专题08 二次函数（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“典例引领-方法透视-变式演练”为框架，系统覆盖二次函数10大核心题型，构建从基础解析到综合应用的完整方法体系与知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型破译|10题型，每题型含典例+变式|提炼待定系数法、顶点变换法等核心技巧，强调数形结合、分类讨论思想|从解析式求法到图象性质，再到方程不等式结合、实际应用，形成“概念-性质-应用-综合”递进逻辑| |题型训练|13道综合题|整合几何存在性、动点最值等压轴考法，强化模型转化与代数推理|以二次函数图象与性质为核心，联动几何图形与实际情境，实现知识迁移与综合应用|

专题08 二次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 用待定系数法求二次函数解析式 题型02 二次函数的图象性质与系数关系 题型03 二次函数图像变换（平移/翻折/旋转） 题型04 二次函数与一元二次方程/不等式结合 题型05 求自变量、函数值或参数的取值范围 题型06 二次函数中的最大值与最小值问题 题型07 实际应用（利润 / 面积 / 运动） 题型08 二次函数中的新定义问题 题型09 二次函数中代数推理问题 题型10 综合压轴（几何存在性/动点最值） 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 用待定系数法求二次函数解析式 典例引领 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 该题型为中考基础必考题型，选择、填空、解答题均有涉及，分值稳定。命题常结合三点式、顶点式、交点式三类基础形式考查，常融入坐标系中点的坐标、对称点、简单几何线段条件，侧重考查式子列写与方程求解能力。多以简单解答小问出现，难度偏低，是二次函数大题开篇高频考点，注重基础计算熟练度考查，极少结合复杂综合条件，核心检测学生基础公式运用与基础运算功底。 方法技能 熟练掌握三种解析式形式灵活选用：已知三点设一般式，已知顶点 / 对称轴设顶点式，已知与 x 轴交点设交点式。规范代入点的坐标，建立方程组，精准求解系数。解题先审题锁定已知条件，匹配对应解析式简化计算；计算时注意符号、常数项运算，做完后代回坐标验算。牢记配方、因式分解辅助化简，强化二元、三元一次方程组解法，养成步骤规范书写习惯，减少基础计算失分。 变式演练 【变式01】（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型02 二次函数的图象性质与系数关系 典例引领 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【典例02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法透视 考向解读 此题型为中考高频易错题，多见于选择题压轴、填空题，考查综合性强。围绕a、b、c及判别式符号，结合开口方向、对称轴、特殊点函数值命题。常设置多结论正误判断形式，结合增减性、最值、特殊自变量对应函数值综合设问。命题贴合图象直观特征，侧重数形结合思想，陷阱多、迷惑性强，侧重考查识图分析、逻辑判断能力，是区分基础与中档水平的关键题型。 方法技能 牢记核心规律：a定开口，对称轴判a、b关系，c看与 y 轴交点，Δ判断与 x 轴交点个数。利用x=±1、x=±2等特殊值判断代数式符号，结合图象增减性、顶点位置辅助分析。采用逐项推理、反例排除法破解多结论题型，紧扣图象限定条件，避免主观臆断。强化数形结合思维，将代数系数关系转化为图象几何特征，分类梳理常见结论模型，快速秒杀常规考题。 变式演练 【变式01】（2026·江苏徐州·一模）如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 二次函数图像变换（平移/翻折/旋转） 典例引领 【典例01】（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，B（点在点左侧），与轴交于点． (1)当时，求点A，B的坐标； (2)若，求直线的函数解析式； (3)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为，点在上，当时，恒成立，直接写出的取值范围． 方法透视 考向解读 图像变换是中考中档常考题型，选择、填空及解答题均会考查。以平移为核心考点，翻折、旋转为拓展考点，命题常结合顶点变化、解析式改写、变换后交点、取值范围设问。紧贴几何变换规则，结合坐标系综合考查，常与二次函数最值、图象位置结合。命题难度梯度分明，基础题考查直接变换，中档题结合多次复合变换，侧重考查空间想象与公式迁移运用能力。 方法技能 紧抓顶点变换法核心：所有变换优先求出新顶点坐标，二次项系数按需调整。平移遵循 “左加右减、上加下减”；翻折区分 x 轴、y 轴翻折的系数符号变化；旋转牢记特殊角度顶点变化规律。变换前后抛物线形状不变，∣a∣保持不变。复杂复合变换分步拆解，先定点再写解析式，避免直接整体变形出错，结合画图辅助理解变换轨迹，提升解题准确率。 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； 题型04 二次函数与一元二次方程/不等式结合 典例引领 【典例01】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 方法透视 考向解读 该题型为中考核心衔接考点，贯穿基础到中档题型。重点考查抛物线与 x 轴交点、方程根的关系，利用图象解二次不等式、比较函数值大小。常以方程根的个数、不等式解集、区间函数比较为设问方向，结合数形结合思想命题。既可单独小题考查，也会融入二次函数大题中间小问，衔接方程、函数两大模块，综合性强，重点考查知识融合与图象转化应用能力。 方法技能 明确抛物线与一元二次方程的对应关系：交点横坐标即为方程根，Δ决定交点数量。解二次不等式依托图象，以交点为分界，结合开口方向确定取值范围。方程根与系数关系、求根公式可辅助求解交点坐标。解题坚持数形结合，把方程问题转化为图象交点问题，不等式问题转化为图象上下位置关系，简化抽象运算，规范解集书写格式，规避区间书写易错点。 变式演练 【变式01】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 题型05 求自变量、函数值或参数的取值范围 典例引领 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【典例02】（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 方法透视 考向解读 本题型为中考常规必考题型，难易适中。常结合二次函数图象增减性、对称轴、限定区间，求解自变量范围、函数值范围及含参系数范围。命题常搭配有限定定义域、含参数抛物线、区间限制条件，设问灵活。既考查基础图象性质，又融入分类讨论思想，多在填空、解答小问出现，侧重考查区间分析、边界取值、不等式求解的综合运用能力。 方法技能 以对称轴为分界，划分函数增减区间，结合题目给定定义域确定最值与边界。求参数范围时，根据图象位置、交点条件、增减性列出不等式组求解。遇到含参数、动对称轴问题，分类讨论区间与对称轴的位置关系。利用端点值、顶点值锁定取值边界，严格区分开区间与闭区间。熟练结合图象辅助分析，避免纯代数计算漏解、错解，规范参数范围推导步骤。 变式演练 【变式01】（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若二次函数的图象的顶点在直线上，求； (3)设时，当时，则的函数值的取值范围是_________； 题型06 二次函数中的最大值与最小值问题 典例引领 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 方法透视 考向解读 最值问题是中考二次函数核心重点，高频出现在解答题中档位置。分为全体实数范围内顶点最值、限定区间内最值两大考法，常结合给定自变量范围、实际情境区间设问。命题注重分类讨论，区间含对称轴、在对称轴左右两侧为常考分类点。题型综合性较强，衔接图象增减性，是后续几何最值、实际应用的基础，分值占比高，为中考重点得分题型。 方法技能 无范围限制时，直接利用顶点纵坐标求最值；给定区间最值，核心判断对称轴与区间位置关系。分三类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区间内部，分别结合增减性取端点或顶点最值。牢记开口方向决定最值类型，a>0有最小值、a<0有最大值。解题先定对称轴，再画简易图象辅助判断，精准计算端点与顶点函数值，分类作答，杜绝区间最值漏情况失分。 变式演练 【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 题型07 实际应用（利润 / 面积 / 运动） 典例引领 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【典例02】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 方法透视 考向解读 实际应用题是中考解答题必考大题，分值较高。主要围绕销售利润、几何图形面积、动点运动变化三大情境命题，依托二次函数建模求解最值、最优方案。命题贴合生活实际，文字材料较长，需要提取数量关系，自变量常带实际取值限制。侧重数学建模能力考查，融合一元二次方程、不等式、最值知识，综合性强，是中考核心综合应用题。 方法技能 审题提取关键数量关系，设出自变量，根据利润、面积、边长公式列出二次函数解析式。结合实际意义确定自变量取值范围，排除不合理解。利用顶点或区间最值求解最优方案，求解后检验结果是否符合实际情境。梳理各类应用模型公式，规范建模步骤，理清变量之间的数量逻辑。注重单位、取值整数限制等细节，结合取值范围筛选合理答案，完整作答。 变式演练 【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 题型08 二次函数中的新定义问题 典例引领 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 方法透视 考向解读 新定义题型为中考创新难点题型，多位于选择、填空压轴或解答拔高小问。命题临时给出新概念、新规则，结合二次函数图象、解析式、性质综合设问。材料新颖、题型灵活，无固定刷题模板，侧重现场理解、知识迁移能力。融合数形结合、阅读理解、即时推理，打破常规考法，用来区分高分段学生，考查数学综合素养与临场应变解题能力。 方法技能 精读题干，拆解新定义规则，转化为熟悉的二次函数知识点。圈画定义关键条件，逐条对应抛物线性质、点坐标、方程关系。结合画图、列式、代入计算完成推理，将陌生问题转化为常规解析式、最值、交点问题。解题循序渐进，先简单验证定义，再深入综合计算，杜绝主观套用旧知识。注重逻辑推理，严谨验证答案，适应创新设问模式。 变式演练 【变式01】（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 题型09 二次函数中代数推理问题 典例引领 【典例01】（2026·江苏连云港·一模）抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过定点． (1)当时，求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点、在该抛物线上，且（点在点右侧），，求证：； (3)已知点和是抛物线上的两点，若对于，且，都有，求的取值范围． 方法透视 考向解读 代数推理是中考中档拔高题型，常结合含参二次函数、代数式恒等变形、等式证明、大小比较命题。围绕系数关系、函数值大小、代数式定值、恒成立等方向设问，弱化图象直观，强化代数运算与逻辑推导。多在解答题中间设问，计算量大、逻辑性强，侧重考查整式运算、配方、作差比较、方程推理，锻炼代数运算与严谨推理的核心数学能力。 方法技能 熟练掌握配方、因式分解、整式加减乘除恒等变形技巧。比较函数值大小常用作差法、作商法，结合配方判断代数式符号。含参推理合理消元、整体代换，简化复杂式子。紧扣二次函数基本性质，结合方程、代数式运算规律层层推导。推理过程步骤完整，逻辑清晰，避免跳步。强化整体思想、转化思想，简化运算难度，提升代数推理的严谨性。 变式演练 【变式01】（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 题型10 综合压轴（几何存在性/动点最值） 典例引领 【典例01】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、． (1)求证：． (2)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论． (3)四边形的面积为S，． ①________（用含x的代数式表示） ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【典例02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 方法透视 考向解读 本题型为中考数学压轴大题，难度最高、综合性最强。以二次函数抛物线为背景，结合直角三角形、等腰三角形、平行四边形等几何存在性问题，搭配动点、线段最值、周长面积最值综合设问。融合函数、几何、方程、分类讨论等多重考点，设问梯度分明，层层递进。全面考查数形结合、分类讨论、建模转化等核心思想，是中考拉开分数差距的关键题型。 方法技能 以抛物线解析式、顶点、交点坐标为基础，联立几何图形性质解题。存在性问题按图形类型分类讨论，罗列边长、角度、平行垂直等量关系，列方程求解。动点问题设动点坐标，用含参式子表示线段、周长、面积，转化为二次函数最值求解。灵活运用勾股、相似、特殊图形性质，数形结合联动解题。分类不重不漏，计算细致，合理取舍不符合题意的点坐标。 变式演练 【变式01】（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 题●型●训●练 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 7．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 9．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 12．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 13．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 用待定系数法求二次函数解析式 题型02 二次函数的图象性质与系数关系 题型03 二次函数图像变换（平移/翻折/旋转） 题型04 二次函数与一元二次方程/不等式结合 题型05 求自变量、函数值或参数的取值范围 题型06 二次函数中的最大值与最小值问题 题型07 实际应用（利润 / 面积 / 运动） 题型08 二次函数中的新定义问题 题型09 二次函数中代数推理问题 题型10 综合压轴（几何存在性/动点最值） 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 用待定系数法求二次函数解析式 典例引领 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 方法透视 考向解读 该题型为中考基础必考题型，选择、填空、解答题均有涉及，分值稳定。命题常结合三点式、顶点式、交点式三类基础形式考查，常融入坐标系中点的坐标、对称点、简单几何线段条件，侧重考查式子列写与方程求解能力。多以简单解答小问出现，难度偏低，是二次函数大题开篇高频考点，注重基础计算熟练度考查，极少结合复杂综合条件，核心检测学生基础公式运用与基础运算功底。 方法技能 熟练掌握三种解析式形式灵活选用：已知三点设一般式，已知顶点 / 对称轴设顶点式，已知与 x 轴交点设交点式。规范代入点的坐标，建立方程组，精准求解系数。解题先审题锁定已知条件，匹配对应解析式简化计算；计算时注意符号、常数项运算，做完后代回坐标验算。牢记配方、因式分解辅助化简，强化二元、三元一次方程组解法，养成步骤规范书写习惯，减少基础计算失分。 变式演练 【变式01】（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 题型02 二次函数的图象性质与系数关系 典例引领 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 【典例02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有， ∴，故①错误；，故②正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，即，故③正确； 由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误； ∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等， ∴当时，，故④正确； 综上所述：正确的结论有②③④共3个． 方法透视 考向解读 此题型为中考高频易错题，多见于选择题压轴、填空题，考查综合性强。围绕a、b、c及判别式符号，结合开口方向、对称轴、特殊点函数值命题。常设置多结论正误判断形式，结合增减性、最值、特殊自变量对应函数值综合设问。命题贴合图象直观特征，侧重数形结合思想，陷阱多、迷惑性强，侧重考查识图分析、逻辑判断能力，是区分基础与中档水平的关键题型。 方法技能 牢记核心规律：a定开口，对称轴判a、b关系，c看与 y 轴交点，Δ判断与 x 轴交点个数。利用x=±1、x=±2等特殊值判断代数式符号，结合图象增减性、顶点位置辅助分析。采用逐项推理、反例排除法破解多结论题型，紧扣图象限定条件，避免主观臆断。强化数形结合思维，将代数系数关系转化为图象几何特征，分类梳理常见结论模型，快速秒杀常规考题。 变式演练 【变式01】（2026·江苏徐州·一模）如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】观察图象，根据图象与x轴有两个交点，即可判定①；二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间，即可判定②；根据当时，，即可判定③；根据当时，，即可判定④． 【详解】解：观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点， ∴， ∴①正确； ∵二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间， ∴，， ∴， ∴， ∴②不正确； 当时，， 即可得， ∴③正确； 当时，， ∴， ∴④不正确． 故选：B． 题型03 二次函数图像变换（平移/翻折/旋转） 典例引领 【典例01】（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，B（点在点左侧），与轴交于点． (1)当时，求点A，B的坐标； (2)若，求直线的函数解析式； (3)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为，点在上，当时，恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)A，B (2)或 (3)的取值范围为或． 【分析】（1）令，解方程即可求解； （2）令，求得，，，根据题意求得点A的坐标为或，得到或，据此求解即可； （3）求得，分两种情况讨论，画出图象，列得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 令，可得， 解得，， ∴点A，B的坐标分别为，； （2）解：令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴点A的坐标为或， ∴或， ∴或， ①当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； ②当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 同理可得直线的解析式为； 综上，直线的解析式为或； （3）解：由（2）得点A的坐标为，点B的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵当时，恒成立， 当点在左侧， ∴，解得； 当点在右侧，左侧， ∴， 解得； 综上，的取值范围为或． 方法透视 考向解读 图像变换是中考中档常考题型，选择、填空及解答题均会考查。以平移为核心考点，翻折、旋转为拓展考点，命题常结合顶点变化、解析式改写、变换后交点、取值范围设问。紧贴几何变换规则，结合坐标系综合考查，常与二次函数最值、图象位置结合。命题难度梯度分明，基础题考查直接变换，中档题结合多次复合变换，侧重考查空间想象与公式迁移运用能力。 方法技能 紧抓顶点变换法核心：所有变换优先求出新顶点坐标，二次项系数按需调整。平移遵循 “左加右减、上加下减”；翻折区分 x 轴、y 轴翻折的系数符号变化；旋转牢记特殊角度顶点变化规律。变换前后抛物线形状不变，∣a∣保持不变。复杂复合变换分步拆解，先定点再写解析式，避免直接整体变形出错，结合画图辅助理解变换轨迹，提升解题准确率。 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； 【答案】 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 题型04 二次函数与一元二次方程/不等式结合 典例引领 【典例01】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 方法透视 考向解读 该题型为中考核心衔接考点，贯穿基础到中档题型。重点考查抛物线与 x 轴交点、方程根的关系，利用图象解二次不等式、比较函数值大小。常以方程根的个数、不等式解集、区间函数比较为设问方向，结合数形结合思想命题。既可单独小题考查，也会融入二次函数大题中间小问，衔接方程、函数两大模块，综合性强，重点考查知识融合与图象转化应用能力。 方法技能 明确抛物线与一元二次方程的对应关系：交点横坐标即为方程根，Δ决定交点数量。解二次不等式依托图象，以交点为分界，结合开口方向确定取值范围。方程根与系数关系、求根公式可辅助求解交点坐标。解题坚持数形结合，把方程问题转化为图象交点问题，不等式问题转化为图象上下位置关系，简化抽象运算，规范解集书写格式，规避区间书写易错点。 变式演练 【变式01】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握利用函数图象得到不等式的解集是解题的关键． 先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于， 函数关于y轴对称，且，， ， 化简为， 根据函数图象，可知不等式的解集为或． 故答案为：或． 题型05 求自变量、函数值或参数的取值范围 典例引领 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 【典例02】（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 方法透视 考向解读 本题型为中考常规必考题型，难易适中。常结合二次函数图象增减性、对称轴、限定区间，求解自变量范围、函数值范围及含参系数范围。命题常搭配有限定定义域、含参数抛物线、区间限制条件，设问灵活。既考查基础图象性质，又融入分类讨论思想，多在填空、解答小问出现，侧重考查区间分析、边界取值、不等式求解的综合运用能力。 方法技能 以对称轴为分界，划分函数增减区间，结合题目给定定义域确定最值与边界。求参数范围时，根据图象位置、交点条件、增减性列出不等式组求解。遇到含参数、动对称轴问题，分类讨论区间与对称轴的位置关系。利用端点值、顶点值锁定取值边界，严格区分开区间与闭区间。熟练结合图象辅助分析，避免纯代数计算漏解、错解，规范参数范围推导步骤。 变式演练 【变式01】（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若二次函数的图象的顶点在直线上，求； (3)设时，当时，则的函数值的取值范围是_________； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入解析式，求出的关系式，进而表示出顶点坐标，代入一次函数解析式进行求解即可； （3）待定系数法求出函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ，解得， ∴； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标在直线上， ∴， 整理，得，解得， ∴或； 综上：或； （3）解：当时，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为0， ∴． 题型06 二次函数中的最大值与最小值问题 典例引领 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 方法透视 考向解读 最值问题是中考二次函数核心重点，高频出现在解答题中档位置。分为全体实数范围内顶点最值、限定区间内最值两大考法，常结合给定自变量范围、实际情境区间设问。命题注重分类讨论，区间含对称轴、在对称轴左右两侧为常考分类点。题型综合性较强，衔接图象增减性，是后续几何最值、实际应用的基础，分值占比高，为中考重点得分题型。 方法技能 无范围限制时，直接利用顶点纵坐标求最值；给定区间最值，核心判断对称轴与区间位置关系。分三类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区间内部，分别结合增减性取端点或顶点最值。牢记开口方向决定最值类型，a>0有最小值、a<0有最大值。解题先定对称轴，再画简易图象辅助判断，精准计算端点与顶点函数值，分类作答，杜绝区间最值漏情况失分。 变式演练 【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 题型07 实际应用（利润 / 面积 / 运动） 典例引领 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 【典例02】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 方法透视 考向解读 实际应用题是中考解答题必考大题，分值较高。主要围绕销售利润、几何图形面积、动点运动变化三大情境命题，依托二次函数建模求解最值、最优方案。命题贴合生活实际，文字材料较长，需要提取数量关系，自变量常带实际取值限制。侧重数学建模能力考查，融合一元二次方程、不等式、最值知识，综合性强，是中考核心综合应用题。 方法技能 审题提取关键数量关系，设出自变量，根据利润、面积、边长公式列出二次函数解析式。结合实际意义确定自变量取值范围，排除不合理解。利用顶点或区间最值求解最优方案，求解后检验结果是否符合实际情境。梳理各类应用模型公式，规范建模步骤，理清变量之间的数量逻辑。注重单位、取值整数限制等细节，结合取值范围筛选合理答案，完整作答。 变式演练 【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 题型08 二次函数中的新定义问题 典例引领 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 方法透视 考向解读 新定义题型为中考创新难点题型，多位于选择、填空压轴或解答拔高小问。命题临时给出新概念、新规则，结合二次函数图象、解析式、性质综合设问。材料新颖、题型灵活，无固定刷题模板，侧重现场理解、知识迁移能力。融合数形结合、阅读理解、即时推理，打破常规考法，用来区分高分段学生，考查数学综合素养与临场应变解题能力。 方法技能 精读题干，拆解新定义规则，转化为熟悉的二次函数知识点。圈画定义关键条件，逐条对应抛物线性质、点坐标、方程关系。结合画图、列式、代入计算完成推理，将陌生问题转化为常规解析式、最值、交点问题。解题循序渐进，先简单验证定义，再深入综合计算，杜绝主观套用旧知识。注重逻辑推理，严谨验证答案，适应创新设问模式。 变式演练 【变式01】（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 题型09 二次函数中代数推理问题 典例引领 【典例01】（2026·江苏连云港·一模）抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过定点． (1)当时，求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点、在该抛物线上，且（点在点右侧），，求证：； (3)已知点和是抛物线上的两点，若对于，且，都有，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式可得，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）可证明，根据，，得到，据此可证明结论； （3）分两种情况：当时，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，要使，则要小于的最小值，根据离对称轴越远，函数值越小建立不等式求解即可；当时，点在对称轴上或在对称轴右侧，点在对称轴右侧，要使，则要小于的最小值，根据离对称轴越远，函数值越小建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴当时，， ∵该抛物线经过定点， ∴，即， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即； ∵点、在该抛物线上， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点一定在对称轴右侧； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 当时，则， ∴此时点在对称轴左侧， ∵对于，且，都有， ∴要小于的最小值， ∴点P到对称轴的距离要大于点Q到对称轴的最大距离， ∴， 解得； 当时，则， ∴此时点在对称轴右侧或在对称轴上 ∵对于，且，都有， ∴要小于的最小值， ∴， 解得； 综上所述，或． 方法透视 考向解读 代数推理是中考中档拔高题型，常结合含参二次函数、代数式恒等变形、等式证明、大小比较命题。围绕系数关系、函数值大小、代数式定值、恒成立等方向设问，弱化图象直观，强化代数运算与逻辑推导。多在解答题中间设问，计算量大、逻辑性强，侧重考查整式运算、配方、作差比较、方程推理，锻炼代数运算与严谨推理的核心数学能力。 方法技能 熟练掌握配方、因式分解、整式加减乘除恒等变形技巧。比较函数值大小常用作差法、作商法，结合配方判断代数式符号。含参推理合理消元、整体代换，简化复杂式子。紧扣二次函数基本性质，结合方程、代数式运算规律层层推导。推理过程步骤完整，逻辑清晰，避免跳步。强化整体思想、转化思想，简化运算难度，提升代数推理的严谨性。 变式演练 【变式01】（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①当时，为定值；② (3)或 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）先求出，再分时、时、三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的“2型相关量”， 则； （2）解：①由题意得：， 当时，为定值； ②， 若随的增大而减小，则，即； （3）解：由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 题型10 综合压轴（几何存在性/动点最值） 典例引领 【典例01】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、． (1)求证：． (2)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论． (3)四边形的面积为S，． ①________（用含x的代数式表示） ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的周长不发生变化，证明见解析 (3)；S存在最小值，最小值是6 【分析】（1）由正方形与折叠可得，，，即可证明； （2）过B作于点，可证明，，即可证明的周长不发生变化； （3）①过F作于点M，设与交于点，可证明，在中，可求得；②由①可得，由折叠可得，即可求得四边形的面积S关于x的二次函数，由此根据二次函数的性质可求得最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴，， ∴． （2）解：的周长不发生变化． 证明：如图2，过B作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）可知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长 ， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴的周长，即的周长不发生变化． （3）解：①如图3，过F作于点M，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵为折痕， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠可得，， 在中，，即， ∴， ∴， ②由①可知，， 由折叠可得，， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为6． 【典例02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 方法透视 考向解读 本题型为中考数学压轴大题，难度最高、综合性最强。以二次函数抛物线为背景，结合直角三角形、等腰三角形、平行四边形等几何存在性问题，搭配动点、线段最值、周长面积最值综合设问。融合函数、几何、方程、分类讨论等多重考点，设问梯度分明，层层递进。全面考查数形结合、分类讨论、建模转化等核心思想，是中考拉开分数差距的关键题型。 方法技能 以抛物线解析式、顶点、交点坐标为基础，联立几何图形性质解题。存在性问题按图形类型分类讨论，罗列边长、角度、平行垂直等量关系，列方程求解。动点问题设动点坐标，用含参式子表示线段、周长、面积，转化为二次函数最值求解。灵活运用勾股、相似、特殊图形性质，数形结合联动解题。分类不重不漏，计算细致，合理取舍不符合题意的点坐标。 变式演练 【变式01】（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值； （2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可； ②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 题●型●训●练 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 2．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 故，所以①不符合题意； 由图象知时，函数最大值是，故②符合题意； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∴当时，，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 由图象过点可得， ∵， ∴ ， ∴， ∴，故⑤不符合题意， 故正确的有②③④共3个． 4．（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的对称性得出点的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是， ∴点的对称点的坐标是． ∵抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大，且， ∴． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 7．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可． 【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①． 故答案为：①． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 9．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 12．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 13．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 【答案】(1)， (2) (3)2，0，4，无数 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解； （2）表示出，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可； （3）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后分别计算每一种情况即可． 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点， ∴， 解得： ∴，； （2）解：∵，， ∴二次函数解析式为， ∵直线与轴垂直， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点， ∵， 设直线表达式为：， 代入点， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 即， 同理可得， ∴当时，， 整理得：， ∴或， 对于，； 对于，， ∴当时，对应的t值有2个； 当时，，方程无解， ∴对应的t值有0个； 当时， 整理得：， ∴或， 对于方程，， 对于方程，， ∴当时，对应的t值有4个； 当时， ∵，， ∴始终成立， ∴当且时，始终成立， ∴当时，对应的t值有无数个， 故答案为：2，0，4，无数． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $