高一数学下学期第三次月考卷（北师大版必修第二册第一章～第五章：三角函数与三角恒等变换+平面向量及其应用+复数，高效培优·提升卷）

**基本信息** 高一数学提升卷聚焦必修二核心内容，通过阻尼器模型、费马点等情境题及伴随函数创新定义，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配月考能力分层需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58分|三角函数图像性质、复数运算、向量判定|7题阻尼器模型体现学科交叉，11题费马点渗透数学文化| |填空题|3/15分|三角函数周期、三角恒等变换、三角形外心|14题结合外心向量关系，考查几何直观| |解答题|5/77分|复数几何意义、解三角形、函数值域、情境应用、创新定义|18题景区视角情境题考查建模能力，19题伴随函数定义创新考查逻辑推理|

■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 架 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][C]D] 3[A]B][C]D] 7[A][B][C]D] 款 4[A]B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考 提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则实数（    ） A．3 B．5 C． D． 3．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 4．在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 5．将函数向右至少平移多少个单位，才能得到一个偶函数（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（学科交叉题）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，.当时，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，，且，下列说法正确的是（   ） A．是实数 B．是虚数 C．是实数 D．若，则是实数 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．直线是图象的一条对称轴 C．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为 D．不等式的解集为 11．（数学文化题）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且，，点是的“费马点”．记（），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为，则的值为 13．若，，则___________. 14．已知的外心满足，若，且，则面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知O为坐标原点，复数，，，在复平面内对应的向量分别为，，． (1)若点C在复平面的实轴上，且，求出实数k与a的值； (2)若点C在直线上，且，求出实数a的值，并计算． 16．（15分） (创新题)已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 17．(15分) 已知. (1)求的值域； (2)若，，求； (3)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边的中线AD的长. 18．（17分） (情境题)某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 19．(17分) （创新题）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 强化卷·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 4 5 6 7 8 D D B B A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ACD ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.±2 13.8 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)因为点C在复平面的实轴上，所以b=0,即点Ca,0), 又因为42,3，B1-2列，所以B=-L-5,4C=(a-2-3列， 由B=kaC且keR,得-，5列=(a-2-3引，3分) [k=5 3 所以-1=k(a-2),解得7：(6分) -5=-3k a25 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点C在直线y=-2上，即b=2,所以0C=(a,-2 又因为=(-，5)，B10c,所以B.0c=0, 即-a+10=0,解得a=10,此时z=10-2i,(11分) 五 10+2i5V26,V26 所以 V102+(-22 2626.(13分) 16.(15分) 【解析】(1)选①在△ABC中，由2a=c+2 bcosC及正弦定理，得2sin4=sinC+2 sinBcosC, sin(B+C)-sinC+sininC+osBiCsinC+inc 则 整理得：2 cosBsinC=sinC,(2分) 又inC>0,因此cosB=) 2,(3分) 又Be(0, 所以8-否(4分) 选②由54.Bc+25=0,得3 saccosB+-22 acsinB=0,(3分 因为osB≠0，所以amB=5,又B∈(0，风川， 所以8=骨(4分 选③由(a+h+d(a-b+d=3ac,得到a2+c2-=ac, 所以cosB=a+c2-b21 2ac 2 又B∈(0，，所以B= 3·(4分)》 根据余弦定理b2=a2+c2-2 accosB, 得7=a2+53-2×ax5xcos 31 即49=a2+25-50 整理得42-5a-24=0 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得a=8或a=-3(舍去)所以a=8.(7分) a b =-c 245 (2)由sin4 sinB sinc sin3， 得 3 sind c4 3-sinc 因为8-骨，则4C-经C红-4， 3 斯以e9ma0-4gm号小】 4+ 0<4<骨 因为 为领角三角形，所以0c2红4<则 △AB 3 2 2 所以 64 W5<4simA+ 即a+c取值范围为2W5,4] 17.(15分) 【解标】红)因为= 2 sin xcosc 4sin2r+1+os2对-16 sin 2.x+cos 2. 「117 所以f()的值域为22：(4分) 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 又0<a<S0<2a<元，所以2as、2 2, 所以os2a-7=cos2acs石+sin2asin-2x5+V巨x1-6+5 61 6 “6222“24；(9分) 因为4=24--.- 又4ea,所24：后.28-用- 在△MBC中，a=5,bc=2,由余弦定理=b+c2-2bcos4,可得+c=5 设△BC的BC边上的中线为4D则而-5+4C, 所而-+2B+c-e+2咖+-c+6). 万 所以AD=,所以A4BC的BC边上的中线长为2,5 18.(17分) 【解析】(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90,，AB=200V2cosa,BC=2002sina 连接4D,BD=100+200V2sina 所以am∠D1B-0-100+205sme_1+2V5sm2 AB200√2cosa2√2cosa·(4分) 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D tan∠EAB= 1+4v2sina (2)(i)连接AE,由(1)知BE=50+200N2sina, 42cosa, tan∠DAE=tan∠DAB-∠EAB=tan∠DAB-tan∠EAB l+tan∠DABtan∠EAB 1+2v2 sina 1+4v2sina =212cosa 4v2 cosa 16cos2a 2v2 cosa 2 1+1+2v2sina,1+42sina 4v2 cosa 17+6v2 sina 17+6v2 sina 23 2√2 cosa4W2cos0a 1130sin2a+204v2sina-769=0 两边取平方，化简得： 即2sina-川565√5sina+769=0,因u为锐角， 故sias② 2,则a=45°.(9分) (i)过P作PF L BC于F,由)得∠CPF=45,设CF=X 则tan∠DPF=r+l0 ，tan∠EPF=x+50 x, x+100x+50 则tan∠DPE=tan(∠DPF-∠EPF)=x, 25x 1+x+100.x+50x2+75x+2500 25 25 1 一≤ 250 7 x+ 。250 +752x +75,当且仅当x-50时取等号，此时pC=V2x=50N5:（14分) 因函数y=amx在Q,孕上单调递增，又∠DPE是锐角，故an∠DPE最大时，∠DPE也最大， 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即当PC=50W5,A=150W5时，∠DPE最大，此时凉李P与山底A的距离为1502m (17分) 19.(17分) 【解】国=2sn++4-引emo+eso 6 -4cosx 6 -2sn5+2omr月4wx=3s加-3s 所以0m-5-3引，oM-8+9=25.4分) (2)由伴随向量的定义可知()=V3sinx+1-cosx π 6 62 2 m- 所以可得 2 ，解得 ，因此 2 m=-2 =-2” 所=后}-2m信)8-2台引-2. 8示丽-+2-2+2co02a-6-0 (8分) 展开并化简可得-4+4co18cos+18=0(,令1=cos分，且1-1， 方程变为+2到2r2--18+16=0,即r=-4-18+14≥0， 解得1≤1，又1-1川，所以，=此时=2(keZ且x-0 617 00学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以 所以x=0， 对应=2cos 0= 2 y=2cos0=2， P(0，2) 以 x= =0， (10分) (3)函数 f(x) )为向量 $$\overrightarrow { O M } = \left( 2 ， 1 \right)$$ 的伴随函数， 所以f(x) =2sinx+cosx f(x)=2sinx+cosx， 又关于 x 的方程为 $$f \left( x \right) = m + 2 \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } - 2 \sqrt 3 | \cos x | ，$$ 所以可得 得2 $$\sin x + \cos x = m + 2 \cdot \frac { 1 + \cos x } { 2 } - 2 \sqrt 3 | \cos x | ，$$ 即 m+1=2sinx+2v3cosx， $$m + 1 = 2 \sin x + 2 \sqrt 3 | \cos x | ，$$ 2s in $$2 \sin x + 2 \sqrt 3 \cos x ， x \in \left[ 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right] \cup \left[ \frac { 3 \pi } { 2 } ， 2 \pi$$ 记M $$M \left( x \right) = 2 \sin x + 2 \sqrt 3 | \cos x | =$$ $$2 \sin x - 2 \sqrt 3 \cos x ， x \in \left( \frac { \pi } { 2 } ， \frac { 3 \pi } { 2 } \right)$$ M(x)= = 化简得 $$\left( x \right) = 4 ， \sin \left( x + \frac { \pi } { 3 } \right) ， x \in \left[ 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right] \cup \left[ \frac { 3 \pi } { 2 } ， 2 \pi \right]$$ $$x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1 ， 3 \right\} ， \\ 2 \sin \left( x - \frac { \pi } { 3 } \right) ， x \in \left( \frac { \pi } { 2 } ， \frac { \pi } { 2 } \right)$$ ，作出函数的图像，(15分) y 4 $$2 \sqrt 3 \frac { 4 } { 3 }$$ 2 $$\frac { 3 \pi } { 2 }$$ 2 $$\overline { 6 }$$ $$\frac { \pi } { 2 } \frac { 5 \pi } { 6 }$$ x -2 2 方程 $$f \left( x \right) = m + 2 \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } - 2 \sqrt 3 | \cos x |$$ 在 [0，2π] 上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于4 M(x) 图象与直线 y=m+1 有四个交点，故” 改m+1e(2，25)u(25，4)， $$m + 1 \in \left( 2 ， 2 \sqrt 3 \right) \cup \left( 2 \sqrt 3 ， 4 \right) ，$$ 即m 即me(1，25-i)u(25-1，3) $$m \in \left( 1 ， 2 \sqrt 3 - 1 \right) \cup \left( 2 \sqrt 3 - 1 ， 3 \right) .$$ .(17分 7/7 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以. 故选：D. 2．若复数为纯虚数，则实数（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】， 因为复数为纯虚数，所以，解得,故D正确. 故选：D 3．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 4．在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】由，此时四边形 为平行四边形， 因为，所以 ，即对角线长相等， 故四边形为矩形 故选：C． 5．将函数向右至少平移多少个单位，才能得到一个偶函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数向右平移个单位之后是偶函数， 即是偶函数， 则， ，最小的正数，即当时，此时 故选：B 6．已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简可得，由，则，即；， ，由，则，即， 所以，故选：A. 7．（学科交叉题）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，故函数的周期为，则， 可得，位移的大小即，故令， 得，， 或, 则， 或者， 故总时间为：， 故选：C. 8．已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，.当时，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为过点，所以， 又，得，由题意得，故， 由周期公式，得， 当时，， 故， 而恒成立等价于对所有恒成立， 因此，左边，右边， 故得的范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，，且，下列说法正确的是（   ） A．是实数 B．是虚数 C．是实数 D．若，则是实数 【答案】AD 【解析】A．为实数，故A正确； B．为实数，故B错； C．，当时，不为实数，故C错误； D．由，则为实数，故D正确. 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．直线是图象的一条对称轴 C．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】由图象可得：，，，. ，又的图象经过， ，，又，，A选项正确. ，令，. 令，，故不是的对称轴，B选项错误. 将的图象上的各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象解析式为，C选项正确. ，即， ，. 不等式的解集为，故D选项正确. 故选：ACD 11．（数学文化题）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且，，点是的“费马点”．记（），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】由和正弦定理，得． 又，所以，所以， ， ，，，， 即，且，或，得或（舍去），故A正确； 对于B：若，由A选项分析知，为正三角形，边长， 此时三角形费马点与三角形的中心重合， 则，故B正确； 对于C：设，，， 则，． 由，得， 所以，而，所以，故C正确； 对于D：由余弦定理得， 因为，由C选项分析知， ， 又，则或． 在，，中，由余弦定理得， 或， 结合可得， 则， 即，，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为，则的值为 【答案】 【解析】，依题意得. 13．若，，则___________. 【答案】 【解析】因为， 因为， ，即， ， 14．已知的外心满足，若，且，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】设，， 因为为外心，所以，， 所以，即，整理得 代入已知条件得，约去非零得 由余弦定理，，代入得 面积，则 又、 ，所以，当时，取最大值，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知O为坐标原点，复数，，，在复平面内对应的向量分别为，，． (1)若点C在复平面的实轴上，且，求出实数k与a的值； (2)若点C在直线上，且，求出实数a的值，并计算． 【解析】（1）因为点C在复平面的实轴上，所以，即点， 又因为，，所以，， 由且，得， 所以，解得； （2）点C在直线上，即，所以， 又因为，，所以， 即，解得，此时， 所以. 16．（15分） (创新题)已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）选①在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又， 所以. 选②由，得， 因为，所以，又， 所以. 选③由，得到， 所以， 又，所以. 根据余弦定理， 得. 即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由， 得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 17．(15分) 已知. (1)求的值域； (2)若，，求； (3)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边的中线AD的长. 【解析】（1）因为 ， 所以的值域为； （2）因为，即. 又，则，所以， 所以； （3）因为，所以， 又，所以，所以，则. 在中，，，由余弦定理，可得. 设的边上的中线为，则， 所以，   所以，所以的边上的中线长为. 18．（17分） (情境题)某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 【解析】（1）在中，，， 连接，， 所以. （2）（i）连接，由（1）知，， 两边取平方，化简得：， 即，因为锐角， 故，则. （ii）过作于，由（i）得，设， 则， 则 ，当且仅当时取等号，此时， 因函数在上单调递增，又是锐角，故最大时，也最大， 即当，时，最大，此时凉亭P与山底A的距离为. 19．(17分) （创新题）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【解析】（1） ， 所以，． （2）由伴随向量的定义可知， 又， 所以可得，解得，因此， 所以， 即，设点， 又，由， 得， 展开并化简可得（*），令，且， 方程变为，即， 解得，又，所以，此时且， 所以，对应，即． （3）函数为向量的伴随函数，所以， 又关于的方程为， 所以可得， 即， 记， 化简得，作出函数的图像， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于图象与直线有四个交点，故， 即． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $