精品解析：天津市河北区2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷

天津市河北区2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 18种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配方案数. 【详解】由题意，4名志愿者任意分配共有种分法， 若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有种分法， 所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有种. 故选：C 2. 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 故选：C 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角. 【详解】因，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 5. 已知函数导函数为，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，令，代入即可求解. 【详解】由题意得，令，则，得. 故选：A 6. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：D 7. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当或时，；当时，； 而等价于①，或②， 由①得或，则， 由②得，则， 综上，. 故选：B. 8. 若函数的单调递减区间为，则（ ） A. B. C. 16 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可. 【详解】由题意，且的解集为，故， 解得，故. 故选：A 9. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与块相同、D块与块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析： (1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； (2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； (3)对于C 、D块，分2种情况： 若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， 若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况， 则C 、D共有种情况； 综合可得：一共有种不同的种法. 故选：B 10. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理： 对于任意实数， 当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作： . 用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A. 2.922 B. 2.926 C. 2.928 D. 2.930 【答案】B 【解析】 【分析】变形，然后根据题中的方法计算即可. 【详解】. 故选：B. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 二项式的展开式中常数项为 __________.(用数字作答) 【答案】60 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出的指数为0的项即得. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 由，得，则， 所以二项式展开式中常数项为60. 故答案为：60 12. 已知函数，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及单调性去函数符号计算即可. 【详解】由函数，可得为奇函数， 又，所以为R上的单调递增函数， 故由可得， 即， 即的取值范围是. 故答案为： 13. 某物体做直线运动，其运动规律是，则它在的瞬时速度等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出时的导函数值，即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以它在的瞬时速度等于. 故答案为： 14. 若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为在恒成立，分离参数后求最大值即可求解. 【详解】若函数在上单调递增, 只需在恒成立， 故在恒成立, 而在递减, 所以， 故,即实数t的取值范围是. 故答案为： 15. 已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同切线，则______，切线方程为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解析：设两曲线的交点为，∵，，∴由题意可 得解得，，故，∴切线方程为． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）一共有多少种放法？ （2）每盒放一球，有多少种放法？ （3）每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （4）恰好有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）按分步乘法计数原理计算即可； （2）每盒一球，等价于4个元素全排列，带值运算即可； （3）每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则先确定编号相同的元素，剩余的两元素错位，仅有一种方法，分步乘法计数原理求解即可； （4）有一个空盒，则4个小球分成三组，则其中一个盒内有2个小球，则等价于三个元素安排排序，有四个位置可选，为种，采用分步乘法计数原理运算即可. 【小问1详解】 每个小球有4种放法，则4个小球有种放法 【小问2详解】 每个盒子都只能放1个球，放法的总数就是4个数的全排列，即有种放法． 【小问3详解】 恰有2个球放入编号相同的盒子内，有种放法，剩下2个小球放入编号不同的盒子中，有1种放法，有种不同的放法． 【小问4详解】 第一步在4个球中任选2个放在一起有种方法，第二步在4个盒子中任选3个盒子，将选出的两个球作为一组，和剩下的两个球分别放入3个盒子，有种放法， 有种放法． 17. 已知二项式的展开式中前项的二项式系数之和为． （1）求的值； （2）求的展开式中所有项的系数和； （3）求的展开式中的系数（用数字作答）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的方程，结合可解出的值； （2）在式子中，令可得出展开式中所有项的系数和； （3）求出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，即可得解. 【小问1详解】 二项式的展开式中前项的二项式系数之和为， 即，整理可得，解得或（舍去），则． 【小问2详解】 当时，令式子中的可得， 所以展开式中所有项的系数和为． 【小问3详解】 当时，二项式的展开式的通项为， 因为， 中，即在中，令，可得， 即中含项的系数为； 在中，即在中， 令可得，所以的展开式中含项的系数为此. 所以的展开式中的系数为． 18. 设，函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【小问1详解】 解：当时，，定义域为， ， ， 曲线在点处的切线方程为，即为. 【小问2详解】 解：因为，定义域为，所以， 当时，恒成立， 函数在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 19. 已知函数． （1）当时，取得极值，求的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间及极值； （3）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为，的极大值为，极小值为-2． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求，再由，求解即可. （2）求出时的值，变化时，判断的变化情况，根据导数的性质进行求解即可. （3）利用分离变量法求出在区间恒成立，结合构造函数，利用导数的性质求出，即可. 【小问1详解】 ， ， 当时，取得极值， ，解得：， 的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 则函数定义域为， ， 令，解得：或， 当变化时，的变化情况如下表： 1 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有极大值， 当时，有极小值， 的单调递增区间为，；单调递减区间为， 的极大值为，极小值为-2． 【小问3详解】 当时，在上恒成立， 即在区间恒成立． 设，，则， 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： － 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ，即， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市河北区2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 18种 D. 48种 2. 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A 8 B. 7 C. 6 D. 5 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 和 7. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数单调递减区间为，则（ ） A. B. C. 16 D. 27 9. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 10. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理： 对于任意实数， 当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作： . 用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A 2.922 B. 2.926 C. 2.928 D. 2.930 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 二项式展开式中常数项为 __________.(用数字作答) 12. 已知函数，若，则的取值范围是__________． 13. 某物体做直线运动，其运动规律是，则它在瞬时速度等于___________． 14. 若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是__________. 15. 已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则______，切线方程为______． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）一共有多少种放法？ （2）每盒放一球，有多少种放法？ （3）每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （4）恰好有一个空盒，有多少种放法？ 17. 已知二项式的展开式中前项的二项式系数之和为． （1）求的值； （2）求的展开式中所有项的系数和； （3）求的展开式中的系数（用数字作答）． 18. 设，函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 19. 已知函数． （1）当时，取得极值，求的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间及极值； （3）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$