24.4数据的分组（教学设计）数学新教材人教版八年级下册

24.4数据的分组 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是在学习离差平方和、方差的基础上，结合实际分组需求，学习按组内离差平方和最小的原则对有序数据进行两组分类的方法，理解组内离差平方和与组间离差平方和的关系，能运用该原则进行合理数据分组并解释结果。 2. 内容分析 本节课是数据统计的应用拓展内容，以离差平方和为核心工具，研究数据的科学分组方法。重点是掌握“组内离差平方和最小”的分组规则，难点是理解该原则的数学合理性与实际意义，让学生学会用统计方法实现客观、科学的数据分类，提升数据决策能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法。 （2）能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。 2. 目标解析 （1）学生经历数据分组的探究过程，理解组内离差平方和、组间离差平方和的含义，掌握“先排序→再逐间隔分组→计算组内离差平方和→取最小值分组”的方法。 （2）学生能解释分组结果的合理性，根据统计分组作出简单判断与预测，能结合实际背景交流分析结论，发展数据分析与应用意识。 三、教学问题诊断分析 学生可能出现的问题： 1. 学生难以理解组内离差平方和最小的数学意义，不明白为何该原则能让“组内相近、组间差异大”。 2. 学生在手动计算离差平方和时步骤烦琐、易算错，且不会快速比较各组分组结果。 应对策略： 1.用公式推导与实例结合，直观说明“组内最小→组间最大”的逻辑，降低理解难度。 2.强调使用计算器计算，重点放在方法选择与结果判断，减轻计算负担。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法。 四、教学过程设计 （一）情境引入 引言 在社会生活中，分类现象普遍存在.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题. 设计意图：从生活中常见的分类需求入手，引出数据合理分组的必要性，激发探究兴趣，自然导入本节课的分组原则与方法。 （二）合作探究 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 分析：自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进入面试.那么笔试成绩怎样才算好呢?可以有不同的标准.例如，前三名或85分及以上等.不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用.但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩.而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法. 思考： 怎样才能把笔试成绩相对接近的应聘者分到同一组呢？ 笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组. 分析：将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起.因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法.可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成 9 个间隔，如图所示.每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有 9 种分法. 思考：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为，则离差平方和为 如果把这组数据分为两组，前m(m<n)个数据为一组，后(n−m)个数据为一组，它们的平均数分别记为1和2，离差平方和分别为 那么 其中+称为 组内离差平方和 ，表示两个组内数据的离散程度；记=m(1−)2+(n−m)(2−)2，是m个第一组数据平均数、(n−m)个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为 组间离差平方和 ，表示两个组间的差异. 分析：由于d2不变，且d2=++，所以当组内离差平方和达到最小时，组间离差平方和达到 最大 ，这也说明了此种分组方法的合理性. 我们既可以按 +最小 来分组，也可以按 最大 来分组. 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组.利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{58 , 64 , 68 , 75 , 76}和{83 , 85 , 89 , 90 , 92}. 设计意图：以招聘笔试成绩分组为真实情境，逐步推导组内离差平方和的计算与比较方法，让学生理解“组内差异最小、组间差异最大”的分组原理，突破核心重难点。 （三）典例分析 例 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如下表所示. 根据平均气温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 −11 −3 3 3 9 10 12 17 21 22. 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 追问：结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗? 设计意图：以城市平均气温为载体，巩固数据排序、分组计算、结果判断的完整流程，结合地理知识验证分组的合理性，体现统计与实际生活的联系。 （四）巩固练习 1.把下表中10城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分组，应该如何分？结果和按组内离差平方和最小分组一致吗？ 解：由于d2不变，且d2=++，所以当达到最大时，+达到最小，所以按组间离差平方和最大分组的结果，与按组内离差平方和最小分组的结果一致. 2.某年5个城市的人均生活用电量如下表所示. 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得788 812 847 886 910，将它们分成两组共有4种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{788，812，847}和{886，910}，即{A，B}和{C，D，E}. 3．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（  D  ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 4．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（  B ） A．和 B．和 C．和 D．和 设计意图：通过气温、用电量、体育测试等分层练习，强化分组方法的应用，巩固核心原则，提升学生判断、计算与说理的能力。 （5） 归纳总结 （六）小结梳理 （七）布置作业 1.必做题：习题24.4 第1，2题. 2.探究性作业：习题24.4 第3题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $