题号猜押05 山东中考数学14～15题（填空题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押05 山东中考数学14~15题（填空题） 考点1 一次函数的综合应用 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，将沿直线翻折，得．若，则该一次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】作轴于点，根据折叠的性质得到，设，在中，利用勾股定理求出，进而得到点坐标，求出，进而得到，求出点坐标，待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：作轴于点， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设一次函数的解析式为，把代入，得， ∴， ∴． 2．（2026·山东淄博·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点B的坐标为，直线向右平移________个单位长度可将平行四边形的面积分为相等的两部分． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数图象的平移问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 设平移后的直线为，则可知直线经过平行四边形的对称中心时，平分平行四边形的面积，求出对称中心的坐标代入即可求解平移后的函数解析式，即可求解平移的距离． 【详解】解：设平移后的直线为， 连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴点是对称中心，是中点，是中心对称图形， ∴直线经过点时，将面积平分， ∵， ∴， 将点代入， 则， 解得：， ∴平移后的直线为， ∵， ∴直线向右平移3个单位即可得到， 故答案为：3． 4．（2026·山东济南·一模）小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 【答案】 【分析】运用待定系数法求出小云距A地的距离y与时间x的函数关系式，当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式，联立两个关系式，即可求解． 【详解】解：设小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点， ∴，解得， ∴小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为． 当时，设小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点，， ∴，解得， ∴当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 解方程组，得， ∴两人相遇的时间为． 5．（2026·山东济南·一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 【答案】1.5或4.5或6.5 【分析】先分别运用待定系数法求得甲、乙两车离M城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式，分两种情况进行解答即可． 【详解】解：设甲所在的直线为，乙所在的直线为， 将，代入可得：， 解得：． ∴乙所在直线的表达式为：； 当时，， 把代入，得：，解得， ∴甲所在的直线的表达式：； 当时，；解得， ∴甲所在的直线的表达式：，其中； 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得或， 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得， 综上可知，1.5或4.5或6.5时，甲、乙两车相距． 6．（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 【答案】 【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数；再分三段分析乙的运动，求出乙在、、时三个时间段的分段距离函数；最后在的阶段令列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间． 【详解】解：甲的函数关系： 由图可知：甲匀速走用时， ∴甲的速度， ∴甲距离起点的距离为： 乙的分段函数关系： 由图可得： 乙前秒走， ∴乙原来的速度； 当时，乙距离起点的距离为：； 当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：； 当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：； 第二次相遇：时，令， 即：， 解得，符合范围， 因此甲乙第二次相遇的时间是秒． 7．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 8．（2026·山东日照·一模）如图八个边长为的正方形摆放在平面直角坐标系中，若直线绕点旋转，至某一时刻直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴，由直线将八个正方形分成面积相等的两部分，可知原图形被分为面积为的两部分，则的面积为，，根据三角形面积公式列方程求出，进而得到点的坐标，代入直线的解析式可求出． 【详解】解：如图，过点作轴， 正方形边长为， ， 直线将八个正方形分成面积相等的两部分， ， ，即， 解得， 点的坐标为，代入， 解得． 9．（2026·山东·模拟预测）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是____． ①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远； ②； ③加速后，，； ④两人从家出发分钟时，相距米． 【答案】②③ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． ①观察图象判断即可； ②根据速度路程时间求出加速前小亮的速度，从而求出其加速后的速度，再根据路程速度时间求出的值即可； ③设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟，根据小颖加速前后的路程之和为列关于的方程并求解，从而求出其加速后的速度即可； ④计算两人前12分钟的路程差即可． 【详解】解：小颖家到学校距离与小亮家到学校的距离相等， ①不正确，不符合题意； 加速前小亮的速度为（米/分钟），则加速后小亮的速度为（米/分钟）， （米， ， ②正确，符合题意； 设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟， 则， 解得， （米/分钟）， 加速后小颖的速度是250米/分钟， 由①可知，加速后小亮的速度为200米/分钟， ③正确，符合题意； 两人从家出发12分钟时，相距（米， ④不正确，不符合题意． 故答案为：②③． 10．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 【答案】2 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环，由此可以求出点的纵坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 考点2 反比例函数的综合应用 1．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为中点，反比例函数的图象经过点C．若，则________． 【答案】 【分析】先求出，，再求，根据，求出，从而求出点C的坐标，再根据待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与x轴和y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，，解得， 则，， 点C为的中点， ， ， ，解得， 直线过一、二、三象限， ， 则， 反比例函数的图象经过点C， ． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 【答案】 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 3．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由点为反比例函数与直线的交点，可求出、的值，令点的坐标为，则点的坐标为，代入，即可解出的值，得出结果． 【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点， ∴，解得， 令点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， 可得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴点B的坐标为． 4．（2026·山东济南·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点的坐标为，点的纵坐标是6，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标是6．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线．已知点在该组波浪线上，则___________． 【答案】 【分析】根据B纵坐标是6，在直线上求得B的坐标，进而求得双曲线的解析式，根据C的横坐标即可求得点C的坐标，根据，可知P点落曲线“”对应的第4部分的双曲线上，进而求得纵坐标n． 【详解】解：∵点B纵坐标是6，线段是直线的一部分， ∴， 解得 ∴ ∵曲线是双曲线的一部分 ∴， ∴ ∵的横坐标是6 ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴P点落在曲线“”对应的第4部分的双曲线上， 对，当时，， ∴点P的纵坐标为， ∴， ∴． 【点睛】求出点C的横坐标，由，推出P点落在曲线“”对应的第4部分的双曲线上，是解题的关键． 5．（2026·山东潍坊·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是________．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是设，用n表示出的面积． 把点分别代入和，求出b、k的值，设，用n表示出的面积，根据，求出面积的最大值和最小值即可． 【详解】解：把点分别代入和得： ，解得：， ，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； 点P是线段上一点，设， 把点代入可得， ， ， ，且， 当时，S有最大值，且最大值是2， 当或时，S有最小值，且最小值是， ∴S的取值范围为． 故答案为：． 6．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 7．（2026·山东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 8．（2026·山东淄博·模拟预测）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 9．（2026·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 10．（2026·山东威海·模拟预测）图，菱形，，，反比例函数图象与菱形交于点，，点是边中点，点，分别为，上的动点，且．点关于的对称点刚好落在反比例函数图象上，则点坐标为_____． 【答案】 【分析】过A作于M，过G作于N，解直角三角形求出，，则可求A的坐标，根据中点坐标公式求出D的坐标，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，证明是等边三角形，得出，根据翻折的性质，得出，，则可证，设，则，解直角三角形求出，，则点H的横坐标为，纵坐标为，把H的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，即可解答． 【详解】解：过A作于M，过G作于N， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是边中点， ∴， 设反比例函数解析式为， 则， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴，， ∴点H的横坐标为，纵坐标为， ∴， 代入，得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 故答案为：． 考点3 二次函数的综合应用 1．（2026·山东青岛·模拟预测）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先配方可得抛物线的性质，再根据题意得，求出解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大． ∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值， ∴， 解得． 故答案为：． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可． 【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴   ∴，，， ∴，故①错误； ②∵二次函数与x轴交于，且对称轴为， ∴与x轴另一个交点为， 将代入 得： 将代入，得， 由图像可知，，故②错误； ③将变形得：， 由图像可知，二次函数与直线一定有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④将代入 得： 整理得： 将代入，得， 将代入 得： 将代入，得， （1）+（2）得：，故④正确； 所以正确的个数为2个， 故答案为：2． 3．（2026·山东淄博·模拟预测）平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确结论是________． 【答案】①③④⑤ 【分析】根据二次函数开口向上，与轴交于负半轴得到，，根据抛物线对称轴为直线，得到，即可判断①；由当时，得到进而推出，即可判断②；求出二次函数与轴的另一个交点为，即可判断③；二次函数与轴的另一个交点为，即可判断④；由二次函数与轴有两个不同的交点为，，即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴，即，故④正确； 由③可知，二次函数与轴有两个不同的交点为，， ∴， ∵， ，即，故⑤正确； 故答案为：①③④⑤． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④方程必有一个根大于-1且小于0； ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2； ⑥若和是抛物线上的两点，则当时，． 其中，正确的是______（填序号）． 【答案】①③④⑤⑥ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，对称轴判断①，对称轴结合特殊点判断②，最值判断③，抛物线与轴的交点判断④，图象法判断⑤，增减性判断⑥． 【详解】解：∵对称轴为直线． ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵函数图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，则与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ∴， 即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数，即；故③正确； ∵函数图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，则与x轴的另一个交点在和之间，故④正确； ∵当时，有最大值为， ∴直线在直线的下方， ∴抛物线与直线有2个交点，且关于对称轴对称， ∴方程，即方程有两个不相等的实数根，且两根的和为； 故⑤正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵和到对称轴的距离为，且， ∴，故⑥正确． 故答案为：①③④⑤⑥． 5．（2026·山东淄博·模拟预测）小明用绘图软件绘制了二次函数的图象后，将其对称轴左侧的部分作关于轴对称的图象，将坐标系中图象实线部分记为，如图所示．按横坐标从开始依次增加的规律，在图象上取20个点，得到，，，，，则这20个点的纵坐标的和等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：由图象可得，函数图象关于点中心对称， 这20个点的横坐标从开始依次增加， ，，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 6．（2026·山东烟台·模拟预测）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有__________．（填序号） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④当时，． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的图像与性质等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 首先将代入一元二次方程，可求得，即可判断①；确定，即可确定该抛物线的对称轴，再求得，，可确定顶点坐标为，即可判断②；结合，，，可知，即可判断③；由题意易知该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，且当时和当时，函数值相等，易得，进而可得当时，，即可判断④． 【详解】解：由题意，一元二次方程有两实根， ∴得，由②①，可得． ∴，故①正确； 由可得， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的顶点为， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴顶点坐标为，故②不正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴，故③正确； ∵，且抛物线的对称轴是直线， ∴该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 又∵， ∴当时和当时，函数值相等， ∴当时，可有， 即当时，，故④正确． 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 7．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴分别交于，且．下 列结论：① ；②直线与 的交点个数为 1 个；③ ；④ ．正确的有_________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向，对称轴，与轴的交点，判断①，图象法判断②，最值判断③，平方差公式结合对称性判断④． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点坐标为：， ∴直线与 的交点个数为 1 个；故②正确； ∵时，函数有最大值， 当时，， ∴，即：，故③正确； ∵抛物线与 x 轴分别交于，且， ∴， ∴ ， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 8．（2026·山东济南·模拟预测）如图，抛物线的解析式为，将抛物线绕点O顺时针旋转得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是通过旋转的性质得出点坐标． 由题意可知，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，设直线与抛物线在第一象限的交点为，把绕点顺时针旋转得到，然后解方程组求出点坐标，求出即可． 【详解】解：由题意可知，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形的对称轴为直线， 设直线与抛物线在第一象限的交点为， 把绕点顺时针旋转得到，如图所示： 联立方程组得：， 解得或， 点坐标为， ， 即， 对称性， ， 的面积为． 故答案为：． 9．（2026·山东济宁·模拟预测）曲线，如图所示，且曲线是轴对称图形，其对称轴为．直线交曲线于点，且．则的值为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据曲线的对称轴为，可得，再求得点坐标，进而可得，然后计算的值即可． 【详解】解：∵曲线是轴对称图形，其对称轴为， ∴可有， ∴， 将代入直线， 可得， ∴， 将点代入曲线， 可得， ∴， ∴或， ∵， ∴或． 故答案为：或． 10．（2026·山东枣庄·模拟预测）二次函数中，与的部分对应值如下表： 给出以下结论：二次函数有最小值为；当时，；已知点，在函数的图象上，则当，时，；；为任意实数）；其中正确结论的序号是___________． 【答案】② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据表格中自变量值与因变量值的对应关系确定二次函数各项系数之间的关系、二次函数图象的开口方向、对称轴． 【详解】解：由表格可知， 二次函数当时，， 二次函数有最小值为，故错误； 由表格可知， 当和时，， 当时，， 则当时，；故正确； 由表格可知， 当时，， 当时，， ，故错误； 由表格可知，当时，，当时，， ， 解得：， ，故正确； 由表格可知，当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数的值为， 则有， 整理得：， ，故正确． 综上所述，正确结论的序号为②． 故答案为：② ． 考点4 三角形性质的综合应用 1．（2026·山东济宁·一模）如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 【答案】1 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 2．（2026·山东滨州·一模）如图，线段，C是线段上的动点，以，为边在上方作等边和等边，的周长的最小值为______． 【答案】30 【分析】过点作的垂线，设垂足为，过点作于点，由等边三角形的性质可得，则，将的周长转化为求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，设垂足为，过点作于点 则四边形为矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ， 当点与的中点重合时取等， 即周长最小值为． 3．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ． 【答案】 【分析】过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形，过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N，过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q，则四边形为矩形，证明，得出，，证明，可求出的长． 【详解】解：过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形， 过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N， 过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q， 则四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 4．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在锐角中，，，为高，连接，与四边形的面积比是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及含30度直角三角形的性质．根据已知条件利用含30度直角三角形的性质得到，再证明，然后利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”这一性质求出面积比，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与四边形的面积比是， 故答案为：． 5．（2026·山东东营·模拟预测）如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理． 作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，可得，即可求解． 【详解】解：作，交于点F，过点E作，垂足为点G， 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． 设， 则． ∴． ∵， ∴． 即． 解得：． ∴． 故答案为：． 6．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 7．（2026·山东济南·模拟预测）在中，．若，，则_______． 【答案】 【分析】过点C作，交的延长线于点D，推导出，得到，，进而求出，，得到，根据勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点D，如图 ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据可知点在以为直径的圆上运动，根据，绕点旋转，可知点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，所以可知当与相切于点且点在内时，最大，根据圆周角定理可知是等腰直角三角形，从而可知，利用勾股定理可以求出，从而可知的最大值是． 【详解】解：如下图所示， ， ， 点在以为直径的圆上运动， ，绕点旋转， 点是在以点为圆心，为半径的圆上运动， 如下图所示，当与相切于点且点在内时，最大， 则有， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ． 9．（2026·山东·模拟预测）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转一周得到，是的中点，是的中点，连接，若，，在旋转的过程中线段的最大值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，锐角三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，在中，利用可求得，根据含角的直角三角形的性质可得，由旋转的性质可知，，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，，从而根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ，即， ， ， 由旋转的性质可得，，， 是的中点是的中点， ，， 又，即， 的最大值为6（此时P，C，M三点共线）． 10．（2026·山东日照·模拟预测）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 考点5 四边形性质的综合应用 1．（2026·山东聊城·一模）如图，正六边形的边长为1，点是其中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，二者交于点P，则__________． 【答案】 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，根据正方形的性质可得，则，证明，推出，再由三角形的中位线定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是正六边形的中心， ∴点O在上，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，斜边的长为35，正方形内接于，且边长为12，则直角边__________． 【答案】 49 【分析】设 ，，根据勾股定理得到的值，利用相似三角形对应边成比例得到与的关系，结合完全平方公式构建关于的一元二次方程求解． 【详解】设，.， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由完全平方公式得，代入得， 设，则， 解得，， ∵，， ∴，舍去， ∴． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O，连接， 由折叠的性质可得， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时， ∵在矩形中，， ， ∴， ． 4．（2026·山东德州·一模）如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴． 5．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连结、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是___________． 【答案】①②③ 【分析】由翻折的性质可得，，，由“”证明，得出①正确；由全等三角形对应边相等可得，设，得出、，由勾股定理列出方程求出，得出，得出②正确；由等边对等角可得，由全等三角形对应角相等可得，由三角形的外角性质得出，得出，即可证明，得出③正确；证明，求出，最后利用，得出④错误． 【详解】解：正方形中， ， ，， ， ， 对折可得： ，， ， ①在与中， ∵，，， ∴，①正确． ②可得：，， 设，则，， 在中，有， ， ，， 可得：， 解得：， ∴，  结论②正确． ③∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 结论③正确． ④过作， ， ， ， ， ，， ， ， ， 结论④错误， 综上可知，正确结论是①②③． 6．（2026·山东济南·一模）如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 【答案】 【分析】首先求出，推出，设，则，，表示出，如图，连接，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为4， ∴， ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ 由折叠得，， ∴ ∴ ∴设，则，， 由折叠得，，，， ∴ 如图，连接 由折叠得， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由折叠得， ∴在中， ∴ 解得或 当时，，不符合题意，舍去； ∴ ∴． 7．（2026·山东济南·一模）如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 【答案】/ 【分析】过点E作交于点G，先利用矩形的性质得出相关线段的长度，再由折叠的性质得到对应线段的长度，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求得的长，从而得到的长，设，则，利用勾股定理列出方程求得a的值，从而得出最终结果． 【详解】解：如图，过点E作交于点G， 在矩形中，，，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，,，，， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 在中，． 8．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 【答案】或 【分析】分情况讨论：当时，当时，分别利用矩形的性质和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图1，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， ，，三点共线， ，， ， ， 解得， ； 如图2，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 四边形是正方形， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作于点，通过正方形的性质，证明为等腰直角三角形，得到，接着通过证明，得到，则可得求得，即求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2026·山东青岛·一模）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作于，由等腰三角形的性质得，由直角三角形的性质得，由勾股定理得，即得，再代入双曲线解析式解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴． 2．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…依此类推，得到，则点的坐标为____． 【答案】（，） 【分析】本题考查了旋转的性质、坐标与图形的变化及规律探究，解题的关键是找出旋转周期和坐标变化规律．先根据初始点，分别计算前几次变换后的坐标，发现每6次变换回到轴正方向，周期为6；由，得与同方向，累计旋转，在第二象限，与轴负半轴夹角为, 再用含角的直角三角形性质求坐标． 【详解】解：初始点，在轴正半轴，， 第一次变换：顺时针旋转， 过点作轴于点H， 在中，， ， 顺时针旋转到第四象限， ； 第二次变换：顺时针旋转，累计旋转，过点作于G， 在中，， ， 在第三象限， ； 第三次变换：顺时针旋转，累计旋转, ， 由上可知，每6次变换回到轴正方向，周期为6， ， 与同方向， 累计旋转，在第二象限，与轴正方向的夹角为即与轴负半轴夹角为， ， 过作轴垂线，垂足为， 在中，， ， 在第二象限， ， 故答案为：． 3．（2026·山东滨州·一模）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 【答案】 6 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得的范围，进而找到的整数点，再由越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴，，，，，，，， ∵L过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴； （2）解：∵若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， ∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴， ∴整数共7个， ∵越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为． 4．（2026·山东·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识．设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点)，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心， ∴延长恰好经过点， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ________． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，轴对称的性质，勾股定理等知识，数形结合是关键．根据轴对称的性质得到，，证明是直角三角形，得到，设，求出，得到，则，得到，则，即可求出k的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k． 答案为：． 6．（2026·山东济南·一模）如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 【答案】 【分析】作于点，于点，由正方形的性质，折叠的性质，证明，得到，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， AI将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 7．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，，，，动点E，F分别在边上，且，以为边作等边三角形，且点P始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】6 【分析】在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点H，证明是等边三角形，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点H重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点H， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点H重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴． 8．（2026·山东济南·一模）将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先利用矩形对折性质得到为中点，，再由两次折叠的性质得到，设，在中用勾股定理列方程求出，得到；接着根据沿I折叠的性质得到，设，用表示，在中由勾股定理列方程求解，最终得到． 【详解】解：∵矩形中，对折与重合，得是中点， ∴， 沿折叠到上，得； 沿折叠对应点为，得， 设， 对用勾股定理：，代入，，， 得：， 展开解得，即， ∴， 沿折叠到上的，得，， ∴， 设，则，故， 由折叠性质得，在中： 展开化简得， 解得， 即． 9．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至F，使得，连接，可得垂直平分，得，得，得点F在射线上运动，当时，最短，为 , 根据三角形中位线性质得即可． 【详解】解：延长至F，使得，连接，如图: ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴点F在与成角的射线上运动， ∴当时，最短， 此时，， ∴， ∵， ∴, ∵E是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴, 故线段的最小值为． 10．（2026·山东青岛·一模）如图，边长为的正方形中，是中点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，与交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形及等腰直角三角形的性质，得到、及，进而逐一判断正确与否即可. 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴且平分，③正确； ∵正方形中， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，④正确； 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，⑤错误； 11．（2026·山东·一模）如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为____________． 【答案】 【分析】先利用正方形的性质与直角三角形斜边中线的性质，结合勾股定理求出、的长度，再通过作垂线构造等腰直角三角形与相似三角形，利用相似三角形的性质建立线段关系，最终求出的长度． 【详解】解：如图，作于点，则．      ∵四边形是正方形，是边上的一点，点在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 将代入得， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得， 在中，由勾股定理得． 12．（2026·山东淄博·一模）如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，设直线与y轴交于G，过A作直线于H，轴于F， ∵轴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点， ∴， 在中，,， 即， ∵随的减小而增大， ∴当最小时有最大值， 即最小时，有最大值，即最大时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为， 即， ∴， ∵ ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴，， ∴的面积为． 13．（2026·山东泰安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入中计算求解，然后求出，，，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形， 联立，得，解得：， ∴， ∴， 设，则有 解得或（舍去） ∴ 设，则有 解得或（舍去） ∴ 同理可得 ∴ ∴ 当时，， ∴ 故答案为：． 14．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线（，，是常数，且）过和两点，且，下列四个结论中：①；②；③若关于的方程有实数根，则；④若抛物线过点，则．其中正确的结论是____________． 【答案】②④ 【分析】根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，逐一判断各结论即可． 【详解】解： 抛物线过和两点，， 抛物线对称轴为直线， ， ，即对称轴， ， ， 抛物线开口向下，与轴交点为和，在两根之间， 时，， ，故①错误． 将代入得：，即， 在两根之间，开口向下， 时，， 将代入得：， ，故②正确． 抛物线可写为交点式， 方程可化为， 方程有实数根， ， 整理得：，即， ， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得，故③错误． 抛物线过，代入得：， 联立，两式相加得，即， 由根与系数的关系，两根之积， ， ， ， 整理得， ，解得且， ∴，故④正确． 故正确的结论是②④． 15．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象经过坐标轴上、两点，且与轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接，将直线沿轴向上平移个单位，当抛物线与直线只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 【答案】①⑤ 【分析】根据二次函数的图象与性质，函数的平移，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，逐一判断，即可求解． 【详解】解：点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上， 点、关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 将，代入得， ， 二次函数为，， 、关于对称轴直线对称， ， 当、、共线时，最短， 设直线的解析式为，将、代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 点是抛物线对称轴上的一点， 点的横坐标是， 当时，， ，故②错误； 当时，， 若，则，此时， 若，则，此时，故③错误； 直线沿轴向上平移个单位后得到， 联立， 整理得到， 抛物线与直线只有一个公共点， ， 解得，故④错误； 点为抛物线上的一点（不与重合），， 点在轴的下方，且点关于轴的对称点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 则 解得（舍去）或， 点的横坐标为，故⑤正确； 故答案为：①⑤． 16．（2026·山东淄博·一模）为一个等边三角形．延长边到使得．类似的，延长边到使得，延长边到使得．则的面积和的面积的比值为_____． 【答案】37 【分析】连接、、，由，，，得出，，，进而得出，，，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、、， ， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ， ∴的面积和的面积的比值为． 17．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 【答案】 【分析】连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作，证明，得到，则，则，当A、G、R共线时，有最小值，此时G为的中点，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作， 由对称性可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值， ∵此时， ∴， ∴ ∴在中，设，， ， 解得， ∴的长为． 18．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 【答案】或 【分析】先根据折叠的性质得，再根据矩形的性质得，然后分两种情况：当时，是等腰三角形，根据勾股定理得，求出解即可； 当时，是等腰三角形，再作，可根据等腰三角形的性质得，然后根据“角角边”证明，可得，接下来求出，则答案可得． 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵点，且四边形是矩形， ∴． 当时，是等腰三角形， ∴． 在中，， 即， 解得， 即， ∴点； 当时，是等腰三角形， 过点B作，于点F， ∴． ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点． 所以点D的坐标是或． 19．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 20．（2026·山东日照·一模）如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，，对称得到，进而得到，证明，进而得到，得到，进而得到当点三点共线时，的值最小，根据菱形的性质，易得关于对称，为等边三角形，三线合一得到，进而得到，进而得到当点移动到点时，点三点重合，此时的值最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，，，，则， ∵对称， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵四边形为菱形， ∴，垂直平分， ∴，关于对称， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵点在上运动， ∴当点运动到点时，此时三点重合，的值最小为的长， 故的最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05 山东中考数学14~15题（填空题） 考点1 一次函数的综合应用 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，将沿直线翻折，得．若，则该一次函数的解析式为_____． 2．（2026·山东淄博·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点B的坐标为，直线向右平移________个单位长度可将平行四边形的面积分为相等的两部分． 4．（2026·山东济南·一模）小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 5．（2026·山东济南·一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 6．（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 7．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 8．（2026·山东日照·一模）如图八个边长为的正方形摆放在平面直角坐标系中，若直线绕点旋转，至某一时刻直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为________． 9．（2026·山东·模拟预测）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是____． ①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远； ②； ③加速后，，； ④两人从家出发分钟时，相距米． 10．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 考点2 反比例函数的综合应用 1．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为中点，反比例函数的图象经过点C．若，则________． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 3．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 4．（2026·山东济南·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点的坐标为，点的纵坐标是6，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标是6．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线．已知点在该组波浪线上，则___________． 5．（2026·山东潍坊·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是________．    6．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 7．（2026·山东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 8．（2026·山东淄博·模拟预测）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 9．（2026·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 10．（2026·山东威海·模拟预测）图，菱形，，，反比例函数图象与菱形交于点，，点是边中点，点，分别为，上的动点，且．点关于的对称点刚好落在反比例函数图象上，则点坐标为_____． 考点3 二次函数的综合应用 1．（2026·山东青岛·模拟预测）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是_______． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______． 3．（2026·山东淄博·模拟预测）平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确结论是________． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④方程必有一个根大于-1且小于0； ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2； ⑥若和是抛物线上的两点，则当时，． 其中，正确的是______（填序号）． 5．（2026·山东淄博·模拟预测）小明用绘图软件绘制了二次函数的图象后，将其对称轴左侧的部分作关于轴对称的图象，将坐标系中图象实线部分记为，如图所示．按横坐标从开始依次增加的规律，在图象上取20个点，得到，，，，，则这20个点的纵坐标的和等于_____． 6．（2026·山东烟台·模拟预测）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有__________．（填序号） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④当时，． 7．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴分别交于，且．下 列结论：① ；②直线与 的交点个数为 1 个；③ ；④ ．正确的有_________（填序号）． 8．（2026·山东济南·模拟预测）如图，抛物线的解析式为，将抛物线绕点O顺时针旋转得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接，则的面积为________． 9．（2026·山东济宁·模拟预测）曲线，如图所示，且曲线是轴对称图形，其对称轴为．直线交曲线于点，且．则的值为________． 10．（2026·山东枣庄·模拟预测）二次函数中，与的部分对应值如下表： 给出以下结论：二次函数有最小值为；当时，；已知点，在函数的图象上，则当，时，；；为任意实数）；其中正确结论的序号是___________． 考点4 三角形性质的综合应用 1．（2026·山东济宁·一模）如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 2．（2026·山东滨州·一模）如图，线段，C是线段上的动点，以，为边在上方作等边和等边，的周长的最小值为______． 3．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ． 4．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在锐角中，，，为高，连接，与四边形的面积比是________． 5．（2026·山东东营·模拟预测）如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______． 6．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 7．（2026·山东济南·模拟预测）在中，．若，，则_______． 8．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为________． 9．（2026·山东·模拟预测）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转一周得到，是的中点，是的中点，连接，若，，在旋转的过程中线段的最大值是__________． 10．（2026·山东日照·模拟预测）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 考点5 四边形性质的综合应用 1．（2026·山东聊城·一模）如图，正六边形的边长为1，点是其中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，二者交于点P，则__________． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，斜边的长为35，正方形内接于，且边长为12，则直角边__________． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 4．（2026·山东德州·一模）如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 5．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连结、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是___________． 6．（2026·山东济南·一模）如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 7．（2026·山东济南·一模）如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 8．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 10．（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 1．（2026·山东青岛·一模）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______． 2．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…依此类推，得到，则点的坐标为____． 3．（2026·山东滨州·一模）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 4．（2026·山东·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ________． 6．（2026·山东济南·一模）如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______． 7．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，，，，动点E，F分别在边上，且，以为边作等边三角形，且点P始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 8．（2026·山东济南·一模）将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 9．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 10．（2026·山东青岛·一模）如图，边长为的正方形中，是中点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，与交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________．（填写序号） 11．（2026·山东·一模）如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为____________． 12．（2026·山东淄博·一模）如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 13．（2026·山东泰安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 14．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线（，，是常数，且）过和两点，且，下列四个结论中：①；②；③若关于的方程有实数根，则；④若抛物线过点，则．其中正确的结论是____________． 15．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象经过坐标轴上、两点，且与轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接，将直线沿轴向上平移个单位，当抛物线与直线只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 16．（2026·山东淄博·一模）为一个等边三角形．延长边到使得．类似的，延长边到使得，延长边到使得．则的面积和的面积的比值为_____． 17．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 18．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 19．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 20．（2026·山东日照·一模）如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $而学科网·上好课 www.zxx k com 题号猜押05山东中考数学14~15 押题预测 考点1一次函数的综合应用 1.【答案】y=-√5x+V 2. 【答案】。≤c≤4 3.【答案】3 4【学案】 5.【答案】1.5或4.5或6.5 6.【答案】40 7【答案】品 【备幻名 9.【答案】②③ 10.【答案】2 ◆考点2反比例函数的综合应用 1.【答案】-3 2.【答案】-3 3.【答案】(1,3) 4.【答架1号 5【答案】sSs2 6.【答案】-12 7.【答案】6 8.【答案】4Vn 1/4 上好每一堂课 题（填空题） 学科网·上好课 9. 【答案】罗 10.【答案】(3,5) >考点3 二次函数的综合应用 1. 【答案】1≤m≤4 2.【答案】2 3.【答案】①③④⑤ 4.【答案】①③④⑤⑥ 5.【答案】 6.【答案】①③④ 7.【答案】①②③④ 8. 【答案】9-17 2 9.【答案】 10.【答案】②④⑤ ~考点4三角形性质的综合应用 1.【答案】1 2.【答案】30 3. 【答案】30 1 4。【答案】1：3月 5.【瑞案1号 6.【答案】3√2+1 7.【答案】122+4v6 8.【答案】5+1 9.【答案】6 www.Zxxk.com 2/4 卷系一每并丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.【答案】 120 考点5四边形性质的综合应用 1.【答案】 2.【答案】49 3.【答案】2√10-2 4.【答案】√2 5.【答案】①②③ 6. 【路案】 7.【答案】5555 22 8. 【等案】3诚 9.【答案】3V5 10.【答案】(2-V2,2-V2] 通关特训 1.【答案】43 2.【答案】(-22025,22025√5) 3.【答案】 6 -29 4.【答案】4 5. 【答案】日 6.【答案】v5 5 7.【答案】6 8.【路案】 3/4 函学科网·上好课 9,【答案】V2 10. 【答案】①②③④ 11. 【答案】202 12.【答案】5 13.【答案】0,2V2026 14.【答案】②④ 15.【答案】①⑤ 16.【答案】37 17. 【答案】 73 18. 【答案】(0,4)或0,13 19.【答案】√34 20.【答案】3V3 www.zxxk.com 4/4 卷系一每并丁