热点08 圆基础专题7大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点08 圆基础专题 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 圆基础性质、圆心角圆周角 题型02 圆内接四边形性质 题型03 垂径定理、弦长几何计算 题型04 点、直线和圆的位置关系 题型05 切线基础判定与性质 题型06 弧长、扇形、阴影面积 题型07 正多边形与圆 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆是江苏中考数学的核心几何中档题模块，是几何综合题的重要背景，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在10-18分，以选择、填空和中档解答题为主，是区分度考点的重要来源。 1.高频考点分布： · 圆的基础性质：圆心角、圆周角定理为必考考点，以选择、填空形式考查，占2-4分； · 圆内接四边形、垂径定理：基础计算高频考点，占2-4分； · 点、直线与圆的位置关系：基础判定考点，占2-3分； · 切线的判定与性质：解答题高频考点，常以中档解答题形式出现，占4-6分； · 弧长、扇形、阴影面积计算：基础计算高频考点，占2-4分； · 正多边形与圆：基础考点，占1-2分。 2.命题特点： · 基础题以圆的性质、弧长/扇形面积计算为主，侧重公式的直接应用； · 解答题以切线的判定与性质为核心，常结合垂径定理、全等三角形、勾股定理考查； · 阴影面积计算常结合割补法，考查图形转化思想； · 圆与几何综合题常作为中档题，结合三角形、四边形背景，考查综合推理能力。 3.高频失分点： · 圆周角定理应用时，忽略 “同弧所对的圆周角等于圆心角的一半” 的前提条件； · 垂径定理应用时，未构造直角三角形，无法用勾股定理计算弦长； · 切线判定时，条件不充分（未证明直线与半径垂直），或混淆切线的判定与性质； · 弧长、扇形面积计算时，记错公式或圆心角单位未统一； · 阴影面积计算时，无法正确使用割补法，导致计算错误。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出几何推理与综合应用： 1.基础题难度不变，仍以圆的基础性质、弧长 / 扇形面积计算为主； 2.切线的判定与性质仍为解答题高频考点，可能结合圆内接四边形、垂径定理背景； 3.阴影面积计算的灵活性增强，侧重考查割补法与图形转化思想； 4.圆与几何综合题的区分度增强，侧重考查数形结合与几何直观。 题型01 圆基础性质、圆心角圆周角 解｜题｜策｜略 ① 核心性质速记： · 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等； · 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半； 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 ② 解题技巧： · 遇到弧、弦、圆心角的关系问题，优先利用 “同圆或等圆中，弧、弦、圆心角知一推二”； · 遇到圆周角问题，优先找同弧所对的圆心角，或构造直径所对的圆周角（直角）； · 圆中角度计算，优先用圆周角定理转化角度，简化计算。 ③ 易错点：忽略 “同圆或等圆” 的前提条件，直接套用弧、弦、圆心角的关系；或圆周角定理应用时，误将不同弧的角直接转化。 例1（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，则由圆周角定理得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示： ∵扇形的圆心角为 ∴圆心角， 根据圆周角定理得：， 当点在扇形内部延长线上时，则； 当点在扇形内部线段上时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 例2（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 例3（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 例4（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∴． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，已知A，B，D三点在上，，则_______°． 【答案】100 【分析】在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，据此求解即可． 【详解】解：由圆周角定理可得，． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：点是劣弧的中点， ， ， ， ． 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解． 【详解】解：，， ， 是的直径， ， ． 题型02 圆内接四边形性质 解｜题｜策｜略 1 圆内接四边形核心性质：对角互补，任意一个外角等于它的内对角。 ② 解题技巧： · 已知圆内接四边形的一个内角，可直接求其对角的度数； · 遇到圆内接四边形的外角，优先利用 “外角等于内对角” 转化为圆内的圆周角； · 结合圆周角定理，可进一步转化为圆心角，解决角度计算问题。 ③ 易错点：混淆圆内接四边形的对角与邻角，或误将外角与内对角的关系记错。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 例2（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可证明是等边三角形，得到，再由圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴点O在上， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是圆外一点，连接分别交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先，根据四边形是的内接四边形，得出，再由，， 证得，即可得出； （2）首先，添加辅助线，然后，由，得是等腰三角形，再证得，得出，，再证得，得出，即可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解:连接． 由（1）知， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的直径， ∴． ∴，． 由（1）知，又知， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】掌握圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质，证得，再运用相似三角形的性质得出对应边成比例是本题解题的关键． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 题型03 垂径定理、弦长几何计算 解｜题｜策｜略 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。 ② 通用解题步骤： · 过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点，构造直角三角形； · 利用垂径定理，直角三角形的一条直角边为弦长的一半，另一条直角边为圆心到弦的距离，斜边为圆的半径； · 利用勾股定理列方程，求解弦长、半径或圆心到弦的距离。 ③ 解题技巧： · 已知半径、弦长、圆心到弦的距离中的任意两个，可直接用勾股定理求第三个； · 遇到圆中弦的问题，优先作圆心到弦的垂线，构造直角三角形； · 多个弦的问题，可利用垂径定理分别计算，再结合几何关系求解。 ④ 易错点：应用垂径定理时，忽略 “平分弦（不是直径）的直径垂直于弦” 的前提条件，或未构造直角三角形直接计算。 例1（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 例2（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【答案】5 【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵，点E是的中点，， ∴， 由勾股定理得， 则 解得． 【变式3】（2026·江苏南京·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先求出半径，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵是的弦，于点E，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 题型04 点、直线和圆的位置关系 解｜题｜策｜略 ① 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： · d>r：点在圆外； · d=r：点在圆上； · d<r：点在圆内。 ② 直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： · d>r：直线与圆相离，无交点； · d=r：直线与圆相切，有一个交点； · d<r：直线与圆相交，有两个交点。 ③ 解题技巧： · 判断位置关系的核心是比较d与r的大小； · 求圆心到直线的距离时，优先用点到直线的距离公式，或构造直角三角形计算； · 直线与圆相交时，可结合垂径定理计算弦长。 ④ 易错点：混淆点与圆、直线与圆的位置关系判定条件，或误将圆心到直线的距离当作线段长度计算。 例1（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析； (2)． 【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，，推出，根据弧长公式可得，利用三角形的外角性质可得，即可判断； （2）连接，根据含的直角三角形的性质可求出，进而得到，由可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ，， ，， ， ， 的半径为， 长为，   ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线与相切； （2）如图，连接， 由（1）得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． (1)判断与的位置关系并证明； (2)若的半径为4，求的面积． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，再结合三角形外角的性质可得，即可解答； （2）过点B作于点H，根据直角三角形的性质以及勾股定理可，，再结合等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：与相切，证明如下： 连接， ， ， ∵， ． ， ∴ ， ，即， 与相切． （2）解：过点B作于点H， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ，， ∴， 又， ， ． 题型05 切线基础判定与性质 解｜题｜策｜略 ① 切线的判定方法： · 定义法：直线与圆有唯一公共点； · 距离法：圆心到直线的距离等于半径； · 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（证明题常用）。 ② 切线的性质： · 切线与圆只有一个公共点； · 切线到圆心的距离等于半径； · 切线垂直于过切点的半径。 ③ 证明切线的通用步骤： · 有公共点：连接圆心与公共点，证明这条半径与直线垂直； · 无公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 ④ 解题技巧： · 遇到切线问题，优先连接圆心与切点，利用切线的性质得到直角； · 结合勾股定理、全等三角形、相似三角形，求解相关线段的长度； · 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 ⑤ 易错点：证明切线时，条件不充分（如只证明垂直，未证明直线过半径外端），或忽略切线的性质，未构造直角三角形。 例1（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)． 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由题意可得，即，从而可得，由等边对等角并结合对顶角相等得出，即，即可得证； （2）由题意可得，则，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图：连接，， ∵D为所对的下半圆中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为10， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：过点作，垂足为点， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ， 的半径为． 题型06 弧长、扇形、阴影面积 解｜题｜策｜略 ① 核心公式速记： · 弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数，r为半径）； · 扇形面积公式：S=nπr2/360=lr/2（l为弧长）； · 圆锥侧面积：侧（r为底面半径，l为母线长）。 ② 阴影面积计算方法： · 直接法：阴影部分为规则图形，直接用公式计算； · 和差法：阴影部分由几个规则图形的和或差组成，分别计算再求和差； · 割补法：通过平移、旋转、对称，将不规则阴影转化为规则图形计算。 ③ 解题技巧： · 弧长、扇形面积计算时，注意圆心角的单位为 “度”，半径单位统一； · 阴影面积计算优先观察图形特征，利用割补法简化计算，避免复杂运算； · 圆锥相关问题，利用 “底面周长等于侧面展开图的弧长” 建立等式。 ④ 易错点：记错弧长、扇形面积公式，或圆心角单位未统一；阴影面积计算时，无法正确使用割补法，导致结果错误。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 例2（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 例4（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是________． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积和母线长求得圆锥侧面展开扇形的弧长，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面周长，即可求得圆锥底面圆的半径． 【详解】解：圆锥的母线长是，侧面积是， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为：， 圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】由切线的性质得到，从而得到，根据直角三角形的性质得到，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵与半圆相切， ∴， ∵，， ∴，， ∴的长度． 【变式4】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 【变式5】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图确定圆锥的底面圆的周长即为的长度，根据正多边形的性质求出的长度和，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， ∴圆锥的底面圆的周长即为的长度． ∵正六边形的边长为6， ∴，． ∴． ∴圆锥的底面圆的周长为． 【变式6】（2026·江苏徐州·一模）一个圆锥底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥的母线长是______． 【答案】10 【分析】根据圆锥侧面积公式，设出母线长，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为， ∵圆锥底面半径， ∴圆锥底面周长为， 根据圆锥侧面积公式，代入，，得， 解得． 题型07 正多边形与圆 解｜题｜策｜略 ① 核心概念： · 正多边形的中心：外接圆的圆心； · 正多边形的半径：外接圆的半径； · 边心距：中心到正多边形一边的距离； · 中心角：正多边形每一边所对的圆心角，为360°/n（n为边数）。 ② 解题技巧： · 正多边形的计算问题，优先连接中心与顶点，构造等腰三角形，再作边心距，将等腰三角形分为两个直角三角形； · 利用勾股定理，可在直角三角形中计算边长、边心距、半径； · 常见正多边形（正三角形、正方形、正六边形）的中心角分别为 120°、90°、60°，可结合特殊角三角函数值简化计算。 ③ 易错点：混淆正多边形的半径与边心距，或构造直角三角形时，对应边找错，导致计算错误。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 例2（2026·江苏连云港·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正六边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求出底面半径． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 则弧的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥底面半径为r，则， ∴， 圆锥底面半径为． 【变式2】（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，连接、，令交于    ，交于，作交于，由正六边形的性质可得，，，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接、，令交于 ，交于，作交于， ， ∵点是边长为1的正六边形的中心， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为_______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和、弧长公式、圆锥的侧面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴，， ∴弧的长为： ， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高 ． 故答案为：． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式即可求解圆心角度数． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ∵扇形半径，弧长， ∴， 解得， ∴此扇形的圆心角为． 3．（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 【答案】50 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接． ， ． 是的直径，是的弦，且， ， ． 4．（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【答案】48 【分析】根据扇形弧长公式，将已知的弧长和圆心角代入扇形弧长公式，即可计算得到扇形半径． 【详解】解：设该扇形的半径为. 解得． 5．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 6．（2026·江苏苏州·一模）圆锥的侧面展开图是一个半圆，底面半径为，则圆锥的母线长是________． 【答案】8 【分析】圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，结合侧面展开图是半圆的条件，可列方程求解母线长。 【详解】解：设圆锥的母线长为， 已知圆锥底面半径为，可得圆锥底面周长为 ， 因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的半径等于圆锥的母线长，且半圆的弧长等于圆锥底面的周长，因此半圆的弧长为， 列方程得：， 解得． 7．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为4， ∴， ，， 是等边三角形， ，， ∵点G为弦的中点， ∴， ∴， 在中，， 是直径， ， ， 在中，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 9．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，即可证明结论； （2）证明，推出，再根据已知可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，弦直径， ∴， ∴； （2）解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 10．（2026·江苏徐州·一模）如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再证明，可得，即可根据切线的判定证明结论； （2）先求出，，，再根据计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于C， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直径， ， ， ， 在中，， 阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点08 圆基础专题 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 圆基础性质、圆心角圆周角 题型02 圆内接四边形性质 题型03 垂径定理、弦长几何计算 题型04 点、直线和圆的位置关系 题型05 切线基础判定与性质 题型06 弧长、扇形、阴影面积 题型07 正多边形与圆 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆是江苏中考数学的核心几何中档题模块，是几何综合题的重要背景，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在10-18分，以选择、填空和中档解答题为主，是区分度考点的重要来源。 1.高频考点分布： · 圆的基础性质：圆心角、圆周角定理为必考考点，以选择、填空形式考查，占2-4分； · 圆内接四边形、垂径定理：基础计算高频考点，占2-4分； · 点、直线与圆的位置关系：基础判定考点，占2-3分； · 切线的判定与性质：解答题高频考点，常以中档解答题形式出现，占4-6分； · 弧长、扇形、阴影面积计算：基础计算高频考点，占2-4分； · 正多边形与圆：基础考点，占1-2分。 2.命题特点： · 基础题以圆的性质、弧长/扇形面积计算为主，侧重公式的直接应用； · 解答题以切线的判定与性质为核心，常结合垂径定理、全等三角形、勾股定理考查； · 阴影面积计算常结合割补法，考查图形转化思想； · 圆与几何综合题常作为中档题，结合三角形、四边形背景，考查综合推理能力。 3.高频失分点： · 圆周角定理应用时，忽略 “同弧所对的圆周角等于圆心角的一半” 的前提条件； · 垂径定理应用时，未构造直角三角形，无法用勾股定理计算弦长； · 切线判定时，条件不充分（未证明直线与半径垂直），或混淆切线的判定与性质； · 弧长、扇形面积计算时，记错公式或圆心角单位未统一； · 阴影面积计算时，无法正确使用割补法，导致计算错误。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出几何推理与综合应用： 1.基础题难度不变，仍以圆的基础性质、弧长 / 扇形面积计算为主； 2.切线的判定与性质仍为解答题高频考点，可能结合圆内接四边形、垂径定理背景； 3.阴影面积计算的灵活性增强，侧重考查割补法与图形转化思想； 4.圆与几何综合题的区分度增强，侧重考查数形结合与几何直观。 题型01 圆基础性质、圆心角圆周角 解｜题｜策｜略 ① 核心性质速记： · 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等； · 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半； 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 ② 解题技巧： · 遇到弧、弦、圆心角的关系问题，优先利用 “同圆或等圆中，弧、弦、圆心角知一推二”； · 遇到圆周角问题，优先找同弧所对的圆心角，或构造直径所对的圆周角（直角）； · 圆中角度计算，优先用圆周角定理转化角度，简化计算。 ③ 易错点：忽略 “同圆或等圆” 的前提条件，直接套用弧、弦、圆心角的关系；或圆周角定理应用时，误将不同弧的角直接转化。 例1（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 例2（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 例3（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 例4（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，已知A，B，D三点在上，，则_______°． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（   ） A． B． C． D． 题型02 圆内接四边形性质 解｜题｜策｜略 1 圆内接四边形核心性质：对角互补，任意一个外角等于它的内对角。 ② 解题技巧： · 已知圆内接四边形的一个内角，可直接求其对角的度数； · 遇到圆内接四边形的外角，优先利用 “外角等于内对角” 转化为圆内的圆周角； · 结合圆周角定理，可进一步转化为圆心角，解决角度计算问题。 ③ 易错点：混淆圆内接四边形的对角与邻角，或误将外角与内对角的关系记错。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 例2（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是圆外一点，连接分别交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03 垂径定理、弦长几何计算 解｜题｜策｜略 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。 ② 通用解题步骤： · 过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点，构造直角三角形； · 利用垂径定理，直角三角形的一条直角边为弦长的一半，另一条直角边为圆心到弦的距离，斜边为圆的半径； · 利用勾股定理列方程，求解弦长、半径或圆心到弦的距离。 ③ 解题技巧： · 已知半径、弦长、圆心到弦的距离中的任意两个，可直接用勾股定理求第三个； · 遇到圆中弦的问题，优先作圆心到弦的垂线，构造直角三角形； · 多个弦的问题，可利用垂径定理分别计算，再结合几何关系求解。 ④ 易错点：应用垂径定理时，忽略 “平分弦（不是直径）的直径垂直于弦” 的前提条件，或未构造直角三角形直接计算。 例1（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 例2（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【变式3】（2026·江苏南京·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 题型04 点、直线和圆的位置关系 解｜题｜策｜略 ① 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： · d>r：点在圆外； · d=r：点在圆上； · d<r：点在圆内。 ② 直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： · d>r：直线与圆相离，无交点； · d=r：直线与圆相切，有一个交点； · d<r：直线与圆相交，有两个交点。 ③ 解题技巧： · 判断位置关系的核心是比较d与r的大小； · 求圆心到直线的距离时，优先用点到直线的距离公式，或构造直角三角形计算； · 直线与圆相交时，可结合垂径定理计算弦长。 ④ 易错点：混淆点与圆、直线与圆的位置关系判定条件，或误将圆心到直线的距离当作线段长度计算。 例1（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． (1)判断与的位置关系并证明； (2)若的半径为4，求的面积． 题型05 切线基础判定与性质 解｜题｜策｜略 ① 切线的判定方法： · 定义法：直线与圆有唯一公共点； · 距离法：圆心到直线的距离等于半径； · 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（证明题常用）。 ② 切线的性质： · 切线与圆只有一个公共点； · 切线到圆心的距离等于半径； · 切线垂直于过切点的半径。 ③ 证明切线的通用步骤： · 有公共点：连接圆心与公共点，证明这条半径与直线垂直； · 无公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 ④ 解题技巧： · 遇到切线问题，优先连接圆心与切点，利用切线的性质得到直角； · 结合勾股定理、全等三角形、相似三角形，求解相关线段的长度； · 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 ⑤ 易错点：证明切线时，条件不充分（如只证明垂直，未证明直线过半径外端），或忽略切线的性质，未构造直角三角形。 例1（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型06 弧长、扇形、阴影面积 解｜题｜策｜略 ① 核心公式速记： · 弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数，r为半径）； · 扇形面积公式：S=nπr2/360=lr/2（l为弧长）； · 圆锥侧面积：侧（r为底面半径，l为母线长）。 ② 阴影面积计算方法： · 直接法：阴影部分为规则图形，直接用公式计算； · 和差法：阴影部分由几个规则图形的和或差组成，分别计算再求和差； · 割补法：通过平移、旋转、对称，将不规则阴影转化为规则图形计算。 ③ 解题技巧： · 弧长、扇形面积计算时，注意圆心角的单位为 “度”，半径单位统一； · 阴影面积计算优先观察图形特征，利用割补法简化计算，避免复杂运算； · 圆锥相关问题，利用 “底面周长等于侧面展开图的弧长” 建立等式。 ④ 易错点：记错弧长、扇形面积公式，或圆心角单位未统一；阴影面积计算时，无法正确使用割补法，导致结果错误。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 例2（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A． B． C． D． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 例4（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是________． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 【变式4】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【变式5】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____． 【变式6】（2026·江苏徐州·一模）一个圆锥底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥的母线长是______． 题型07 正多边形与圆 解｜题｜策｜略 ① 核心概念： · 正多边形的中心：外接圆的圆心； · 正多边形的半径：外接圆的半径； · 边心距：中心到正多边形一边的距离； · 中心角：正多边形每一边所对的圆心角，为360°/n（n为边数）。 ② 解题技巧： · 正多边形的计算问题，优先连接中心与顶点，构造等腰三角形，再作边心距，将等腰三角形分为两个直角三角形； · 利用勾股定理，可在直角三角形中计算边长、边心距、半径； · 常见正多边形（正三角形、正方形、正六边形）的中心角分别为 120°、90°、60°，可结合特殊角三角函数值简化计算。 ③ 易错点：混淆正多边形的半径与边心距，或构造直角三角形时，对应边找错，导致计算错误。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 例2（2026·江苏连云港·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____． 【变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为_______． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 4．（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 5．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 6．（2026·江苏苏州·一模）圆锥的侧面展开图是一个半圆，底面半径为，则圆锥的母线长是________． 7．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 9．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 10．（2026·江苏徐州·一模）如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $