精品解析：天津市河北区2025-2026学年第二学期期中高二年级质量检测数学试题

河北区2025-2026学年度第二学期期中高二年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 20种 D. 21种 2. 若为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 4. 4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 360 5. 若函数在处有极值，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则导数是（ ） A. 仅有最小值的奇函数 B. 既有最大值又有最小值的偶函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的奇函数 7. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中所有项的系数之和为256 B. 展开式中含的一次项为 C. 展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256 D. 展开式中二项式系数最大项为第4项 9. 已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ） A. 360 B. 280 C. 255 D. 210 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 已知的展开式中第6项的系数为，则实数__________. 12. 若，则___________． 13. 直线与曲线相切于点，则___________． 14. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 15. 若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： （1）第一次和第二次都摸到红球的概率； （2）在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； （3）第二次摸到红球的概率． 17. 已知的展开式中第项为常数项． （1）求的值； （2）求展开式中含有项的系数（用数字作答）； （3）求展开式中含有项的系数（用数字作答）． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； （3）若函数在区间上有3个零点，求实数的取值范围． 19. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025-2026学年度第二学期期中高二年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 20种 D. 21种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计算原理求解即可. 【详解】7名男运动员选1名组对有7种选法，3名女生选1名组对有3种选法， 则不同的选法共有种． 故选：D. 2. 若为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为. 3. 已知函数，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，代入求解即可. 【详解】， 又，所以，所以，解得. 4. 4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】5位同学，分为2,1,1,1，根据组合和排列相关公式求解. 【详解】由题意得，5位同学对4种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1， 故不同的总方案数为. 故选：B 5. 若函数在处有极值，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 因为函数在处有极值，所以，解得. 此时当时，；当时，. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以是函数的极大值点.故满足题意. 所以的单调递增区间是． 6. 已知，则导数是（ ） A. 仅有最小值的奇函数 B. 既有最大值又有最小值的偶函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】求出，利用奇偶性定义判断出奇偶性；利用导数求出最值. 【详解】， 因为关于原点对称， 所以，所以导函数是奇函数． 令， ，在上单调递增， 即在上单调递增． ． 既有最大值又有最小值． 故选：D. 7. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式等价于两种同号情况：或， 其中对应函数单调递增，对应函数单调递减，结合图像分区间讨论： ：，单调递减，乘积为负，不满足； ：，单调递减，乘积为正，满足； ：，单调递增，乘积为负，不满足； ：，单调递增，乘积为正，满足； ：，单调递减，乘积为负，不满足； 时，，，不满足； 时，，，不满足； 因此，的解集为. 8. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中所有项的系数之和为256 B. 展开式中含的一次项为 C. 展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256 D. 展开式中二项式系数最大项为第4项 【答案】B 【解析】 【分析】由条件前3项的系数成等差数列列方程求，再根据二项式定理进行逐项分析. 【详解】的展开式的通项公式为. 所以该二项式展开式前3项的系数为，，， 因为前3项的系数成等差数列，，即， 整理得，解得或（舍去）. 所以该二项式为，展开式通项公式为. 对于A：令，则，即展开式中所有项的系数之和为，故A错误. 对于B：令，解得，则，故B正确. 对于C：展开式中所有奇数项的二项式系数之和为，故C错误. 对于D：因为，则展开式中二项式系数最大项为中间项，即第项，故D错误. 9. 已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可推出方程有实根，分离参数即方程有实根．由此构造函数，利用导数求出其最值，即可求得答案. 【详解】由，得， 因为曲线存在与y轴垂直的切线，所以方程有实根， 即方程有实根． 设，则，当时，单调递增， 当时，单调递减，故， 又当趋向于负无穷大时，也趋向于负无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于0， 所以， 则a的最大值为， 故选：C． 10. 已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ） A. 360 B. 280 C. 255 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式展开式定理来求十阶导函数的指定项即可. 【详解】因为 所以， 继续求二阶导数得：， 继续求三阶导数得： ， …… 所以. 所以的系数为. 故选：D 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 已知的展开式中第6项的系数为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指定项系数，结合展开式通项公式列方程求参数a即可. 【详解】由题设，展开式通项为， 所以，故，则， 所以，又，故. 故答案为： 12. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】原式求导得：， 令，则， 把与代入原式得：. 13. 直线与曲线相切于点，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】直线与曲线相切于点，可得，求得的导数，可得，即可求得答案. 【详解】直线与曲线相切于点 将代入，可得，解得: ，求导，由，解得：，可得, 又根据在上，，解得： 故 故答案为：4. 14. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 【答案】 ①. ②. ##0.25 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解 【详解】记=“零件是第一台车床加工”，=“零件是第二台车床加工”， =“取出的零件是合格品”，=“取出零件是废品”； 第一台加工零件数是第二台的2倍，因此，； ，， 因此，， 任意取出零件是合格品的概率： 废品的总概率， 再代入贝叶斯公式：. 15. 若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用导数判断出函数在上单调递增时，再由二次函数性质以及分段函数端点处函数值的大小求出结果. 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： （1）第一次和第二次都摸到红球的概率； （2）在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； （3）第二次摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可. （2）根据条件概率计算公式求解即可. （3）根据全概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球， 所以. 故第一次和第二次都摸到红球的概率为. 【小问2详解】 第一次摸到红球的概率为，所以. 故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为. 【小问3详解】 ，则，所以， 所以. 故第二次摸到红球的概率为. 17. 已知的展开式中第项为常数项． （1）求的值； （2）求展开式中含有项的系数（用数字作答）； （3）求展开式中含有项的系数（用数字作答）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式通项公式，由“第9项为常数项”确定项数与指数为零的条件，联立解出指数； （2）在已知的基础上，令通项中的指数等于目标值反解项序，再代回通项求系数； （3）通过多项式乘法分配律分析目标项，分别求出被乘式中对应次幂的系数，再求出最终结果. 【小问1详解】 由二项展开式的通项公式得； 因为第项为常数项，因此，且， 代入得. 【小问2详解】 令 代入通项计算系数得 【小问3详解】 根据多项式乘法，展开式的项仅来自两种组合： ①乘原二项展开式中的项；②乘原二项展开式中的项， 已知原二项项系数为， 计算原二项项的系数：令，系数为， 因此含有项的系数为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； （3）若函数在区间上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为. 极大值为，极小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求曲线的切线斜率，进而可求切线方程； （2）结合导数与单调性及极值关系可求； （3）结合（2）的单调性、极值、端点函数值及图象求解即可． 【小问1详解】 已知，求导得. 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得，. 令，即，又，所以， 解得或. ，随的变化如表所示： 1 2 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 极大值为，极小值为. 【小问3详解】 函数在区间上有3个零点等价于与在上有三个交点， 又，， 在上的图象如下： 所以当时，与在上有三个交点. 故实数的取值范围为. 19. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果 【小问1详解】 当时，，定义域为， 令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值 【小问2详解】 ，定义域为 因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减. 综上：单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有 由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以 当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故. 当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为 令 因为，所以，则，即，不满足题意，舍去 综上所述：a的取值范围为 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $