24.2数据的离散程度（第2课时）（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 围绕方差应用，分层设计从基础理解到综合拓展，通过实际情境问题培养数据意识和推理能力，构建统计量从单一计算到综合决策的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|方差意义直接应用|选择题结合成绩图直观判断稳定性| |中档应用|统计量计算与简单决策|解答题含平均数、方差计算及推荐理由| |综合拓展|多统计量综合分析与实际问题解决|情境题（空气质量/种子产量）需多维度评估决策|

24.2数据的离散程度（第2课时） 知识点：方差的应用 1．（2021年辽宁盘锦）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在92附近波动，甲、乙的成绩在91附近波动， ∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙， 由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度， ∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定， 故选：C． 2．（2024年四川绵阳）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【详解】（1）解：甲的平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，8，8，10． （2）解：； ． （3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 3．（2024年广东深圳）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数： 学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 学校B： (1) 学校 平均数 众数 中位数 方差 A ①______ 48 48 B 48.4 ②______ ③______ 354.04 (2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 【详解】（1）解：学校A的平均数为：， 由题意可得学校B的众数为：，中位数为， 填写表格如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 B 48.4 354.04 （2）解：小明爸爸应该预约A学校，理由如下： 学校A的方差为： 故学校A的方差更小，说明学校A的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，故小明爸爸应该预约A学校． 4．某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． (1)请将下表补充完整∶ 平均数(环) 方差(环) 中位数(环) 甲 ____ 乙 ____ (2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析∶ ①从平均数和方差相结合的角度上看，________的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，________的成绩好些； ③若其他队选手最好的成绩在9环左右，现要选一人参赛，选________参加比较合适． 【详解】（1）解：甲的方差 乙的中位数：， 平均数 方差 中位数 甲 乙 （2）解：①从平均数和方差相结合的角度上看，甲的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，乙的成绩好些； ③选乙； 理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，应选乙． 5．8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试（满分为10分，得分均为整数），并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（统计图完整），成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀． 班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 7 二班 8 根据图表信息，回答下列问题： (1)求表中，，，的值； (2)用方差推断，哪个班的成绩波动较大？用优秀率和合格率推断，哪个班的阅读水平更好些？简单说明理由． 【详解】（1）解：由条形统计图知：一班5分的3人，6分的14人，7分的7人，8分的8人，9分的4人，10分的4人；二班1分的3人，5分的3人，6分的9人，7分的4人，8分的17人，9分的2人，10分的2人． 一班的平均分． 二班共有学生40人，按分数从小到大排列后第20人是8分，第21人是8分， ． 由条形统计图知，一班得6分的人数最多，故众数． 由条形统计图知，二班得6分及以上的有（人）． 二班的合格率． （2）解： ， 用方差推断二班的成绩波动较大； ，， 用优秀率和合格率推断，一班的成绩更好些． 6．2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)表中________30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为________． 【详解】（1）解：丙区域12个月的月均浓度从小到大排列为：20，21，24，27，28，28，29 ，29，30，31，32，32， ∵第6个和第7个数据分别为28，29， ∴丙区域12个月的月均浓度的中位数； （2）解：根据折线图可以看出，甲区域12个月的月均浓度大约分布于14至31，乙区域12个月的月均浓度大约分布于16至28，可以发现乙区域12个月的月均浓度比甲区域12个月的月均浓度波动较小，更加稳定， 所以乙区域12个月的月均浓度的方差小于甲区域12个月的月均浓度的方差， 故； （3）解：∵甲、乙、丙、丁四个区域12个月的月均浓度的平均数分别为23.6、23.6、27.6、23.6， ∴由平均数比较，甲、乙、丁三个区域的全年月均浓度的平均数尽可能低，丙区域的12个月的月均浓度最高； ∵甲、丁两个区域的方差分别为30.8、30.8，乙区域的方差， ∴乙区域的全年月均浓度的波动幅度小，甲、丁两个区域的全年月均浓度的波动幅度较大， ∵甲区域的全年12个月的月均浓度的中位数为22.5，平均数为23.6，丁的全年12个月的月均浓度的中位数为24.0，平均数为23.6， ∴甲区域的全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份比丁区域的多， ∴四个区域按空气质量从高到低依次为：乙、甲、丁、丙． 7．种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．吉林市农业科学院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各块试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息：．20块试验田每公顷产量的频数分布表和每公顷产量的统计图如下：．试验田每公顷产量在的数据是：7.50、7.50、7.51、7.52、7.52、7.54，根据信息，解答下列问题： (1)表中m的值为_____________． (2)随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为_____________． (3)下列推断合理的是_____________（填序号）． ①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占20块试验田总数的． ②5号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第1名． (4)1~10号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．请你推断，这个地区比较适合种植甲种种子还是乙种种子，并说明理由． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）可知：， 根据中位数的定义可知：随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为第10和第11个数据之和的平均数，即为； （3）解：20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占20块试验田总数的，故①错误； 由统计表可知：5号试验田每公顷产量为，位居第1，故②正确； （4）解：由表可知：1~10号试验田每公顷的产量分布比较零星，而11~20号试验田每公顷的产量分布比较密集，由此可知11~20号试验田每公顷产量的10个数据的方差更小，所以乙种种子产量更稳定，即这个地区比较适合种植乙种种子． 8．（2024年北京）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2数据的离散程度（第2课时） 知识点：方差的应用 1．（2021年辽宁盘锦）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024年四川绵阳）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 3．（2024年广东深圳）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数： 学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 学校B： (1) 学校 平均数 众数 中位数 方差 A ①______ 48 48 B 48.4 ②______ ③______ 354.04 (2) 根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 4．某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． (1)请将下表补充完整∶ 平均数(环) 方差(环) 中位数(环) 甲 ____ 乙 ____ (2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析∶ ①从平均数和方差相结合的角度上看，________的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，________的成绩好些； ③若其他队选手最好的成绩在9环左右，现要选一人参赛，选________参加比较合适． 5．8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试（满分为10分，得分均为整数），并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（统计图完整），成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀． 班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 7 二班 8 根据图表信息，回答下列问题： (1)求表中，，，的值； (2)用方差推断，哪个班的成绩波动较大？用优秀率和合格率推断，哪个班的阅读水平更好些？简单说明理由． 6．2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)表中________30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为________________． 7．种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．吉林市农业科学院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各块试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息：．20块试验田每公顷产量的频数分布表和每公顷产量的统计图如下：．试验田每公顷产量在的数据是：7.50、7.50、7.51、7.52、7.52、7.54，根据信息，解答下列问题： (1)表中m的值为_____________． (2)随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为_____________． (3)下列推断合理的是_____________（填序号）． ①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占20块试验田总数的． ②5号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第1名． (4)1~10号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．请你推断，这个地区比较适合种植甲种种子还是乙种种子，并说明理由． 8．（2024年北京）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2数据的离散程度（第2课时） 知识点：方差的应用 1．C． 2．（1）8，8，8，10． （2）解：； ． （3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 3．（1）解：学校A的平均数为：， 由题意可得学校B的众数为：，中位数为， 填写表格如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 B 48.4 354.04 （2）解：小明爸爸应该预约A学校，理由如下： 学校A的方差为： 故学校A的方差更小，说明学校A的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，故小明爸爸应该预约A学校． 4．（1）解：甲的方差 乙的中位数：， 平均数 方差 中位数 甲 乙 （2）解：①从平均数和方差相结合的角度上看，甲的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，乙的成绩好些； ③选乙； 理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，应选乙． 5．（1）解：由条形统计图知：一班5分的3人，6分的14人，7分的7人，8分的8人，9分的4人，10分的4人；二班1分的3人，5分的3人，6分的9人，7分的4人，8分的17人，9分的2人，10分的2人． 一班的平均分． 二班共有学生40人，按分数从小到大排列后第20人是8分，第21人是8分， ． 由条形统计图知，一班得6分的人数最多，故众数． 由条形统计图知，二班得6分及以上的有（人）． 二班的合格率． （2）解： ， 用方差推断二班的成绩波动较大； ，， 用优秀率和合格率推断，一班的成绩更好些． 6．（1）解：丙区域12个月的月均浓度从小到大排列为：20，21，24，27，28，28，29 ，29，30，31，32，32， ∵第6个和第7个数据分别为28，29， ∴丙区域12个月的月均浓度的中位数； （2）解：根据折线图可以看出，甲区域12个月的月均浓度大约分布于14至31，乙区域12个月的月均浓度大约分布于16至28，可以发现乙区域12个月的月均浓度比甲区域12个月的月均浓度波动较小，更加稳定， 所以乙区域12个月的月均浓度的方差小于甲区域12个月的月均浓度的方差， 故； （3）解：∵甲、乙、丙、丁四个区域12个月的月均浓度的平均数分别为23.6、23.6、27.6、23.6， ∴由平均数比较，甲、乙、丁三个区域的全年月均浓度的平均数尽可能低，丙区域的12个月的月均浓度最高； ∵甲、丁两个区域的方差分别为30.8、30.8，乙区域的方差， ∴乙区域的全年月均浓度的波动幅度小，甲、丁两个区域的全年月均浓度的波动幅度较大， ∵甲区域的全年12个月的月均浓度的中位数为22.5，平均数为23.6，丁的全年12个月的月均浓度的中位数为24.0，平均数为23.6， ∴甲区域的全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份比丁区域的多， ∴四个区域按空气质量从高到低依次为：乙、甲、丁、丙． 7．（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）可知：， 根据中位数的定义可知：随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为第10和第11个数据之和的平均数，即为； （3）解：20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占20块试验田总数的，故①错误； 由统计表可知：5号试验田每公顷产量为，位居第1，故②正确； （4）解：由表可知：1~10号试验田每公顷的产量分布比较零星，而11~20号试验田每公顷的产量分布比较密集，由此可知11~20号试验田每公顷产量的10个数据的方差更小，所以乙种种子产量更稳定，即这个地区比较适合种植乙种种子． 8．（1）①，； ②； （2）甲，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $