精品解析：河南省周口市扶沟县高级中学2026届高三下学期三月质量检测数学试卷

2026届高三下学期三月质量检测数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以复数的实部为. 2. 已知集合， ，则集合的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求解分式不等式确定集合，再结合交集运算和真子集计算公式即可求解. 【详解】由解得， 即， 故, 则集合的真子集的个数为. 3. 在中，，，点满足，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 4. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设数列公比为，由等比数列通项公式及题意可得答案. 【详解】设数列公比为，则， ，因， 则（负舍）. 故选：A 5. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案. 【详解】将化成标准方程为， 圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：D. 6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（ ）小时才能驾驶.（参考数据：） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用指对互化及对数运算性质求解即可. 【详解】想要在不违法的情况下驾驶汽车，则每血液中酒精含量小于， 即小时后，，则，两边取对数得， 即小时， 所以至少需要等待11个小时， 故选：A. 7. 已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，根据极大值点和对称中心的个数，数形结合得到，求出答案. 【详解】，时，， 因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心， 故，解得. 故选：A 8. 设函数，若对任意都有，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域，比较和的两个根的大小， 即可讨论得，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】由于，令，则，令则， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，此时，所以， 当，取等号，故的最大值为， 故选：B 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ） A. 满意度调查中抽取的样本容量为5000 B. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C. 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D. 若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可判断C选项，列出方程即可判断D选项. 【详解】满意率调查中抽取的样本容量为错误； 由扇形统计图知， 则人，B正确； 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为人，C正确； 抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30， 则，则，D错误. 故选：BC. 10. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的方程，确定其过右焦点，设直线的倾斜角为，可得，设，结合双曲线的定义，可得的值，从而判断B； 在中，根据余弦定理可得的值，从而可得双曲线的离心率与的值，即可判断A，D；在中，由余弦定理解得的值，即可得的长，从而判断C. 【详解】由题意可知：， 因为直线：， 可知直线过右焦点，斜率， 设直线的倾斜角为，则，可得， 设， 由，可得，，，故B正确； 在中，可知， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍去）， 可得双曲线的离心率为，，故D正确，A错误； 在中，可知， 由余弦定理， 即，解得，故C错误； 故选：BD. 11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，，（为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ） A. B. C. 的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算，结合投影向量的运算及向量的模的运算即可求解. 【详解】已知平面内点，点，所以， 又，所以，所以， 又因为，所以，即， 所以，所以，故B错误； 因为点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点， 所以， 即，故C正确； 对于A，， 则，故A错误； 对于D，在方向上的投影向量为， 故D正确. 故选：CD. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】结合抛物线的定义将抛物线上动点到焦点的距离转换成到准线的距离，进而可求解. 【详解】对于抛物线，得，即，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即 ， 因此 ， 又，点在抛物线内部， 的最小值为点到准线的距离， 计算得， 故的最小值是8. 13. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两条曲线的导数，设出公切线与两条曲线的切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再根据两条切线方程相同列出等式，最后通过构造函数，利用函数的单调性和极值来确定的取值范围. 【详解】设，，则，. 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则公切线的斜率，消去，得. 因为，所以，即， 将其代入并分离参数，得. 令，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，极大值为. 当时，，当时，. 因为曲线与曲线有三条公切线， 所以关于的方程恰有3个不同的实数解， 则，即. 故答案为： 14. 已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______． 【答案】. 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体考虑，利用对称性，判断平面，，，满足的条件，建系求解即可. 【详解】如图，将四面体放入正方体中， 由对称性不妨设平面，，，分别过， 由平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d， 从而过的中点，靠点的三等分点； 过的中点，靠点的三等分点； 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ， 设平面的法向量为 则，取， 从而. 四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 16. 如图，三棱柱的所有棱长均为，，二面角的余弦值为． （1）证明：． （2）求三棱柱的体积． （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接，，，， 作，垂足为，连接并延长，交于点， 由题意可得，均为等边三角形，所以，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角即，所以， 因为三棱柱的所有棱长均为6，所以，， ，，， ，所以，， 即，因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，，，作，垂足为，连接并延长，交于点，证明平面，再根据平行证明. （2）求三棱柱的体积，只需求出四边形的面积，再根据三棱柱的体积求解即可. （3）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，再根据公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形的面积， 三棱柱的体积. 【小问3详解】 由（1）可得，，过点作轴，平行于，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 设为平面的法向量，则所以可取， 连接，取的中点，连接，则，， 由（1）得平面，因为平面，平面， 所以，，，所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 平面的一个法向量为，， 所以二面角的正弦值为． 17. 某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. （1）（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. （2）社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】（1）（I） 0.78；（II）或0.8077 （2）选择方案二. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果； （2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好. 【小问1详解】 设事件：学生提前认真准备，事件：学生未提前准备；事件：线上初审通过. 由题意可得： （I） 根据全概率公式： 所以一名学生线上初审通过的概率为0.78. （II）根据贝叶斯公式： 所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为或0.8077. 【小问2详解】 设方案一的期望面试次数为，方案二的期望面试次数为. ① 方案一：所有学生均参加2次面试，因此期望面试次数. ② 方案二： 设随机变量表示方案二的面试次数，的可能取值为1，2. 所以分布列为： 1 2 0.22 0.78 所以. 因为 所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，分别与交于，两点，若，两点的横坐标之和为，求直线的方程； （3）若不过点直线与椭圆交于，两点，且满足，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点 【解析】 【分析】（1）由离心率以及过点，列方程求解即可； （2）设直线联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理表示出，两点的横坐标之和，带入求解即可； （3）设直线：联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理表示出，令其为0化简得的关系即可得定点. 【小问1详解】 ，代入点得：，又 解得：，， 所以椭圆的标准方程为： 【小问2详解】 设，，， 联立直线方程和椭圆方程得：， ，， ， 直线，所以，同理可得， ， 所以，代入直线方程得： 【小问3详解】 设，，当直线斜率存在时，设为：， 联立直线方程和椭圆方程得：， ， 所以，． ． 代入可得：， 当时，，此时，过点，不成立． 当时，，此时，过定点 若直线斜率不存在，， 此时，不妨取，，成立． 综上，直线过定点． 19. 已知函数，. （1）当，时，求函数的单调区间； （2）若对任意，，对恒成立. （i）求的取值范围： （ii）若，证明：函数有且仅有一个极大值点. 【答案】（1）增区间为，减区间为. （2）（i） （ii）由上知，又， 当时. ， 当时，， 由零点存在定理可知存在，使得. 下面证明：在区间上有且仅有一个零点. 记，， 则，令，可得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以. ①当时，，所以单调递减 此时在区间上有且仅有一个零点 ②当时，，. 当时，此时存在唯一的，使得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上有且仅有一个零点. 当时， 存在两个点，，使得， 即， 故在上单调递减，上单调递增，上单调递减， 又. 记，. 所以，进而，所以对任意，总有 则对任意，.所以不存在零点. 而在上单调递减，， 所以在上有且仅有一个零点. 综上所述，在上有且仅有一个零点， 且当时，，时，，从而为的极大值点， 所以有且仅有一个极大值点，证毕. 【解析】 【分析】（1）代入，对函数求导，即可求得函数的单调区间； （2）（i）利用不等式恒成立可得，结合单调性即可求得，可得 （ii）由（i）可得，对函数多次求导并利用单调性与极值，结合零点存在性定理即可判断在上有且仅有一个零点，即可得出证明. 【小问1详解】 当，时， 可得，所以， 当时，；当时. 所以的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 （i）设，则在上单调递减， 则只需， 令，，由可得； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以， 所以. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期三月质量检测数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合， ，则集合的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 3. 在中，，，点满足，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 4. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 5. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（ ）小时才能驾驶.（参考数据：） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 7. 已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若对任意都有，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ） A. 满意度调查中抽取的样本容量为5000 B. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C. 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D. 若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 10. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. C. D. 11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，，（为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ） A. B. C. 的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 13. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 14. 已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______． 四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，三棱柱的所有棱长均为，，二面角的余弦值为． （1）证明：． （2）求三棱柱的体积． （3）求二面角的正弦值． 17. 某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. （1）（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. （2）社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，分别与交于，两点，若，两点的横坐标之和为，求直线的方程； （3）若不过点直线与椭圆交于，两点，且满足，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由． 19. 已知函数，. （1）当，时，求函数的单调区间； （2）若对任意，，对恒成立. （i）求的取值范围： （ii）若，证明：函数有且仅有一个极大值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $