24.3数据的四分位数（教学课件）数学新教材人教版八年级下册

同学们好在统计学的世界里，我们经常听到平均数这个词。比如甲乙两个班级的数学平均分都是80分，但这真的能代表两个班级的水平完全一样吗？请看屏幕，左边甲班同学的分数都集中在80分上下，非常整齐，而右边一半一半人考了100分，另一半只考了60分，虽然平均分也是80分，但情况截然不同。平均数有时候会骗人，它掩盖了数据的内部差异，为了看清数据是集中还是分散，我们需要一把更精细的尺子。今天我们就来学习一种能把数据结构解剖的清清楚楚的工具，四分位数与镶嵌图。首先我们要掌握核心概念，四分位数顾名思义就是把数据分成四等份。第一步也是最关键的一步，必须把所有数据按照从小到大的顺序排列。想象这组数据是一条长长的面包，我们要把它切成等量的四块，需要切几刀呢？没错，三刀这三个切点就是我们的主角。第一个切点叫第一四分位数，记作听一。它左边包含了25%的数据，也叫下四分位数。中间的切点大家很熟悉，就是中位数记作Q2，左边有50%的数据。第三个切点是第三四分位数，记作Q3，也叫上四分位数。它左边包含了75%的数据，这三个点把数据完美的分成了四个相等的区域。有了这三个四分位数，再加上数据的最小值和最大值，我们集齐了统计学的五大金刚。现在让我们把它们变成图形，这就是相线图。首先在Q1和Q3的位置画两条竖线，把它们连成一个矩形盒子。这个盒子非常重要，它包含了中间50%的数据，代表了数据的主体部分，盒子的长度反映了数据的波动大小。接着在盒子里Q2也就是中位数的位置画一条线，最后从盒子的两端向外延伸，分别连向最小值和最大值。这两条线看起来像猫的胡须，所以湘线图有时也叫相须图。看一个完整的相线图就诞生了，它有五个关键数值支撑，结构清晰，一目了然。为什么要费力画这个盒子呢？因为他能一眼看穿数据的性格。请看屏幕上的对比，上方这个镶嵌图盒子很短，说明中间50%的数据挤在一起，分布非常集中，代表成绩稳定。而下方这个盒子很长，说明数据分布很散，差异很大，代表成绩波动剧烈。再看那两条胡须，如果一边的胡须特别长，说明那边有极端的数据，也就是我们常说的拖后腿或者大神。通过观察相线图的对称性、盒子的长短、胡须的伸展，我们不需要看枯燥的数字表格，就能瞬间判断出一组数据的分布规律，这就是可视化的力量。最后让我们快速回顾今天的重点，四分位数与相线图的学习口诀是一排二分三画图。一排是将数据从小到大排序，这是基础。二分是找出最小值、Q1、中位数、Q2、Q3和最大值这五个关键点。三画图是利用这五点绘制箱线图。记住Q1是25%的分界线，Q3是75%的分界线，而盒子代表了中间50%的数据。相线图是初中统计学中非常实用的工具，希望大家在解决实际问题时能灵活运用它来分析数据的分布特征。今天的课程就到这里，同学们再见。 24.3数据的四分位数 第二十四章 数据的分析 人教版八年级下册 学习目标 能计算一组数据的四分位数，知道箱线图可以直观反映数据分布的信息. 一 了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义． 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 小结梳理 7 布置作业 2 合作探究 情境引入 刻画数据的集中趋势 统计量 平均数 中位数 众 数 离差平方和 方 差 四分位数 引言 集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征.为了获取数据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况. 刻画数据的离散程度 合作探究 问题 某银行有A和B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率(单位：%)如下： A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品? 合作探究 我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平.通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方差分别为 A≈3.862，S2A≈1.327； B≈3.863，S2B≈0.117. 可以看出，团队B的产品收益率的平均数稍大于团队A，但差别不大；团队A的产品收益率的方差明显大于团队B，即团队B的产品收益率的稳定性要好于团队A. 因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择 经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择 经营的理财产品. 团队B 团队A 方差在具体问题中所表示的含义需结合问题背景进行解释.这里产品收益率的方差表示投资的风险. 合作探究 思考 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 分析：平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息.因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量. 合作探究 百 分 位 数 的概念 一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数，相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 合作探究 2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44 中位数 3.915 50%分位数 中位数 3.195 中位数 4.44 25%分位数 75%分位数 第二四分位数 第一四分位数 第三四分位数 合作探究 四 分 位 数 的概念 由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数(中位数)、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3. 第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数. 合作探究 2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44 3.915 3.195 4.44 第二四分位数 第一四分位数 第三四分位数 由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布情况.其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的 ，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的 ，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的 .产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的 . 25% 一半 25% 50% 合作探究 3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44 3.89 3.635 4.125 第二四分位数 第一四分位数 第三四分位数 由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的 ，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的 ，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的 .产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的 . 25% 一半 25% 50% 合作探究 箱 线 图 的概念 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图.它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 合作探究 团队B产品收益率的箱线图 团队A产品收益率的箱线图 从图中你还能看出哪些分布信息? 合作探究 从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等(表示中位数的水平线段差不多高)，但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大（团队A的箱体和须线比团队B的长），这与用平均数、方差比较的结果是一致的. 箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示. 合作探究 团队B的产品收益率分布比团队A的更对称（中位数对应的水平线段在箱子的中间位置)，团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率. 箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示. 合作探究 思考 与直方图、条形图比较，箱线图在表示数据方面有什么特点? 答：它们都可以反映数据的分布情况. 从箱线图容易看出最大值、最小值及三个四分位数，以及每四分之一数据分布相对的疏密情况.由于箱线图只利用了一组数据五个位置值的信息，所以只能反映数据分布信息的概貌. 合作探究 归 纳 按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数： 1.找出这组数据的中位数，作为这组数据的 ； 2.找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的 和 . 3.利用一组数据的三个四分位数，以及 可以刻画这组数据的大致分布情况. 第二四分位数 第一四分位数 第三四分位数 最小值、最大值 典例分析 例 根据第173页表24.2-5中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 解：将表中两地的气温(单位：℃)分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据. 典例分析 甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为 Q2=16，Q1= =11.5，Q3= =21. 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 Q2=16，Q1= =13.5，Q3= =18.5. 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 在求Q1、Q3时，两侧数据都没有含Q2. Q1 Q2 Q3 典例分析 在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示. 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 巩固练习 1.某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示. （1）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ （2）请分析这个月空气质量的特点. 解：（1）最大值为110，最小值为30，第一四分位数为40，第二四分位数为50，第三四分位数为80. 巩固练习 1.某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示. （1）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ （2）请分析这个月空气质量的特点. 解：(2)空气质量差异较大，空气质量指数在30至50之间较为集中，占总数据的一半. 巩固练习 2.计算第149页“问题1”中每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱 线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点. 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 甲组 143 156 182 185 194 乙组 141 148 170 199 242 解：甲组：第一、二、三四分位数分别 为149.5，182，189.5. 乙组：第一、二、三四分位数分别 为144.5，170，220.5. 甲组 乙组 跳绳成绩/次 巩固练习 2.计算第149页“问题1”中每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱 线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点. 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 甲组 143 156 182 185 194 乙组 141 148 170 199 242 由图可以得到，甲组的中位数比乙组的大，甲组最小数据和乙组的差不多，但乙组最大数据明显比甲组的大，因此乙组数据的波动明显比甲组的大，即乙组跳绳成绩的组内差距更大. 甲组 乙组 跳绳成绩/次 巩固练习 3.任何一组数据的四分位数，是否都恰好能把这组数据分成四等份？举 例说明. 答：只有数据个数能被4整除的一组数据可以分成四等份. 2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44 3.915 3.195 4.44 第二四分位数 第一四分位数 第三四分位数 归纳总结 数据的大致分布 百 分 位 数 一组数据按 的顺序排列， 是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数. 四 分 位 数 称为这组数据的第一四分位数、 称为这组数据的第二四分位数(中位数)、 称为这组数据的第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3. 箱 线 图 用一组数据的 这五个数值画出箱线图.它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 从小到大 中位数 25%分位数 50%分位数 75%分位数 三个四分位数及最小值、最大值 归纳总结 小结梳理 数据 集中趋势 平均数 分布式计算 总体平均数 样本估计总体 中位数 众 数 离散程度 离差平方和 方 差 总体方差 样本估计总体 大致分布 四分位数 箱线图 布置作业 必做题：习题24.3 第1，2题. 1 探究性作业：习题24.3 第3，4题. 2 人教版八年级下册 谢谢观看！ Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $