题号猜押04 山东中考数学11～13题（填空题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04 山东中考数学11~13题（填空题） 考点1 因式分解 1．（2026·山东济南·一模）因式分解______． 2．（2026·山东聊城·一模）把多项式分解因式的结果是___． 3．（2026·山东济南·模拟预测）分解因式：______． 4．（2026·山东济宁·一模）多项式因式分解的结果是__________． 5．（2026·山东济宁·一模）分解因式：________． 6．（2026·山东济南·模拟预测）因式分解____________． 7．（2026·山东泰安·模拟预测）分解因式的结果是________． 8．（2026·山东东营·模拟预测）分解因式：_______． 9．（2026·山东聊城·模拟预测）若，，则的值为_________． 10．（2026·山东日照·一模）已知，，则代数式的值是______． 考点2 分式有意义 1．（2026·山东济南·一模）若分式有意义，则满足的条件是________． 2．（2026·山东滨州·模拟预测）函数中自变量取值范围是___________． 3．（2026·山东聊城·一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 4．（2026·山东日照·一模）式子有意义的的取值范围是_____， 5．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是_______． 6．（2026·山东淄博·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ____________． 7．（2026·山东烟台·模拟预测）若式子有意义，则实数的取值范围是______． 8．（2026·山东滨州·模拟预测）若代数式有意义，则x的取值范围是____________________． 9．（2026·山东聊城·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是______． 10．（2026·山东济南·模拟预测）要使分式有意义，应满足的条件是___________． 考点3 不等式组的求解 1．（2026·山东菏泽·一模）不等式组的解集为______． 2．（2026·山东威海·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为，则________． 3．（2026·山东枣庄·一模）解不等式组，它的解集为______． 4.（2026·山东泰安·一模）不等式组的解集为________． 5．（2026·山东济南·模拟预测）不等式组的解集为______． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）不等式组的解集是_______． 7.（2026·山东淄博·模拟预测）不等式组的整数解为_____． 8．（2026·山东临沂·模拟预测）一元一次不等式组：的解集是_____． 9．（2026·山东威海·模拟预测）若不等式组的解集为，则a的取值范围是_______． 10．（2026·山东济宁·模拟预测）若不等式组无解，则a的取值范围是___________． 考点4 一元二次方程根的判别式的应用 1．（2026·山东德州·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 2．（2026·山东淄博·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是__________． 3．（2026·山东滨州·一模）若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 4．（2026·山东济宁·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，写出符合条件的的一个值为______． 5．（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 6．（2026·山东聊城·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数a的取值范围是________． 7．（2026·山东滨州·一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 8．（2026·山东·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 9．（2026·山东·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 10．（2026·山东东营·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 考点5 一元二次方程根与系数的关系的应用 1．（2026·山东淄博·模拟预测）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于________． 3．（2026·山东滨州·模拟预测）已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 4．（2026·山东济南·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是_______． 5．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为_______． 6．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是______． 7．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 8．（2026·山东聊城·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 9．（2026·山东德州·模拟预测）若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 10．（2026·山东淄博·一模）若a，b是方程的两个根，则的值为___． 考点6 分式方程及其应用 1．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 2．（2026·山东聊城·一模）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 3．（2026·山东烟台·模拟预测）分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 4．（2026·山东潍坊·模拟预测）当_____时，解分式方程会出现增根． 5．（2026·山东威海·模拟预测）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是_____． 6．（2026·山东青岛·一模）某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 7．（2026·山东东营·一模）某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 8．（2026·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为______． 9．（2026·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为___． 10．（2026·山东聊城·模拟预测）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 1．（2026·山东德州·模拟预测）因式分解：_____． 2．（2026·山东菏泽·模拟预测）分解因式：______． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）当 ______时，分式的值为． 4．（2026·山东日照·模拟预测）分解因式：___________． 5．（2026·山东临沂·一模）已知（为整数），则的值是___________． 6．（2026·山东潍坊·一模）写出一个使代数式的值为整数的x的值_____． 7．（2026·山东济南·一模）代数式的值为0，则______． 8．（2026·山东枣庄·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 9．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 10．（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 11．（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 12．（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 13．（2026·山东聊城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根a，b，则___________． 14．（2026·山东临沂·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则_______． 15．（2026·山东淄博·一模）观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则__________． 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 11 3 7 11 15 … 14 11 13 … … … … … a 17 b 表一 表二 表三 16．（2026·山东临沂·模拟预测）如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么多项式可因式分解为_______． 17．（2026·山东枣庄·模拟预测）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为______． 18．（2026·山东淄博·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 19．（2026·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则_____， _____． 20．（2026·山东青岛·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 题号猜押04山 考点1因式分解 1.【答案】4x+y)(x-y 2.【答案】ab(2a+1)(2a-1) 3.【答案】xyx+4)x-4) 4.【答案】2(x-3y2 5.【答案】9(x-y) 6.【答案】2y(x-y) 7.【答案】3mnn2-3m） 8.【答案】-3a(a-2)2 9.【答案】9 10.【答案】-8 >考点2分式有意义 1.【答案】x≠2 2.【答案】x22/2≤x 3.【答案】x>1 4.【答案】x≠1 5.【答案】-2≤x<2 6.【答案】x≥1且x≠3 7.【答案】x≥1且x≠2 8.【答案】x2-)且x3 www.Zxx k.com 东中考数学11~13 押题预测 1/4 上好每一堂课 题（填空题） 学科网·上好课 www zxx k 9.【答案】x≤2且x≠-1 10.【答案】x≠2 考点3 不等式组的求解 1. 【答案】x<-2 5 2. 【答案】4/0.25 3.【答案】x>5 4.【答案】x≥-1 5.【答案】x>2 6.【答案】< 7.【答案】-2 8.【答案】x>3 9.【答案】a≥1 10.【答案】a≥0 考点4一元二次方程根的判别试的应用 1.【答案】m≥0且m≠1 1 2. 【答案】n>-4 3.【答案】k<2 4.【答案】2（答案不唯一） 25 5.【答案】m≤ 4 6. 【答案】a>2 7.【答案】a>-!且a￥0 3 8.【答案】-4 9.【答案】k>1且k≠2 9 10.【答案】m≤2且m≠0 2/4 com 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 考点5一元二次方程根与系数的关系的应用 1.【答案】号 2.【答案】号 3.【答案】-1 4.【答案】-3 5.【答案】0 6.【答案】2039 7.【答案】2025 8.【答案】10 9.【答案】41 33 10.【答案】4 考点6分式方程及其应用 1.【答案】-1或1 2.【答案】9 3.【答案】m<4且m≠1 4.【答案】2 5.【答案】-1 6.【答案】80-80=4 x1.5x 7.【答案】 48004800 =40 x+4 8.【答案】240=3+240-3+6 x+3 9.【答案】101011 xx+204 10.【答案】4.8 3/4 卷系一每并丁 可学科网·上好课 1.【答案】x+3)x-3 2.【答案】a(a+l)(a-1 3.【答案】0或9/9或0 4.【答案】-n(m-3)2 5.【答案】1 6.【答案】2（答案不唯一） 7.【答案】0 8.【答案】x≥3 9.【答案】-√21 10.【答案】5 11.【答案】有两个不相等的实数根 12.【答案】4 13.【答案】-2 14.【答案】2024 15.【答案】-3 16.【答案】3(x-1)2 17.【答案】-8或-12 18.【答案】m≥3且m+2 19.【答案】 31 20.【答案】2640+2×60=2640 2x www.zxx k.co m 上好每一堂课 通关特训 4/4 题号猜押04 山东中考数学11~13题（填空题） 考点1 因式分解 1．（2026·山东济南·一模）因式分解______． 【答案】 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 2．（2026·山东聊城·一模）把多项式分解因式的结果是___． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式． 【详解】解：． 3．（2026·山东济南·模拟预测）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 4．（2026·山东济宁·一模）多项式因式分解的结果是__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式． 5．（2026·山东济宁·一模）分解因式：________． 【答案】9 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 6．（2026·山东济南·模拟预测）因式分解____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 7．（2026·山东泰安·模拟预测）分解因式的结果是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确确定公因式是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（2026·山东东营·模拟预测）分解因式：_______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 9．（2026·山东聊城·模拟预测）若，，则的值为_________． 【答案】9 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 10．（2026·山东日照·一模）已知，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， ∴代数式的值是． 考点2 分式有意义 1．（2026·山东济南·一模）若分式有意义，则满足的条件是________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零求解即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即. 2．（2026·山东滨州·模拟预测）函数中自变量取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得， 解得且， ∴； 故答案为：． 3．（2026·山东聊城·一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零和分式的分母不等于零求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·山东日照·一模）式子有意义的的取值范围是_____， 【答案】 【详解】解：∵式子有意义 ∴ ∵ ∴恒成立 ∴． 5．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 6．（2026·山东淄博·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且． 故答案为：且． 7．（2026·山东烟台·模拟预测）若式子有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了代数式有意义：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是明确什么情况下代数式有意义． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且 故答案为：且 8．（2026·山东滨州·模拟预测）若代数式有意义，则x的取值范围是____________________． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此解答即可． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得：且． 故答案为：且． 9．（2026·山东聊城·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了函数的自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 10．（2026·山东济南·模拟预测）要使分式有意义，应满足的条件是___________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不等于0，列式计算即可． 【详解】解：由分式有意义的条件得，分母， 解得， 故答案为． 考点3 不等式组的求解 1．（2026·山东菏泽·一模）不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 2．（2026·山东威海·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为，则________． 【答案】/ 【分析】分别解不等式，根据不等式组的解集，求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：解得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴. 3．（2026·山东枣庄·一模）解不等式组，它的解集为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法，分别求解每个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式① 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为得 解不等式② 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 取两个解集的公共部分得 原不等式组的解集为． 4.（2026·山东泰安·一模）不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解答本题的关键．不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：，可以取任意实数， ∴原不等式组的解集为：． 故答案为：． 5．（2026·山东济南·模拟预测）不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）不等式组的解集是_______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答．本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．注意计算的准确性 【详解】解： 解①得：， 解②得：， 故该不等式组的解集为：， 故答案为：． 7.（2026·山东淄博·模拟预测）不等式组的整数解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为， 故答案为：． 8．（2026·山东临沂·模拟预测）一元一次不等式组：的解集是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤． 利用解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为：， 故答案为：． 9．（2026·山东威海·模拟预测）若不等式组的解集为，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组中的含参问题，熟练掌握找不等式组的解集是解题的关键． 先求出原不等式组中每一个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集为，确定的范围． 【详解】解：， 由①得：，由②得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 10．（2026·山东济宁·模拟预测）若不等式组无解，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先解出两个不等式，然后根据不等式组无解即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 故答案为：． 考点4 一元二次方程根的判别式的应用 1．（2026·山东德州·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且． 2．（2026·山东淄博·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到结论． 牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 3．（2026·山东滨州·一模）若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 4．（2026·山东济宁·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，写出符合条件的的一个值为______． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出m的取值范围，即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得： ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴且， 取m的值为2（答案不唯一）． 5．（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个实数根， ∴判别式， ∴， 解得． 6．（2026·山东聊城·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】由一元二次方程没有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围. 【详解】解：已知方程是关于的一元二次方程，没有实数根， ∴， 解得： 7．（2026·山东滨州·一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 8．（2026·山东·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程有实根的条件，解决本题的关键是得到判别式非负列式求解． 利用一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，列不等式求解的取值范围，进而得到最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则，且判别式， 即，解得， 故的最小值为． 故答案为：． 9．（2026·山东·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 其中，，， 由，得， 由， 得，即， 故且， 故答案为：且． 10．（2026·山东东营·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握这两个知识点是关键；根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， ∴且． 考点5 一元二次方程根与系数的关系的应用 1．（2026·山东淄博·模拟预测）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据两根之和等于，两根之积等于得，，代入算式，进行计算，即可得到答案， 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2026·山东滨州·模拟预测）已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 【答案】﹣1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，再整体代入求值即可得到答案； 【详解】解：由条件可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2026·山东济南·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则． 设方程的另一个根为，根据韦达定理即可得到结论． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据题意得，， 解得：， ∴方程的另一个根为． 故答案为：． 5．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】0 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 6．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2039 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：2039 7．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 8．（2026·山东聊城·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式得出，即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：10． 9．（2026·山东德州·模拟预测）若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由根与系数的关系得到，再把所求式子通分后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵实数a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（2026·山东淄博·一模）若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到与的值，代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， ∴． 考点6 分式方程及其应用 1．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 2．（2026·山东聊城·一模）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 【答案】9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 3．（2026·山东烟台·模拟预测）分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为，得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解： 去分母得， 解得： 依题意，，且 ∴且 4．（2026·山东潍坊·模拟预测）当_____时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解方程可得，再由增根的定义可得，求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分母可知，分式方程的增根是， ∴当时，，解得， 故答案为：2． 5．（2026·山东威海·模拟预测）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解及根据一元一次不等式组解集求参数．不等式组整理后，由有且仅有3个整数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再找出符合条件的整数求和即可得答案． 【详解】解：, 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∵是整数， ∴的值可为：、， ， 去分母得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 综上，的值为， 故答案为：． 6．（2026·山东青岛·一模）某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【答案】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 7．（2026·山东东营·一模）某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 【答案】 【分析】根据总进价和单价分别表示出两次购进大闸蟹的数量，再根据两次购进数量的关系列方程． 【详解】解：设第一次每千克进价为元.则第二次每千克进价为元， 第一次购进大闸蟹的数量为千克， 第二次购进大闸蟹的数量为千克， 根据题意，第二次购进的数量比第一次少千克，列方程得：． 8．（2026·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 9．（2026·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为___． 【答案】 【分析】首先设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，根据题意可得等量关系：骑自行车所用的时间自驾车所用的时间，根据等量关系，列出方程． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故答案为：． 10．（2026·山东聊城·模拟预测）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是万元； 故答案为：． 1．（2026·山东德州·模拟预测）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 2．（2026·山东菏泽·模拟预测）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）当 ______时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或9， 故答案为或． 4．（2026·山东日照·模拟预测）分解因式：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 5．（2026·山东临沂·一模）已知（为整数），则的值是___________． 【答案】 1 【分析】先估算的取值范围，再推导得到的取值范围，结合已知不等式即可确定整数的值． 【详解】解：因为， 所以，即， 不等式各项同时减，得， 即， 又因为，且为整数， 所以． 故答案为：． 6．（2026·山东潍坊·一模）写出一个使代数式的值为整数的x的值_____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，先确定x的取值范围，再根据的值为整数，取满足条件的即可． 【详解】要使二次根式有意义，被开方数需满足 解得若使的值为整数，不妨设则解得满足条件． 设，其中为非负整数，则： 变形得： 我们可以取不同的值来求： -当时：，此时（整数）； -当时：，此时（整数）； -当时：，此时（整数）； -当时：，此时（整数）． 7．（2026·山东济南·一模）代数式的值为0，则______． 【答案】0 【分析】本题根据分式值为零的条件求解，分式值为零需满足分子为零且分母不为零． 【详解】解：分式的值为， ∴， 解， 得， 由得， 综上可得． 8．（2026·山东枣庄·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 9．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 10．（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ． 11．（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】由数轴可得，且，则，，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 12．（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 13．（2026·山东聊城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根a，b，则___________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求出两根乘积的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根a，b， ∴， ∴． 14．（2026·山东临沂·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则_______． 【答案】2024 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；先根据多项式乘法化简 ，然后由根与系数的关系可得 ，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴由根与系数的关系，得，， ∴； 故答案为2024． 15．（2026·山东淄博·一模）观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则__________． 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 11 3 7 11 15 … 14 11 13 … … … … … a 17 b 表一 表二 表三 【答案】 【详解】解：首先要熟悉表（一）中，各行和各列中数字之间的规律：第一行是从0开始连续的整数．第二行是从1开始依次多2．第三行是从2开始依次多3．．各列的规律和对应各行的规律一致． 表（二）中，根据发现的规律，得，即． 表（三）中，，即． ． 16．（2026·山东临沂·模拟预测）如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么多项式可因式分解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 17．（2026·山东枣庄·模拟预测）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为______． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 18．（2026·山东淄博·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于的一元二次方程有实数根，得出其根的判别式大于等于0，列不等式求解即可，特别注意二次项系数不为零． 根据一元二次方程的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，特别注意二次项系数不为零，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 即，解得且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 19．（2026·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则_____， _____． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 20．（2026·山东青岛·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列出分式方程，根据甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，列出方程即可． 【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，由题意： ； 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $