河南省周口市2025-2026学年高三年级第二学期四月份联考数学试题

高三数学参考答案 1.A21+z2=1-i+(-1+2i)=i. 2.D因为f'(x)=e3x+3+3xe3x,所以lim f(△x)=li A0△xAx+ f(0+△x)-f0)=f'(0)=4. △x 3.B因为号∈Q,3-3>1,所以号年M,3-5EM.2-1∈M.因为5>2,2>1，所以w5 +2>3,5-2=3。<1,则5-2eM √5+2 4.D根据抛物线的定义可知|PH|=|PF|,取线段FH的中点M,连接PM(图略)，则PM⊥ FH,因为FH=25,所以PM=5.因为△PFH的面积为3E,所以2×2V3×PM =32,得|PM=√6，所以PF=√(W3)+(W6)2=3. 5.C由于x+至=x(质∈2)，得x=-1十4（∈Z,结合f(x)的图象可知M(-1,A), N(3,-A).由OM.ON=-3-A2=-5,得A2=2.因为A>0,所以A=√2. 6.B将y=25a代人号-若-1，得x-a.62a 62,则x=士a 62+20a2 则lAB|=2a√ 62+20a2 62 >26,即a+20a>,令&-8>0，得-6-20<0.则0<< 5.放C的离心率e=√+g-5∈1 7.C若选派的是1名男生和3名女生，则有C6A=144种不同的选派方案；若选派的是2名 男生和2名女生，则有CCCA=1080种不同的选派方案.故满足要求的不同的选派方案 有144+1080=1224种. 8.A设tan号=t,则sina= 2t 2 1-t Sin2g+c0s2gt十10sa= 1+2,因为 2 cos号+sin 2 am号-2mc,所以(e+,年十到-2a月十+5，整理得a-2》月 1-t2 2 2t4 -4+2=0,即(t-2)(c0sg+2)=0.因为cosB≠-2，所以t=2,则tana=1==一3 9.BD将这组数据按照从小到大的顺序排列为2,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8，则这组数据的极差为 8一2=6，中位数为5，A错误，B正确.这组数据的平均数为 2十2+3十4十4十5+5+6十6十7十8-2<4.8，C错误.因为1卫×0,6=6.6，所以这组数据 11 的第60百分位数为5，D正确 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 10.ABD圆C:(x一2)2+y2=4的半径为2，直径为4，A正确.设直线 x=2与圆C的交点为M,N,则A'C⊥MN,BC⊥MN,则∠A'CB 为二面角的平面角.当0=时，∠A'CB=60,CA'=CB=2,则 △A'CB为正三角形，则|A'B引=2，B正确.因为|PA|=2=|CP|= CA,所以△PAC为正三角形，则1PC=2.当0=2时，BCLA'C, 又BC⊥MN,MN∩A'C=C,则BC⊥平面A'MN,所以BC⊥CP',则|A'B|=|P'B|= √22+2=2√2，C错误，D正确. 11.ACD令x=y=0,得f(0)=0,A正确.令x=a,y=1,得f(a2-1)=af(a)-f(1),因为 f(1)=2,所以af(a)=f(a2-1)+2,令a=2,得2f(2)=2+f(22-1),B错误. 令y=0,得f(x2)=xf(x),f(-x))=-xf(-x),所以xf(x)=-xf(-x), 当x≠0时，f(x)=-f(一x),又因为f(0)=0,所以f(x)为奇函数，则y=f(x) [f(x)]3为奇函数，C正确. 因为f(x2-y2)=xf(x)-yf(y),所以f(x2-y2)=f(x2)-f(y2)=f(x2)+f(-y2), 所以f(x+y)=f(x)+f(y)(x≥0，y≤0)， 同理可得f(x+y)=f(x)+f(y)(x≤0，y≥0)，故当xy≤0时，f(x+y)=f(x)十 f(y),D正确 12.34由等差数列的性质可知S3,S6一S3,Sg一S6,S12一Sg成等差数列.因为S3=1,S6=7, 所以Sg-S6=11,S12-Sg=16,所以Sg=18,S12=34. 13.(-0,-1DU(0,38由x5-2x-3x2<0,得x2(x2-2z-3)<0.当x2>0,即x>0 时，x2一2x一3<0，则0<x<3;当x3<0,即x<0时，x2-2x一3>0，则x<-1.故不等式 x5-2x4-3x3<0的解集为(-∞，-1)U(0,3). f'(x)=x2(5x2-8x一9)，因为x2≥0，所以0不是f(x)的极值点，所以f(x)的极值点为 方程5x2-8x-9=0的两个解，由韦达定理得f(x)的所有极值点之和为，则m十n= 8 r2-9 14 88+4√295 21 设半径为3的小球的球心为A,下面2个半径为 2的小球的球心为B,C,上面小球的球心为D,则A,B,C到桌 面的距离分别为3,2,2，且AB=AC=5,BC=4,DA=5,DB= DC=4.设A,B,C,D在桌面上的投影分别为A',B',C',D', 则B'C'=4,A'B'=A'C'=√52-(3-2)2=2√6. 设线段B'C的中点为G,连接A'G,则A'G=√(2√6)2一2 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 25.作AH⊥DD'于点H,BJ⊥DD于点J,D'在线段A'G上，设DG=d,D到桌面的距 离为h,则A'D2=AH2,即(2√5-d)2=52-(h-3)2①.由B'D2=BJ2,得22+d2=42- (h-2)2②，则d2=12-(h-2)2,代入①，得h=6-25d,则21d2-16√5d+4=0,又h> 2,所以d=8y5,25,=46+4y2 21 21 2.故上面的小球的最高点到桌面的距离为2十 46+4W295_88+4W295 21 21 15.（1)证明：由正方体的性质可知BB1∥DD1,BB1=DD1.…1分 因为E,F分别是棱BB1,DD1的中点，所以BEDF,B1E=DF, 2分 所以四边形BEDF是平行四边形，所以BFDE.…4分 因为DE在平面AB1F,B1FC平面AB1F,所以DE/平面AB1F.…6分 (2)解：由正方体的性质可知直线AB,AD,AA1两两垂直，则以 A为坐标原点，AB,AD,AA的方向分别为x,y,之轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系。 因为AB=2,所以A(0,0,0),D(0,2,0),F(0,2,1),E(2, 0,1), 则AD=(0,2,0),AF=(0,2,1),AE=(2,0,1). 。…8分 设平面ADE的法向量为m=(x,y,之)， 1m·AE=2x十x=0 则 令x=1,得m=(1,0,-2).…10分 m·AD=2y=0, 因为cos(Am1=1A京·m_2 一Am首，所以AF与平面ADE所成角的正弦值为号 2 ……13分 16.解：(1)因为asin A-csin C=(a-b)sinB,所以a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab.… 2分 因为c2=a2+b2-2 abcosC,所以cosC=a2+62-c2=1 …4分 2ab 因为0<C<,所以C=子 6分 (2)因为D是边AB的中点，所以2CD=CA+CB,所以4CD=CA+2CA.CB+CB, 即b2十a2+ab=36.… …9分 因为b2十a2≥2ab,所以3ab≤36，即ab≤12，…11分 当且仅当a=b时，等号成立，…12分 则△ABC的面积S=号bsin C-。 b≤35，…14分 即当a=b时，△ABC的面积取得最大值3√. 15分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 2a=2W5, 17.(1)解：由题可知 2分 2√a2-b=2, 解得a=√5，b2=4,… 4分 所以a的方程为号+号-1 5分 (2)证明：将y=(x-2》代入号+ ￥=1，整理得(4+5k2)x2-20k2x十20k2-20=0. ……6分 20k2 设A(x1,y),B(x2y2),则x1十x2=4十5k2 …7分 10k2 8k y1+ya=k(x+x2-49三4所以M4十5子b 8分 因为k3≠k,所以k≠0且2≠1，又11⊥L2,所以12的斜率存在且不等于士1，…9分 以-代营长可得N(”5等写 10 8k …10分 8k 8k 所以克MN= 4k2+5 4+5k2 9k 10k2 5(1-k2)’ 12分 10 4k2+54+5k2 8k 9k 9k 所以直线MN的方程为y+ 4+5k2 5(1-k3x- …14分 故直线MN过定点(9o). …15分 18.(1)解：因为f(x)=5lnx十x2-7x十a,所以f'(x)=5+2z-7=2x-5)x-1 (x> 0).…1分 由f()>0,得0<x<1或x>号，则fx)在0,1)和（号，+∞）上单调递增； …2分 由了x)<0,得1<<，则了x)在(1，)上单调递减 …3分 故f(x)的单调递增区间为(0,1D和(，+∞)，单调递减区间为(1，)。 …4分 (2②)(1)解：由(1D可知f(x)在(0,1D和(，十∞)上单调递增，在(1，)上单调递减， 当x>0时，f(x)→-o∞，当x→+∞时，f(x)+∞， 5分 且/1=a6(g)=5h号g+a.… 6分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 a-6>0, 因为∫(x)有3个不同的零点，所以 545 …7分 5ln24 十a<0, 解得6<a<智-5h号，即a的取值范目是(6，号-5》 5 …8分 (1)证明：由1D知01<1<<号 设F(x)=f(x)-f(2-x), 则F'(x)=f(x)+f'(2-x)=2x-5)x-1)+x-1)(2x+1)_10(x-1)2 2-x x(2-x), …9分 则F'(x)>0对x∈(0,1)恒成立，即F(x)在(0,1)上单调递增， 故F(x)<F(1)=0,即f(x)<f(2-x)对x∈(0,1)恒成立. 10分 因为x1∈(0,1)，所以f(x2)=f(x1)<f(2-x1). 因为x∈(1，)，2-x∈(1,2)，且f(x)在(1,8）上单调递减， 所以x2>2-x1,即x1十x2>2.… …12分 设G(x)=f(x)-f(5-x),则G'(x)=f(x)+f(5-x)=2x-5)(x-1D+ (2x-5)(x-4)_(2x-5)2 x(5-x) …13分 5-x 则G'(x)>0对x∈(1，)恒成立，即G(x)在(1，号)上单调递增， 故G(x)<G()=0,即f(x)<f(5-x)对x∈(1，)恒成立. …14分 因为x2∈(1，)，所以f(x)=f(x2)<f(5-x2). 因为x,∈(，十∞)，5-x,∈(，4，且f(x)在(，十∞)上单调递增， 所以x3<5-x2,即x2十x3<5.… ……16分 因为x1十x2>2,所以-x1-x2<-2,则x3一x1<3.…17分 19.解：(1)依题意可得P0=0,Pm+n=1.…2分 (2)当1≤k≤m十n一1时，考虑下一轮比赛，甲赢，球数变为十1，此后甲获胜的概率为 Pk+1) 甲输，球数变为k-1,此后甲获胜的概率为P,,得P:=号P:41十 P-1,…4分 整理得2P+1一3P。十P-1=0,即2(P+1一P)=P。一P4-1,… …5分 设a=P1一P。=P1,则P一P-1=2气， …6分 则P=P+含P,-P)-22品=2a(1-), …7分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 1 又Pn+w=1,所以a=21-2+m叮' 8分 。1-2k 则P1-2m+.… 9分 1-2-m、1-2m 因为Pw=1-2am之 =1-2m, 1 所以由二项式定理得(1十1)-1十C十…>1十m,又n≥2，所以1+m>1+分，…10分 所以2>1+m>1+,所以1-2m>m,即P>m m+n …11分 n 2 (3)设随机变量Y,表示第t轮比赛造成的甲持有的球个数的变化量，则P(Y,=1)= 3 PY=-1D=3 12分 比赛进行t轮后，X,可以表示为X,=X-1十Y:,t≥1， 由X-1与Y,相互独立，及入X:=入-+y=入x-, 得E(X)=E(-1入)=E(X-1)E(以).…14分 因为E(X)与t无关，所以对任意的t≥1，都有E(X)=E(-1),…15分 由>0且初始状态X。=m,得E(X)=入m,则E(a')=1, Ea)-a-PCY.--D+APY.-1-1. …16分 整理得2以2-3以+1=0，因为入≠1，所以X=2 17分 回▣回 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】高三数学 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如解改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将各案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4、本试卷主要考试内容：高考全部内容。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.设复数之1=1十i,之2=一1十2i,则之1十之2= A.i B.2+3i C.-i D.-2+3i 2.已知函数f(x)=x(e3x+3),则1im f(△x)= Ax= -0 △x A.0 B.2 C.3 D.4 3.设集合M={x∈R|x<1且xQ},则 2 A.3∈M B.√5-√2∈M C.√2-1EM D.3-√3∈M 4.过抛物线C:y2=2x(p>0)上一点P作其准线的垂线，垂足为H,C的焦点为F,|FH|= 2√3，且△PFH的面积为3√2，则|PF|= A.2√2 B号 C.6 D.3 5.已知函数f(x)=Acos(于x十牙)A>0)的部分图象如图所示，M, N是图象上的两个顶点，0为坐标原点，且OM.ON=一5，则A= A.1 B.2 C.√2 D.√3 6若直线y=25Q,与双曲线C:-IQ>0,b>0)的交点为A,B,且AB大于C的酸 轴长，则C的离心率的取值范围是 A.(1,W5) B.(1,√6) C.(5,+∞) D.(W6,十o∞) 7.某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实 验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每 项活动由1人主持，则不同的选派方案有 A.504种 B.1080种 C.1224种 D.2304种 【高三数学第1页（共4页）】 8.若tan a2cos B-cos a+5 cos8+sina+2,则tana= 2 A-青 R号 c- n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项将合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.现有一组数据5,6,4,2,5,8,7,3,6,2,4，则 A.这组数据的极差为7 B.这组数据的中位数为5 C.这组数据的平均数大于4.8 D.这组数据的第60百分位数为5 10.已知A,B分别是圆C:x2-4x十y2=0与x轴的左、右交点，点P在圆C上，且|PA|=2, 将圆C沿直线x=2翻折成一个二面角，使得点A、点P分别到达点A'、点P的位置，该二 面角的大小为0，且0∈(0，π)，翻折前后点B的位置始终不动，则 A.圆C的直径为4 B当9=时，A'B1=2 C.当9=时，A'BI>P'B1 D.当0=5时，lP'B|=22 11.若函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,且Hx,y∈R,f(x2-y2)=xf(x)一yf(y),则 A.f(0)=0 B.Ha∈R,af(a)≠a+f(a2-l) C.y=f(x)一[f(x)]3为奇函数 D.当xy≤0时，f(x+y)=f(x)+f(y) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设等差数列{an)的前n项和为Sn,且S3=1,S6=7,则S12=▲ 13.设函数f(x)=x5-2x4-3x3极值点的个数为n,所有极值点之和为m,则不等式f(x)<0 的解集为▲，m十n=▲ 14.桌面上放置了3个小球，其中1个小球的半径为3，另外2个小球的半径均为2，它们两两相 切且都与桌面相切，在这3个小球的上方放置1个半径为2的小球，使得这4个小球两两相 切，则上面的小球的最高点到桌面的距离为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15.(13分) 如图，在正方体ABCD-A1B,C1D,中，AB=2,E,F分别是棱BB1,DD1的中点、 (1)证明：DE平面AB1F. A D (2)求AF与平面ADE所成角的正弦值. 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin A-csin C=(a一b)sinB, (1)求C; (2)若D是边AB的中点，且CD=3,求△ABC面积的最大值. 17.（15分) 已梢图n茶 +6=1(a>b6>0)的长轴长为2V5,焦距为2. (1)求2的方程； (2)若直线l1:y=k(x一2)(k3≠k)与2交于A,B两点，过点(2,0)的直线l2与2交于C, D两点，且l1⊥L2,线段AB,CD的中点分别为M,N,证明：直线MN过定点， 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=5lnx十x2一7x十a. (1)求f(x)的单调区间. (2)设f(x)有3个零点x1,x2,x3,且x1<x2<xa (1)求a的取值范围； (i)证明：x1+x2>2且x3一x1<3. 19.(17分) 甲、乙两人进行一项比赛，初始时，甲有m(m≥2)个球，乙有n(n≥2)个球.在每轮比赛中， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且获胜方从对方那里拿走一个球（即获胜方增加一 个球).当任意一方的球的个数变为0时，比赛立即终止，另一方获胜.设当甲有(0≤≤ m十n)个球时，甲最终获胜的概率为Pk. 封 (1)求P。和Pm+n· (2求P:的表达式并证明P>m (3)已知当随机变量X与Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y).设比赛进行t轮后甲有 X,个球.若存在正实数λ≠1，使得E()与t无关，求入的值 线 【高三数学第4页（共4页）】