8分) 【详解】(1)解：由题意，得m=2x1=-1n, ∴.m=2,n=-2, ·反比例函数的表达式为y=, -k+b=-2 将点A(-1,-2),B(2,1)代入y=kx+b,得 2k+b=1’ k=1 解得b=-1' .一次函数的表达式为y=x-1;(4分) (2)设直线AB与x轴交于点C, y=x-1, .当y=0时，x=1, ∴.点C的坐标为L,0), 设点P的横坐标为n,则PC=1-n, :aPAB的面积=一×2×1-n+一×1×1-1=6， 2 整理得1-n川=4， 解得n1=-3,n2=5, .点P的坐标为(-3,0)或(5,0).(8分) 26.(10分) 【详解】(1)解：如图， 4/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B A ,EF⊥DC, ∴.∠EFD=90°， ,在矩形ABCD中，∠ADC=90°， .∠EFD=∠ADC=LGEF=90°， 四边形EFDG是矩形，故①正确： ,在矩形ABCD中，∠C=90°， ∴.∠C=∠EFD=90°， .ACI EF, ∴.△BCD∽△EFD, .EF_Dr 即CD、DF BC CD ’ BC EF .BC= CD· 4 .EF=3DF. 4 ∴矩形ABCD与四边形GEFD位似；故②正确； ,△BCD∽△EFD, DE EF DF ·BD8CCD' ,点E是BD的中点， 器能器 点F是CD的中点， ∴.CF=DF, CF_DF CD =coS∠BDC= BE DE BD' BC=3CD, 4 设CD=4a,则BC=3a, 5/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.BD=VBC2+CD2=5a, BEBD50=5,故③错误， CF CD 4a 4 同理， EFEF GE DF =tan∠BDC BC_3,故④正确： CD 4 综上，正确的序号有①②④；(3分) (2)解：，EF⊥EG, .∠EGD+∠EFD=180°. .∠AGE+∠EGD=180°， .LEFD=∠EGA 如图，将射线ED绕着点E逆时针旋转90°交DA的延长线于点K, 1K B G E F D .LGEK+∠DEG=90°，∠DEG+∠FED=90°. ∴.∠FED=∠GEK. .△FED∽△GEK. 需贸 ,∠K+∠BDA=90°，∠DBA+∠BDA=90°， .∠K=∠DBA. .∠DAB=∠KED=90°， .△KED∽△BAD. ED=AD_BC 3 ·EK AB CD4 EFEG.6分) (3)解：EF=EG.理由如下： .∠GEF=180°-∠C, 6/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠C+∠GEF=180°. .∠EGC+∠CFE=180°. ,∠EFB+∠CFE=180°， .LEGC=∠EFB 如图，在CD上取点H,使LBEH=∠FEG,得LBEF=∠HEG, ∴.△BEF∽△HEG .EFEB ,LEBF=∠EHG. EG EH ,∠BDC=∠HDE, .△DEH∽△DCB. ED-CD 4 EH CB 3 又，EB=nED, EGEH-EH3n,即EF-IEG. EF EB nED 4 A (10分) 27.(10分) 【详解】(1)解：当y=0时，x-3=0, 解得x=3; 当x=0时，y=0-3=-3, .点B(3,0),C(0,-3) ,点B,C在抛物线y=-x2+bx+c上， 「-9+3b+c=0 c=-3 b=4 解得 c=-31 .二次函数关系式y=-x2+4x-3;(3分) (2)解：点B(3,0),C(0,-3), ,∴.0B=OC=3,且∠B0C=90°， 7/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠0CB=∠0BC=45°. 当DB⊥x轴时，∠DBC=LABC=45°，此时直线DB与直线BC下方的抛物线没有交点； 当CD∥AB时，∠ABC=∠BCD, 点C(0,-3), 点D的纵坐标是-3， 令y=-3,-x2+4x-3=-3, 解得x1=0,x2=4, .点D4,-3) B (6分) D (3)解：①当x=m时，y=-m2+4m-3, ∴.点H(m,-m2+4m-3),则点N(m+1,-m2+4m-3).(8分) ②抛物线y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,顶点坐标为(2,1). 当点H,M重合时，则-m2+4m-3=-m 解得m=5土因 2 当点M在点H下方时，如图所示， 8/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A H A C 即5-v3 5+V13 <m< 2 2 由题意，得HN=1. 当点H,N达到对称轴两侧对称的位置时，则m=15,则当5-正<m<15时，矩形内没有函数y的图象： 2 X=2 当m>1.5时，矩形区域内的函数y随着x的塔大而减小，即15<m<5+西。 2 当点M在点H上方时，如图， B 即m<5-3或m>5+面 2 2 当m<5=5时，m+)-2=m-1=5-E-1=3-5<0,即m+1<2, 2 2 2 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 9/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当m>5-正>2时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则m<5-正 2 2 综上所述，m<5-或15<m< 5+V13 2 (10分) 2 28.(10分) 【详解】解：【概念理解】如图，作ABC的外接圆⊙O,即为半径最小的圆， 连接AO并延长交BC于点Q,连接BO, :等边ABC的外接圆⊙O,AB=6, ·BC=AB=6,∠ABQ=60°，AQ垂直平分BC,BO平分∠ABQ, 。BC=3,LOB0=5∠AB0=3 在RtA080中，∠0B0=30°，：0Q=0B, 则80+00=08，m+}o8j=0, 解得OB=2V3; 故答案为：25； 【活动探究一】(1)如图1，⊙O2即为所求； 4 (3分) B C 0, 图1 (2):等圆⊙O1,⊙O2覆盖等边ABC,⊙O,的直径为BC, :⊙0和⊙02的半径为3， 又：⊙O2要把ABC未被⊙O,覆盖的区域全部覆盖， 10/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·ABC未被⊙O覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在⊙O2内或⊙O2上， 则这些点与点O,的距离为0≤d≤3； 故答案为：0≤d≤3；(6分) (3)如图2，分别以点A,⊙O与AB、AC的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题 意的点O2的集合； B 图2 【活动探究二】如图3，点O3、O,即为所求， D E B M 图3 设⊙O与等边ABC的边AB和AC的交点为点D、E,连接CD、BE相交于点F, 此时以AF、BF、CF为直径作圆，即为覆盖等边ABC的3个等圆⊙O,⊙O,和O,,且半径最小， 作射线EO,交⊙O,于点M,连接DM,交BF于一点，即为圆心O4; 连接AO,交DF于点N,作射线BN交AF于一点，即为圆心O,;(10分) 11/112026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 。▣▣■▣●■▣。。■m。■=-。▣=▣▣=▣▣■■=■。▣。▣■。。■ 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶)【1[/刀 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1.A][B1[C][Dj 5.[A][B][C][D] 2.[AJ[B][C1[D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[AJ[B][C1[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分) 9. 10 11. 12 13. 14 15 16 8 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 被抽取学生的垃圾分类知识 测试成绩的频数分布直方图 人数 25 21 20 尔 四 10 5 60A70B80C90D100 成绩/分 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) D B 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) B 26.(10分) A B E E G E C D D D F F G 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 备用图 28.(10分) A A C 01 01 0 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 2．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（    ） A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③①② 5．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 6．如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．80° 7．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图所示，点P从点A出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形运动一周，O为的中心，设点P走过的路程为x，的面积为y（当A，O，P三点共线时，记面积为0），则函数y的图像大致为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．实数的立方根是______． 10．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为______． 11．分解因式：______． 12．已知的值为7，则代数式的值为________． 13．将直角三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，已知，，那么_________． 14．某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 15．某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 16．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 17．如图，在中，，点D是边上一点，连接并延长到点，使，点F在的延长线上，且，连接，．若，，则的长为__________． 18．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程组与不等式组： (1)解方程； (2)解不等式组，并把解集表示在数轴上． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 22．（8分）酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性或中性溶液不变色（仍为无色）．某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液，结果如下表所示： 溶液编号 甲 乙 丙 丁 酚酞变色 红色 无色 无色 红色 已知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）． (1)若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为___________； (2)若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率． 23．（8分）如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 24．（8分）为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 26．（10分）如图1，在矩形中，，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G． 特例感知 (1)图2中，若E是的中点，，以下结论中正确的序号有________； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③；④． 探究发现 (2)在图1中，探究与的数量关系时，爱思考的小亮对旋转解题特别感兴趣．他发现与垂直，便尝试将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，从而构造两相似三角形求解与的数量关系，请你顺着小亮的思路继续完成求解过程； 类比运用 (3)若将矩形改为，，如图3，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G，．试探究与之间的数量关系并说明理由． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 28．（10分）有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $