数学（江苏扬州卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D A D D C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9． 10． 11．1 12．7 13． 14． 15．10 16． 17．1 18． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】解（1）原式=（1分+1分+1分+1分） (2)原式=（2分） =（2分） 20．（8分） 【详解】解：， 由不等式①，得．（2分） 由不等式②，得．（4分） 所以不等式组的解集为．（6分） 不等式组的正整数解为1，2，3．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：依题意，九（1）班的分的人数：（人）， 平均数：（2分）； ∵共50名学生 ∴中位数排在第25和26名 ∴中位数；（4分） ∵ ∴九（2）班的众数为分；（6分） 故答案为：； （2）解：九（1）班，理由如下： ∵ 即九（1）班的平均数和众数都比九（2）班的高 ∴九（1）班级的同学落实得相对更好．（8分） 22．（8分） 【详解】（1）解：如图， 将第一层的两个管道分别记为，，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有种，即，，，，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道（记为事件）的结果有种，分别是，， ∴；（4分） （2）解：如图， 画树状图， ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为， 最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误； 个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确； ∴正确， 故答案为：．（8分） 23．（10分） 【详解】解：设种电水壶的单价为元，则种电水壶的单价为元，（1分） 由题意可得，，（4分） 解得：，（5分） 经检验：是原方程的解，（6分） ，（7分） 答：种电水壶的单价为80元，种电水壶的单价为100元．（8分） 24．（10分） 【详解】（1）解：把代入得， 反比例函数的解析式为， ，（1分） 将和代入得，（2分） 解得，（3分） 一次函数的解析式为：， 根据题意得、两点关于原点对称， 点的坐标为，（4分） 故答案为：，； （2）解：过点作轴交于点， 由（1）得， 把代入得，（5分） ，（6分） ，（7分） ．（8分） 25．（10分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．（1分） 又∵，， ∴． 又∵， ∴．（3分） ∴ ∴（4分） ∴（5分） （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴（6分） ∵， ∴， ∴． ∵，（7分） ∴， ∴．（8分） ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形，（9分） ∴四边形是菱形．（10分） 26．（10分） 【详解】（1）按照步骤完成作图如下． （3分） （2）由题意得：为的直径， ∴（直径所对的圆周角为）， ∴，（4分） ∵为的半径， ∴直线为的切线．（6分） （3）连接， ∵， ，（7分） 在中， ，（8分） 由图知为的垂直平分线， ∴， 设， 则， 在中， ，（9分） ∴， 解得， 故的长为．（10分） 27．（12分） 【详解】（1）解：①根据题意得：将，代入函数关系得，（2分） 解得，，（4分） ②对于一切实数，函数值总成立， 函数图象与函数图象没有交点，（5分） 如图所示： 当图象与函数只有一个交点时， 即：方程只有一个公共解， ，（6分） ， ， ；（8分） （2）解：， 抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中、为实数，），自变量的取值范围是， 直线与抛物线的两个交点为，，直线在抛物线的下方， ，关于对称轴对称， ， ，（10分） ， ， 当时，有最小值， ．（12分） 28．（12分） 【详解】（1）解：由翻折的性质可知，，， ∵四边形ABCD为正方形， ∴，， ∴△ABC、△ADC为等腰三角形，（1分） ∵， ∴， ∵．（3分） 故答案为：45°，△ABC，△ADC； （2）如图：将△ADQ顺时针旋转90°， 由旋转的性质可得：，，， 由（1）中结论可得， ∵四边形ABCD为正方形，， ∴， ∴， ∴，（4分） ∴在△APQ和△APQ′中， ， ∴，（5分） ∴， ∵， ∴．（6分） 故答案为：； （3）∵BD、AC为正方形ABCD对角线， ∴，，，（7分） ∵， ∴，，（8分） ∴， ∴， ∴．（9分） 故答案为：； （4）证明：如图，将△ADN顺时针旋转90°，连接， 由（2）中的结论可证， ∴，（10分） ∵，， 根据旋转的性质可得，，， ∴，（11分） ∴在中有， ∴．（12分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．凝固点是晶体物质凝固时的温度．标准大气压下，下列选项中凝固点最低的是（   ） A．水 B．水银 C．铝 D．酒精 2．精美的图案体现了劳动人民的智慧，下列四种图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A．为了了解全国中学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式 B．若甲组数据的方差s=0.03，乙组数据的方差是s=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定 C．广安市明天一定会下雨 D．一组数据4、5、6、5、2、8的众数是5 4．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 5．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（    ） A． B．是线段的垂直平分线 C． D．四边形的面积为 7．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则函数不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．今年正月十五，南京市夫子庙约有52000人前来游玩，用科学记数法表示52000是 ____________ ． 10．分解因式：______． 11．计算：______． 12．若，则__________． 13．如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是___________．    14．如图，，是的半径，C是上一点，，则______° 15．如图，在中，为内的一点，且，且，若点为的中点，，则的长__________． 16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我们发现，当一组勾股数的勾为（，m为正整数）时，它的股、经分别为和．若一组勾股数的勾为26，则经为_____． 17．如图，和是圆柱的两条高，现将它过点用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与的交点为，连结，已知该圆柱的底面半径为，高为，截去部分的体积是该圆柱体积的，则的值为________． 18．如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为_____．    三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（1）； （2）． 20．（8分）解不等式组，并写出它的正整数解． 21．（8分）2024年是总体国家安全观提出10周年，为切实推动国家安全教育进校园，我校对九年级学生进行了国家安全教育知识测试．现收集九（1）班和九（2）班各50名同学的测试成绩，绘制成如下统计图： (1)学校把九（1）班和九（2）班的测试成绩分别按平均数、中位数、众数整理如下表，请把信息补充完整． 班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 ___________ ___________ 90 九（2）班 77 80 ___________ (2)结合以上统计图和统计量，你认为哪个班级的同学落实得相对更好？请说明理由． 22．（8分）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个小球，求它通过管道的概率． (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 最先填满的是甲盒； 个盒子中的小球的数量一样多； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 23．（8分） 超市采购A、B两种电水壶进行销售，已知B的单价比A的单价贵20元，花费1200购进A种电水壶购与花费1500元购进B种电水壶的数量相同，A、B两种电水壶的单价各是多少元？ 24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且，．连结并延长交双曲线于点，连结． (1)直接写出一次函数的解析式以及点的坐标； (2)求的面积． 25．（10分）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 26．（10分）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，及外一点P．求作：直线，使与相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求．   (1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)结合图形，说明是切线的理由； (3)若半径为2，．依据作图痕迹求的长． 27．（12分）已知二次函数（其中，为常数）． (1)如图①，该函数图像与轴交于、两点，若点坐标为，点坐标为． ①则的值是_________，的值是_________； ②对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围． (2)如图②，该函数图像与轴交于点，当时（其中、为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 28．（12分）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带来我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片折叠，发现、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1 (1)______°，写出图中两个等腰三角形：_____（不需要添加字母）； (2)转一转：将图1中绕点A旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2，线段、、之间的数量关系为______； (3)连接正方形对角线，如图2中的的边、分别交对角线于点、点，如图3，求的值； (4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．凝固点是晶体物质凝固时的温度．标准大气压下，下列选项中凝固点最低的是（   ） A．水 B．水银 C．铝 D．酒精 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较的实际应用，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 根据有理数的大小比较法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴凝固点最低的是酒精， 故选：D． 2．精美的图案体现了劳动人民的智慧，下列四种图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列说法正确的是（ ） A．为了了解全国中学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式 B．若甲组数据的方差s=0.03，乙组数据的方差是s=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定 C．广安市明天一定会下雨 D．一组数据4、5、6、5、2、8的众数是5 【答案】D 【分析】A．根据普查的意义判断即可； B．方差越小越稳定； C．广安市明天会不会下雨不确定； D．根据众数的定义判断即可． 【详解】A. 了解全国中学生每天体育锻炼的时间，由于人数较多，应当采用抽样调查，故本选项错误； B. 甲的方差小于乙的方差所以甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误； C. 广安市明天会不会下雨不确定，故本选项错误； D. 数据4、5、6、5、2、8中5的个数最多，所以众数为5，故本项正确． 故选D. 【点睛】本题涉及了全面调查与抽样调查、众数、方差与随机事件等知识点,熟练掌握全面调查与抽样调查、众数、方差与随机事件的定义及特点是解题的关键. 4．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 5．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，在数轴上表示无理数等知识点，解题的关键是正确估算无理数的取值． 利用无理数的估算方法进行估值，介于整数2和3之间即可得出答案． 【详解】解： 即 故选：D． 6．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（    ） A． B．是线段的垂直平分线 C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，利用面积公式可计算四边形的面积． 【详解】解：根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故B结论正确； ∴，故A结论正确； ， ，故C结论正确； ， ∴四边形的面积，故D错误． 故选：D． 7．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，， ， ， ， ， ， 故选：． 8．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则函数不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质、平面直角坐标系，解答本题的关键是求出、的正负，利用一次函数的性质解答．根据点在第四象限，可以得到、的取值范围，然后根据一次函数的性质，可以得到直线经过哪几个象限． 【详解】解：点在第四象限， ，， ，， 直线经过第一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．今年正月十五，南京市夫子庙约有52000人前来游玩，用科学记数法表示52000是 ____________ ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为： 11．计算：______． 【答案】1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 12．若，则__________． 【答案】7 【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是将变形为整体代入求解． 先将变形为，然后根据整体方法代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 13．如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是___________．    【答案】/150度 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的综合应用，周角的含义，本题先求解正六边形与正方形的一个内角，再结合周角的含义可得答案. 【详解】解：∵正六边形的每一个内角为：， 正方形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 14．如图，，是的半径，C是上一点，，则______° 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是解题的关键．一段弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．根据圆周角定理即得答案． 【详解】所对的圆心角是，所对的圆周角是， ． 故答案为：． 15．如图，在中，为内的一点，且，且，若点为的中点，，则的长__________． 【答案】10 【分析】取的中点，连接，，交于，延长交于，根据三角形中位线定理得，证明，根据勾股定理得，最后根据直角三角形斜边中线的性质可得的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，交于，延长交于， ， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， 中，是的中点， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造直角三角形和三角形的中位线． 16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我们发现，当一组勾股数的勾为（，m为正整数）时，它的股、经分别为和．若一组勾股数的勾为26，则经为_____． 【答案】 【分析】根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴经为， 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 17．如图，和是圆柱的两条高，现将它过点用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与的交点为，连结，已知该圆柱的底面半径为，高为，截去部分的体积是该圆柱体积的，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据题意得出线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的，线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的，即可得出AE的长，进而求出即可． 【详解】过点P作PE⊥AB于点E， ∵如图所示：截去部分的体积是该圆柱体积的， ∴线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的， ∴线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的， ∴PC=DC=6×=2， ∴AE=DP=6-2=4， ∵圆柱的底面半径为2，则PE=4， ∴tan∠BAP===1． 故答案为1 【点睛】此题主要考查了圆柱体的计算以及锐角三角函数应用等知识，根据题意得出各部分的体积比是解题关键． 18．如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为_____．    【答案】 【分析】如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．利用三角形的中位线定理证明=定值，推出点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，已解决可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取使得中点，连接．    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为， ∴点的运动路径长． 故答案为． 【点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先分别计算零次幂，开立方，三角函数值，再进行实数运算即可得出答案； （2）先按照多项式乘以多项式和单项式乘以多项式进行计算后合并同类项即可． 【详解】解（1）原式= (2)原式= = 【点睛】本题考查了实数的运算，三角函数值，零次幂，以及整式乘法，掌握实数运算和整式乘法是解题的关键． 20．（8分）解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】，1，2，3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，再确定不等式的正整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①，得． 由不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的正整数解为1，2，3． 【点睛】本题考查求不等式组的正整数解，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 21．（8分）2024年是总体国家安全观提出10周年，为切实推动国家安全教育进校园，我校对九年级学生进行了国家安全教育知识测试．现收集九（1）班和九（2）班各50名同学的测试成绩，绘制成如下统计图： (1)学校把九（1）班和九（2）班的测试成绩分别按平均数、中位数、众数整理如下表，请把信息补充完整． 班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 ___________ ___________ 90 九（2）班 77 80 ___________ (2)结合以上统计图和统计量，你认为哪个班级的同学落实得相对更好？请说明理由． 【答案】(1) (2)九（1）班，理由见详解 【分析】本题考查了扇形统计图以及平均数、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出九（1）班的分的人数，再根据平均数的计算公式代入数值进行计算得出平均数，结合中位数的定义以及众数的定义，即可作答． （2）因为，得出九（1）班的平均数和众数都比九（2）班的高，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，九（1）班的分的人数：（人）， 平均数：（分）； ∵共50名学生 ∴中位数排在第25和26名 ∴中位数； ∵ ∴九（2）班的众数为分； 故答案为：； （2）解：九（1）班，理由如下： ∵ 即九（1）班的平均数和众数都比九（2）班的高 ∴九（1）班级的同学落实得相对更好． 22．（8分）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个小球，求它通过管道的概率． (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 最先填满的是甲盒； 个盒子中的小球的数量一样多； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． （）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率； （）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】（1）解：如图， 将第一层的两个管道分别记为，，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有种，即，，，，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道（记为事件）的结果有种，分别是，， ∴； （2）解：如图， 画树状图， ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为， 最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误； 个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确； ∴正确， 故答案为：． 23．（10分） 超市采购A、B两种电水壶进行销售，已知B的单价比A的单价贵20元，花费1200购进A种电水壶购与花费1500元购进B种电水壶的数量相同，A、B两种电水壶的单价各是多少元？ 【答案】种电水壶的单价为80元，种电水壶的单价为100元． 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设种电水壶的单价为元，则种电水壶的单价为元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设种电水壶的单价为元，则种电水壶的单价为元， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：种电水壶的单价为80元，种电水壶的单价为100元． 24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且，．连结并延长交双曲线于点，连结． (1)直接写出一次函数的解析式以及点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的性质，根据对称性求得点的坐标是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可，根据、两点关于原点对称，可得； （2）过点作轴交于点，把代入得，则，根据即可求得的面积． 【详解】（1）解：把代入得， 反比例函数的解析式为， ， 将和代入得， 解得， 一次函数的解析式为：， 根据题意得、两点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：过点作轴交于点， 由（1）得， 把代入得， ， ， ． 25．（10分）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 26．（10分）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，及外一点P．求作：直线，使与相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求．    (1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)结合图形，说明是切线的理由； (3)若半径为2，．依据作图痕迹求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理，解题的关键是熟悉切线的性质和勾股定理． （1）根据题意连接，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，作图即可． （2）由题意得：为的直径，（直径所对的圆周角为），证明即可说明是切线． （3）连接，在中，，由图知为的垂直平分线，设，则，在中，，即可解得． 【详解】（1）按照步骤完成作图如下． （2）由题意得：为的直径， ∴（直径所对的圆周角为）， ∴， ∵为的半径， ∴直线为的切线． （3）连接， ∵， ， 在中， ， 由图知为的垂直平分线， ∴， 设， 则， 在中， ， ∴， 解得， 故的长为． 27．（12分）已知二次函数（其中，为常数）． (1)如图①，该函数图像与轴交于、两点，若点坐标为，点坐标为． ①则的值是_________，的值是_________； ②对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围． (2)如图②，该函数图像与轴交于点，当时（其中、为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)，， 【分析】（1）①依据题意，将代入函数关系式得，进而求出的值，可以得解； ②依据题意，对于一切实数，函数值总成立，从而函数图象与函数图象没有交点，又当图象与函数只有一个交点时，即方程只有一个公共解，故，求出后，即可判断得解； （2）依据题意，由函数图象与轴交于点，从而可得函数为，故抛物线的开口向上，对称轴为，又当时(其中为实数，)，自变量的取值范围是，进而直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，故关于对称轴对称，则，最后得出二次函数的解析式，又当时，，又当时，有最小值为，即可得解． 【详解】（1）解：①根据题意得：将，代入函数关系得， 解得，， ②对于一切实数，函数值总成立， 函数图象与函数图象没有交点， 如图所示： 当图象与函数只有一个交点时， 即：方程只有一个公共解， ， ， ， ； （2）解：， 抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中、为实数，），自变量的取值范围是， 直线与抛物线的两个交点为，，直线在抛物线的下方， ，关于对称轴对称， ， ， ， ， 当时，有最小值， ． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题． 28．（12分）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带来我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片折叠，发现、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1 (1)______°，写出图中两个等腰三角形：_____（不需要添加字母）； (2)转一转：将图1中绕点A旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2，线段、、之间的数量关系为______； (3)连接正方形对角线，如图2中的的边、分别交对角线于点、点，如图3，求的值； (4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．求证：． 【答案】(1)45，△ABC，△ADC (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）由翻折的性质可知，，，根据正方形的性质，，则，△ABC、△ADC为等腰三角形； （2）将△ADQ顺时针旋转90°，证明全等，即可得出结论； （3）证明即可得出结论； （4）将△ADN顺时针旋转90°，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：由翻折的性质可知，，， ∵四边形ABCD为正方形， ∴，， ∴△ABC、△ADC为等腰三角形， ∵， ∴， ∵． 故答案为：45°，△ABC，△ADC； （2）如图：将△ADQ顺时针旋转90°， 由旋转的性质可得：，，， 由（1）中结论可得， ∵四边形ABCD为正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴在△APQ和△APQ′中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）∵BD、AC为正方形ABCD对角线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （4）证明：如图，将△ADN顺时针旋转90°，连接， 由（2）中的结论可证， ∴， ∵，， 根据旋转的性质可得，，， ∴， ∴在中有， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、折叠的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共30分） 9．_______________ 10．_________________ 11．___________________ 12．___________________ 13．______________ 14．_________________ 15．___________________ 16．___________________ 17．__________________ 18．__________________ 三、（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.（8分） (1)_____________; (3) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21. （8分） （1）平均数_________________ 中位数_______________ 众数_________________ （2） 22 （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 24. （10分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） （1） （2） 26.（10分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12分） （1）①则的值是_________，的值是_________； ② （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（12分） （1）______°，写出图中两个等腰三角形：_____（不需要添加字母）； （2）____________________ （3） （4） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓名 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 2[A][B1[C1[D1 6.[A][B][C][D] 3.A1[B][C1[D1 7.A][B1[C1[D] 4.A][B1[C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、 填空题（每小题3分，共30分） 9 10. 11 12 13 14 15. 16 17. 18 三、（本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分) (1) (3) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) (1)平均数 中位数 众数 (2) 22(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) (1) E D F B C (2) 26.(10分) (1) (2) P (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) (1)①则b的值是 c的值是 ② 图① (2) 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) D 1 M M B E 图1 图2 图3 图4 (1)∠EAF=°，写出图中两个等腰三角形： (不需要添加字母)； (2 (3) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．凝固点是晶体物质凝固时的温度．标准大气压下，下列选项中凝固点最低的是（   ） A．水 B．水银 C．铝 D．酒精 2．精美的图案体现了劳动人民的智慧，下列四种图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A．为了了解全国中学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式 B．若甲组数据的方差s=0.03，乙组数据的方差是s=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定 C．广安市明天一定会下雨 D．一组数据4、5、6、5、2、8的众数是5 4．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 5．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（    ） A． B．是线段的垂直平分线 C． D．四边形的面积为 7．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则函数不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．今年正月十五，南京市夫子庙约有52000人前来游玩，用科学记数法表示52000是 ____________ ． 10．分解因式：______． 11．计算：______． 12．若，则__________． 13．如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是___________．    14．如图，，是的半径，C是上一点，，则______° 15．如图，在中，为内的一点，且，且，若点为的中点，，则的长__________． 16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我们发现，当一组勾股数的勾为（，m为正整数）时，它的股、经分别为和．若一组勾股数的勾为26，则经为_____． 17．如图，和是圆柱的两条高，现将它过点用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与的交点为，连结，已知该圆柱的底面半径为，高为，截去部分的体积是该圆柱体积的，则的值为________． 18．如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为_____．    三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（1）； （2）． 20．（8分）解不等式组，并写出它的正整数解． 21．（8分）2024年是总体国家安全观提出10周年，为切实推动国家安全教育进校园，我校对九年级学生进行了国家安全教育知识测试．现收集九（1）班和九（2）班各50名同学的测试成绩，绘制成如下统计图： (1)学校把九（1）班和九（2）班的测试成绩分别按平均数、中位数、众数整理如下表，请把信息补充完整． 班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 ___________ ___________ 90 九（2）班 77 80 ___________ (2)结合以上统计图和统计量，你认为哪个班级的同学落实得相对更好？请说明理由． 22．（8分）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个小球，求它通过管道的概率． (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 最先填满的是甲盒； 个盒子中的小球的数量一样多； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 23．（8分） 超市采购A、B两种电水壶进行销售，已知B的单价比A的单价贵20元，花费1200购进A种电水壶购与花费1500元购进B种电水壶的数量相同，A、B两种电水壶的单价各是多少元？ 24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且，．连结并延长交双曲线于点，连结． (1)直接写出一次函数的解析式以及点的坐标； (2)求的面积． 25．（10分）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 26．（10分）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，及外一点P．求作：直线，使与相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求．   (1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)结合图形，说明是切线的理由； (3)若半径为2，．依据作图痕迹求的长． 27．（12分）已知二次函数（其中，为常数）． (1)如图①，该函数图像与轴交于、两点，若点坐标为，点坐标为． ①则的值是_________，的值是_________； ②对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围． (2)如图②，该函数图像与轴交于点，当时（其中、为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 28．（12分）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带来我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片折叠，发现、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1 (1)______°，写出图中两个等腰三角形：_____（不需要添加字母）； (2)转一转：将图1中绕点A旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2，线段、、之间的数量关系为______； (3)连接正方形对角线，如图2中的的边、分别交对角线于点、点，如图3，则求的值； (4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．求证：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $