第九章 因式分解（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A A D D D B C B A B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．3 14． 15．155763 16．是 / 67 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ·································4分 （2）解：原式．·································7分 18．（8分） 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据遇到负号应变号判断即可； （2）先根据因式分解法分解因式，再计算加减，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：嘉淇在第①步因式分解时遇到负号未变号； 故答案为：①；·································3分 （2）解：正确的因式分解过程如下： ．·································8分 19．（8分） 【答案】(1)；； (2)是“三方数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第（是正整数）个“三方数”的代数式． （1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解； （2）利用规律列出第（是正整数）个“三方数”，代入并求解，即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 故答案为：；；·································4分 （2）解：是“三方数”，理由如下： 由（1）可知第（是正整数）个“三方数”是， 当时， 解得：， 故是“三方数”．·································8分 20．（8分） 【答案】（1）；（2）；发现：，见解析；运用： 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，平方差公式，整式的运算、圆的面积，核心素养表现为几何直观、运算能力以及应用意识． （1）结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． （2）结合圆面积公式以及结合图形特征进行列式计算，即可作答． 发现：结合（2），故，再把代入化简，即可作答． 运用：由，得．因为，即，再解得，结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）大圆面积与小圆面积之差为， 故答案为：；·································2分 （2）， 故答案为：；·································3分 发现：．证明过程如下： 依题意， 则．·································5分 运用：由，得， 故， 化为． 又∵， ， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴． ∴这两个圆的面积之和为．·································8分 21．（9分） 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用运用配方法运算即可； （2）运用配方法化简式子，再根据式子的取值范围求证即可； （3）利用因式分解化简式子得到三角形的三边关系即可解答． 【详解】（1）解：① ；·································2分 ② ；·································4分 （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式 的值总是一个正数；·································6分 （3）为等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形．·································9分 22．（9分） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，掌握配方法的过程是解题的关键． （1）仿照题意，运用配方法进行因式分解即可； （2）运用配方法将多项式变形为，再根据非负数的性质即可说明； （3）设，则原多项式可化为，再利用配方法进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ；·································3分 （2） ， ∵， ∴， 即原式的值一定是一个正数；·································6分 （3）设， 原式 ．·································9分 23．（11分） 【答案】(1) (2) (3)边长的最小值为5 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，求出，，然后根据三角形三边关系得到，进而求解即可． 【详解】（1） ；·································3分 （2）∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴；·································6分 （3）∵ ∴， ∴，·································8分 ∵的三边长a、b、c都是正整数， ∴ ∴ ∴ ∵c是正整数， ∴边长C的最小值为5．·································11分 【点睛】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，三角形三边关系，通过例题和材料，明确配方法的步骤是解题的关键． 24．（12分） 【答案】（1）； （2）8； （3）6 【分析】本题考查了分组分解法因式分解，能够读懂题意是解题的关键． （1）根据题干信息，利用分组分解法解答即可； （2）先将通过变形得到，然后得到，进而求出的值即可； （3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值． 【详解】解：（1）解： ．·································3分 （2）解： ， ∵,, ∴, ∴, ∴, 解得， 故．·································6分 （3）解：由，得， ∴ ， ∵， ∴，当且仅当时成立， ∴S的最小值为6．·································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此判断即可求解． 【详解】解：．是单项式的恒等变形，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； ．是多项式的恒等变形，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是整式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解和公因式的概念，平方差和完全平方公式．先对每个多项式进行因式分解，即可找出公有的因式． 【详解】解：∵，， ∴ 公因式为． 故选：B 3．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）分解因式 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法的运用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式计算． 将作为一个整体，应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若，则的值为（） A．143 B．134 C． D．153 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，因式分解，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 将表达式中的提取公因式化为，整体表达式转化为，直接代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： * ☆ 其中运用到的方法是△和□． 下列回答错误的是（   ） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 【详解】解： ∴*代表，故A正确；☆代表 ，故B正确； 所用方法为提公因式法和平方差公式法， 故△可能代表提公因式法，选项C正确； □可能代表平方差公式法，而非完全平方公式法，选项D错误， 故选：D 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先将因式分解为三个连续整数的乘积，利用连续整数的性质可得结论．掌握因式分解的方法及三个连续整数的积必能被6整除是偶数是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是整数， ∴，，为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数， ∴能被乘积一定能被整除， ∴整数的最大值为． 故选：D． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（   ） A．5 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式．先把分解因式可得结果为，结合n为正整数可得答案． 【详解】解： ， n为正整数， 一定能被12整除， 故选D． 8．（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（   ） 嘉嘉：由已知条件可知． 淇淇：由已知条件可知． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的值的大小比较，完全平方公式的应用，非负数的性质，先由，，的符号不确定，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，，为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，故嘉嘉判断错误； ∵，，为正整数， ∴，， ∵， ∴，故淇淇判断正确， 故选：B 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 11．（2023七年级下·浙江·竞赛）若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 12．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知，，则________． 【答案】3 【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值． 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 14．（24-25八年级下·河北保定·月考）已知，，且，，则，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、作商法比较．利用作差法比较、的大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 【答案】155763 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 【详解】解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 16．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1______“希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为______； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是______． 【答案】 是 / 67 【分析】（1）根据“希尔伯特”数的定义即可判断； （2）①由题意可得：这个“H希尔伯特”数是，展开化简即得答案； ②由①可设这两个“H希尔伯特”数为，根据两个“H希尔伯特”数的差是48构建关于m、n的方程，求方程的正整数解即可得. 【详解】解：（1）由于数1能表示成的形式， ∴1是“希尔伯特”数； 故答案为：是； （2）①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），则另一个奇数是， ∴这个“H希尔伯特”数是； 故答案为：； ②由①可设这两个“H希尔伯特”数为且m、n是正整数， 根据题意可得， ∴，即， ∵m、n是正整数， ∴满足题意的正整数m、n是； 则这两个“H希尔伯特”数中较大的是； 故答案为67. 【点睛】本题是阅读理解题型，正确理解题意、弄清“希尔伯特”数与“H希尔伯特”数的定义是解题的关键. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北唐山·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 18．（8分）（24-25七年级下·河北邢台·期末）对于题目：“因式分解． 嘉淇给出具体解法后，又通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 嘉淇的解法： ① ② ③ 嘉淇的检验： 当，时， ∵-8≠16 ∴分解因式错误 任务： (1)嘉淇的解答是从第_______步开始出错的（填序号）； (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据遇到负号应变号判断即可； （2）先根据因式分解法分解因式，再计算加减，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：嘉淇在第①步因式分解时遇到负号未变号； 故答案为：①； （2）解：正确的因式分解过程如下： ． 19．（8分）（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． (1)第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； (2)请判断是“三方数”吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)是“三方数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第（是正整数）个“三方数”的代数式． （1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解； （2）利用规律列出第（是正整数）个“三方数”，代入并求解，即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 第个“三方数”是； 故答案为：；； （2）解：是“三方数”，理由如下： 由（1）可知第（是正整数）个“三方数”是， 当时， 解得：， 故是“三方数”． 20．（8分）（2025·河北邯郸·二模）如图，大小不同的两个圆按图中的方式摆放，两个圆阴影部分的面积分别为M，N，两个圆重合部分的面积为K． 计算若大圆半径为10，小圆半径为6，． （1）大圆面积与小圆面积之差为______； （2）______． 发现：设两个圆的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论． 运用：设两个圆的半径分别为R，，且，，求这两个圆的面积之和． 【答案】（1）；（2）；发现：，见解析；运用： 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，平方差公式，整式的运算、圆的面积，核心素养表现为几何直观、运算能力以及应用意识． （1）结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． （2）结合圆面积公式以及结合图形特征进行列式计算，即可作答． 发现：结合（2），故，再把代入化简，即可作答． 运用：由，得．因为，即，再解得，结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）大圆面积与小圆面积之差为， 故答案为：； （2）， 故答案为：； 发现：．证明过程如下： 依题意， 则． 运用：由，得， 故， 化为． 又∵， ， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴． ∴这两个圆的面积之和为． 21．（9分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． (1)解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② (2)深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； (3)拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用运用配方法运算即可； （2）运用配方法化简式子，再根据式子的取值范围求证即可； （3）利用因式分解化简式子得到三角形的三边关系即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式 的值总是一个正数； （3）为等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 22．（9分）（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，掌握配方法的过程是解题的关键． （1）仿照题意，运用配方法进行因式分解即可； （2）运用配方法将多项式变形为，再根据非负数的性质即可说明； （3）设，则原多项式可化为，再利用配方法进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， 即原式的值一定是一个正数； （3）设， 原式 ． 23．（11分）（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式：； 又例如：求代数式的最小值． ， 又当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值． 【答案】(1) (2) (3)边长的最小值为5 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，求出，，然后根据三角形三边关系得到，进而求解即可． 【详解】（1） ； （2）∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）∵ ∴， ∴， ∵的三边长a、b、c都是正整数， ∴ ∴ ∴ ∵c是正整数， ∴边长C的最小值为5． 【点睛】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，三角形三边关系，通过例题和材料，明确配方法的步骤是解题的关键． 24．（12分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）8； （3）6 【分析】本题考查了分组分解法因式分解，能够读懂题意是解题的关键． （1）根据题干信息，利用分组分解法解答即可； （2）先将通过变形得到，然后得到，进而求出的值即可； （3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值． 【详解】解：（1）解： ． （2）解： ， ∵,, ∴, ∴, ∴, 解得， 故． （3）解：由，得， ∴ ， ∵， ∴，当且仅当时成立， ∴S的最小值为6． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）分解因式 的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若，则的值为（） A．143 B．134 C． D．153 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： * ☆ 其中运用到的方法是△和□． 下列回答错误的是（   ） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（   ） A．5 B．8 C．9 D．12 8．（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（   ） 嘉嘉：由已知条件可知． 淇淇：由已知条件可知． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 11．（2023七年级下·浙江·竞赛）若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 12．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知，，则________． 14．（24-25八年级下·河北保定·月考）已知，，且，，则，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 15．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 16．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1______“希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为______； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北唐山·期中）分解因式： (1) (2) 18．（8分）（24-25七年级下·河北邢台·期末）对于题目：“因式分解． 嘉淇给出具体解法后，又通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 嘉淇的解法： ① ② ③ 嘉淇的检验： 当，时， ∵-8≠16 ∴分解因式错误 任务： (1)嘉淇的解答是从第_______步开始出错的（填序号）； (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 19．（8分）（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． (1)第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； (2)请判断是“三方数”吗？并说明理由． 20．（8分）（2025·河北邯郸·二模）如图，大小不同的两个圆按图中的方式摆放，两个圆阴影部分的面积分别为M，N，两个圆重合部分的面积为K． 计算若大圆半径为10，小圆半径为6，． （1）大圆面积与小圆面积之差为______； （2）______． 发现：设两个圆的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论． 运用：设两个圆的半径分别为R，，且，，求这两个圆的面积之和． 21．（9分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． (1)解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② (2)深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； (3)拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 22．（9分）（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 23．（11分）（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式：； 又例如：求代数式的最小值． ， 又当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值． 24．（12分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）分解因式 的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若，则的值为（） A．143 B．134 C． D．153 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： * ☆ 其中运用到的方法是△和□． 下列回答错误的是（   ） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（   ） A．5 B．8 C．9 D．12 8．（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（   ） 嘉嘉：由已知条件可知． 淇淇：由已知条件可知． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 11．（2023七年级下·浙江·竞赛）若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 12．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知，，则________． 14．（24-25八年级下·河北保定·月考）已知，，且，，则，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 15．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 16．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1______“希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为______； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北唐山·期中）分解因式： (1) (2) 18．（8分）（24-25七年级下·河北邢台·期末）对于题目：“因式分解． 嘉淇给出具体解法后，又通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 嘉淇的解法： ① ② ③ 嘉淇的检验： 当，时， ∵-8≠16 ∴分解因式错误 任务： (1)嘉淇的解答是从第_______步开始出错的（填序号）； (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 19．（8分）（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列． (1)第个“三方数”是________；第个“三方数”是________； (2)请判断是“三方数”吗？并说明理由． 20．（8分）（2025·河北邯郸·二模）如图，大小不同的两个圆按图中的方式摆放，两个圆阴影部分的面积分别为M，N，两个圆重合部分的面积为K． 计算若大圆半径为10，小圆半径为6，． （1）大圆面积与小圆面积之差为______； （2）______． 发现：设两个圆的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论． 运用：设两个圆的半径分别为R，，且，，求这两个圆的面积之和． 21．（9分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． (1)解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② (2)深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； (3)拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 22．（9分）（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 23．（11分）（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式：； 又例如：求代数式的最小值． ， 又当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值． 24．（12分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $