专题04 四大分布及分布列问题（两点、二项、超几何、正态分布）（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修三

专题04 四大分布及分布列问题（两点、二项、超几何、正态分布） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、两点分布 1 类型二、二项分布 4 类型三、独立事件的乘法公式 11 类型四、超几何分布 16 类型五、正态分布 23 类型六、其他离散型随机变量的分布列 30 压轴专练 40 类型一、两点分布 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 1．（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·山东·期中）已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布可得，再根据即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为，所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 4．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 5．已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举法即可求解. 【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：A. 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 类型二、二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：①由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． ②本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）某篮球运动员投球的命中率是，则他投球4次，恰好投进3个球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设他投球4次，投进球的个数为，则.直接运用二项分布的概率公式进行计算即可求解. 【详解】设他投球4次，投进球的个数为，则. 根据二项分布的概率公式可知投球4次，恰好投进3个球的概率为. 故选：C. 2．（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 3．（25-26高二下·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 【答案】D 【分析】确定射击3次击中目标的次数服从二项分布，再根据期望的性质计算得分的数学期望. 【详解】由题意可知，射击3次击中次数X的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响， 所以，射击3次击中目标的次数为，， 设得分为，则，所以. 4．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 6．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 7．（25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 8．（25-26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】（1）先根据古典概型的概率公式求出甲顾客享受免单优惠、乙顾客消费金额打八折的概率，再根据独立事件的概率公式求解； （2）方案一，根据古典概型的概率公式列出分布列即可求出期望；方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，，利用二项分布的期望公式和期望的性质求解. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球， 设甲顾客享受到免单优惠为事件，则， 设乙顾客消费金额打八折为事件，则， 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为 （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，400，640，800. ，， ，， 所以（元） 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)或100 【分析】(1)利用全概率公式计算即可求解； (2) 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，可得，利用二项分布的分布列以及期望公式求解即可； (3)由题可得，利用，解不等式即可求解. 【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一零件是合格品”， 则，． 由， 得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 ． （3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为， 则， 由，解得． 所以当或100时，取得最大值． 类型三、独立事件的乘法公式 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．（25-26高二上·四川宜宾·期末）甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是（   ） A．0.12 B．0.56 C．0.44 D．0.88 【答案】D 【分析】求出两人均没有击中目标的概率，再根据对立事件的概率即可求出答案. 【详解】因为甲乙两人击中目标的概率分别为0.8和0.4， 所以两人均没有击中目标的概率为， 所以至少有1人击中目标的概率是. 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案.张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率公式计算求解即可 【详解】因为有思路的题做对的概率为， 没有思路的题只好随机猜一个答案，答对概率为 从这4道题中随机选择2道题作答， 则2道题都答对的概率为 故选：A. 3．（25-26高二下·北京·月考）某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件元件正常工作，记事件该部件正常工作，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】记事件元件正常工作，记事件该部件正常工作， 则，且、、相互独立， 由题意可得， 所以 . 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记三个项目中，甲获胜分别是事件，综合对立事件、互斥事件、独立事件的概率公式求解即可. 【详解】记三个项目中，甲获胜分别是事件， 则， 所以. 由题意知事件“甲恰好在两个项目中战胜乙”， 因为两两互斥， 所以. 又各项目的对抗练习结果相互独立，即相互独立， 所以，， ， 所以. 故选：A. 5．某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知， ． 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为． （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由，得， 所以p的取值范围为． 6．（25-26高二下·北京·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过把甲同学所有可能选择答案的样本空间列出，再使用古典概型计算公式计算甲同学得4分的概率； （2）列出2道多项选择题的总得分变量的取值情况，再通过独立事件乘法公式计算出每种情况的概率，列出变量的分布列. 【详解】（1）设“甲同学得4分”为事件， 该同学所有可能的选择答案的样本空间， 包含6个样本点，而事件A包含3个，所以 所以他本题得4分的概率为． （2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12， 则，， ，       ，， 所以随机变量的概率分布如下： 类型四、超几何分布 求超几何分布的分布列的步骤 1．（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可推得服从超几何分布，利用超几何分布概率公式计算即可判断. 【详解】依题意，随机变量服从超几何分布， 则，， 当时，， 故C正确. 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 3．（25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 4．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 5．（25-26高二下·安徽·期中）某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答.竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分. (1)已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差； (2)已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列. 【答案】(1)， (2)Y的分布列为： Y -6 2 10 18 P 【详解】（1）设甲答对题目的数目为X，则， 可得，． （2）设乙答对的题目数为Z，可知Z的可能取值为0，1，2，3． 则，所以Y的可能取值为，2，10，18． ；； ；． 所以Y的分布列为： Y -6 2 10 18 P 6．某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. 【答案】(1)估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样计算出年龄在的人数和年龄在的人数.由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，根据超几何分布的概率分布列公式求出取每个值对应的概率，即可求解的分布列，根据离散型随机变量的期望公式即可求出的期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于区间中，中位数的估计值为； 由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为. 故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和. （2）由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在的有人， 其中年龄在的有人. 由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： 的期望. 7．（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，； （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 8．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； (2)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 3 4 (2). 【分析】（1）先按分层抽样比例算出各组抽取人数，再确定随机变量的所有可能取值，用超几何分布公式计算各取值的概率，列出分布列； （2）写出恰好答对3题的概率表达式，通过列相邻概率的比值不等式，求解使该概率最大的值. 【详解】（1）由题意得，这 12 人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为， ：对应和，则； ：对应、和，则； ：对应和，则； ：对应，则； ：对应，则. 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）设抽取10个中答对的个数为，则服从超几何分布，恰好答对3个的概率为， 要使得恰好最大，需满足 ， 解：，化简得； 解：，化简得. 结合，且，可知. 类型五、正态分布 解决正态分布问题有三个关键点 （1）对称轴 ； （2）标准差 ； （3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由 ， 分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 特殊区间，从而求出所求概率，注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线. 1．（25-26高二下·辽宁·开学考试）在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 2．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 4．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求，根据求. 【详解】因为，所以，所以， 又. 故选：D 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，，所以， 因为，所以， 而，A，B错误， ，所以， 故，C正确，D错误； 6．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标准正态分布的对称性可得，运算求解结合选项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 7．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 8．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 9．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大 【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率； （2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润. 【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，. ：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得. ：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得. ：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得. 所以的分布列为： 0.72 0.26 0.02 （2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，. ； ； . 每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，. ； ； . 则乙机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 类型六、其他离散型随机变量的分布列 离散型随机变量分布列的求解步骤 选必三压轴专题04素材06 一、解答题 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)分布列见解析，， 【分析】（1）由题意，根据相互独立事件概率的计算公式求出概率，写出分布列，计算期望与方差即可； （2）根据古典概型计算公式，计算概率写出分布列，结合数学均值与方差公式进行求解即可. 【详解】（1）因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为， 由题意可知：， ，由（1）可知：，， 所以X的分布列为： ， . （2）由题意可知：， ，，， 所以Y的分布列为： ， ． 2．（25-26高二下·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率，最后整理得到分布列. 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，， ∵，， ∴， ∴甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过把甲同学所有可能选择答案的样本空间列出，再使用古典概型计算公式计算甲同学得4分的概率； （2）列出2道多项选择题的总得分变量的取值情况，再通过独立事件乘法公式计算出每种情况的概率，列出变量的分布列. 【详解】（1）设“甲同学得4分”为事件， 该同学所有可能的选择答案的样本空间， 包含6个样本点，而事件A包含3个，所以 所以他本题得4分的概率为． （2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12， 则，， ，       ，， 所以随机变量的概率分布如下： 4．（2025高二·全国·专题练习）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，三个社团他都能进入的概率为，至少能进入一个社团的概率为，且． (1)求m与n的值； (2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意根据相互独立事件概率的计算，三个社团都能进入的概率为能够进入每个社团的概率之积，至少进入一个社团的概率为1减去三个社团都不进的概率； （2）根据题意设该新生在社团方面获得校本选修课学分为X，则X的可能取值有0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，写出分布列即可. 【详解】（1）由，得． （2）令该新生在社团方面获得的校本选修学分为随机变量X，则X的值可以为0，1，2，3，4，5，6． ， ， ， ， ， P， ． 故随机变量X的分布列如下． X 0 1 2 3 4 5 6 P 5．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）由已知抽到黑球次数服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求解即可； （2）（ⅰ）只需考虑前三次抽球，记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球，N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球，进而可得出答案； （ⅱ）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，从而可得出分布列. 【详解】（1）易知抽到黑球次数服从二项分布， 于是，   ，   故所求概率； （2）（ⅰ）事实上，只需考虑前三次抽取. 记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球， N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球， 则，   ， ， 可得； （ⅱ）由题意X的取值可以是， 则， ， ， ， 故可得分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 8 P 6．（22-23高三上·湖南长沙·月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球． (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)分别求出甲与乙的比分是和的概率，即可得答案； (2) 依题意，甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜，分别求出5：0和5：2的概率，即可得X的分布列. 【详解】（1）解：甲与乙的比分是的概率为 比分是的概率为， 故前4球中，甲领先的概率 （2）解：依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利， 则甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜． 记比分为5：0为事件A， 则， 记比分为5：2为事件B，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次， ， 故依题意甲获胜的概率为 X的所有可能取值为3，5， 由条件概率有， 故X的分布列为 X 3 5 P 7．（25-26高二下·安徽·期中）亳州百草园为了让游客有更好的游玩体验，特推出代步自行车租用服务已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲、乙、丙、丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙、丁不超过分钟还车的概率分别为、、、，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲、乙、丙均租用型车，丁租用型车. (1)求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为元的概率； (2)求甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率； (3)设甲、乙、丙、丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布列. 【答案】(1) (2) (3) P 【分析】（1）分析可知人均不超过分钟，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知丁还车超过分钟且不超过分钟，则所付的费用为元，甲、乙、丙三人有一人还车超过分钟且不超过分钟，另外两个人还车都不超过分钟，利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可； （3）对每个人的停车事件进行分类讨论，确定每种情况下的取值，并求其概率，可得出随机变量的分布列. 【详解】（1）记“甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为元”为事件，即人均不超过分钟， 则. （2）由题意，甲、乙、丙、丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为、、、， 设“甲、乙、丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件， 由题意可知，丁还车超过分钟且不超过分钟，则丁所付的费用为元， 甲、乙、丙三人有一人还车超过分钟且不超过分钟，另外两个人还车都不超过分钟， 则. （3）①若“人均不超过分钟”此时随机变量的值为，即为事件， 由（1）知. ②记“人中仅有一人超过分钟”为事件， 事件又分成两种情况“超过分钟的这一人是甲、乙、丙中的一个”和“超过分钟的这一人是丁”， 分别将上述两种情况记为事件和. ⅰ.事件对应的的值为， 此时. ⅱ.事件对应的的值为，此时. ③记“人中仅有两人超过分钟”为事件， 事件又分成两种情况“超过分钟的两人是甲、乙、丙中的两个”和“超过分钟的两人是甲、乙、丙中的一个和丁”， 分别将上述两种情况记为事件和. ⅰ.事件对应的的值为， 此时. ⅱ.事件对应的的值为， 此时. ④记“人中仅有三人超过分钟”为事件， 事件又分成两种情况“超过分钟的三人是甲、乙、丙”和“超过分钟的三人是甲、乙、丙中的两个和丁”， 分别将上述两种情况记为事件和. ⅰ.事件对应的的值为，此时. ⅱ.事件对应的的值为， 此时. ⑤记“人均超过分钟”为事件，则随机变量的值为， 此时. 综上：随机变量的所有取值为、、、、、， 且，， ， ， ，， 所以甲、乙、丙、丁四人所付费用之和的分布列为 P 选必三压轴专题04素材07 一、单选题 1．（24-25高二下·吉林长春·月考）若随机变量服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合，列出方程，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，则， 因为，可得，解得， 所以. 故选：B. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【详解】，则，故． 3．（25-26高二下·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.45 B．0.4 C．0.5 D．0.3 【答案】B 【分析】由已知条件得：，，计算可得答案. 【详解】， 故选：B 5．（25-26高二下·辽宁·开学考试）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘积公式计算，再结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】一个细胞的谱系经过两轮演化后仍存活的概率为， 因此两个细胞经过两轮演化后还有细胞存活的概率是． 6．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 7．（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 8．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质，各取值概率之和为1，可求出分布列，进而可得到答案 【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的分布列为： 1 2 3 4 5 P 设事件为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则， 所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为． 设某同学游戏结束时取走的奖品个数为，则，所以， 所以，， 所以． 故选：B 9．（25-26高二上·四川成都·期末）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙命中的概率为，乙命中丙命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则三人中至少有一人命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据对立事件与独立事件的概率公式算出三人中至少有一人命中的概率． 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意，解得 故三人中至少有一人命中的概率. 故选：D. 10．（25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 11．（25-26高二上·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 二、解答题 12．（24-25高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求得； （2）由题意知的可能取值有，分别求出相应的概率，写出随机变量的分布列即可． 【详解】（1）取出3个球颜色都不相同的概率． （2）由题意知． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 3 13．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， (3)该系统会得到推广，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则； （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ，； （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则， 满足推广条件，因此该系统会得到推广. 14．（25-26高二下·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用所有矩形面积和为列出方程，求出参数；从高分段累计频率，定位分数线所在区间，列方程求解前30%对应的最低分； （2）利用全概率公式，分从号门、号门和号门进入学校三种情况，计算出从号门出校门的总概率；判定服从二项分布，直接用公式计算期望和方差求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得. 成绩在的频率为； 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 规定成绩较高的前的学生获奖,因为，， 所以分数线在内. 设最低分数线为，则，解得， 因此获奖学生的最低分数线为. （2）设事件表示从号门进入学校（），事件表示从号门出学校， 由全概率公式可得， 又已知，，，，，， 所以. 因为为名学生中从号门出学校的人数，每名学生相互独立， 所以服从二项分布，即， 由二项分布的期望和方差可得，，因此X的期望为，方差为. 15．（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) X 0 2 4 6 P . 【分析】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”，“第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”，由，结合互斥事件、独立事件概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”， “第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则，且与相互独立， 与相互独立，与互斥， 所以. （2）X的可能取值为0，2，4，6. ， ， ， . 的分布列为： 0 2 4 6 P 故. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先根据组合数计算，再根据对立事件概率求解； （2）先求出取值为0，1，2，3对应的概率，再得出分布列即可. 【详解】（1）设事件：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为， 所以． （2）所有可能的取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 17．（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【答案】(1)125，135，145，235，245，345． (2)答案见解析 【分析】（1）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （2）由题意得随机变量的取值为：，求出相应的概率，即可得到甲得分的分布列. 【详解】（1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345． （2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量可能的取值为. ，，． 所以的分布列为 0 1 18．（25-26高三上·全国·月考）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1)17 (2)0.004 【分析】（1）首先根据每一层的均值，代入总体样本的均值公式，即可求解. （2）首先由参考公式计算，再根据独立重复事件求概率. 【详解】（1）根据题意，把男性样本记为，其平均数记为； 把女性样本记为，其平均数记为，则， 记总样本数据的平均数为， 则，总样本数据的平均数为17. （2）根据题意，由（1）知，所以， 所以， 设抽取的3位参与者中，脂肪含量均小于12.2%的人数为， 易得， 故， 故3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004. 19．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）1100万元 【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解； （2）（ⅰ）记事件“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），根据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，然后根据二项分布期望公式结合条件即得. 【详解】（1）根据题意，6名部门领导参加，恰有3人来自A部门，2人都来自于A部门的概率为 （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第i轮培训达到优秀”（，2，3）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则，则， 所以（万元） 即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 20．（23-24高三上·广东揭阳·期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图： (1)估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训． （ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ） 【分析】（1）每一组的中点值乘以对应的频率即可得到平均值； （2）由频率比得到各小组内的人数，再利用超几何分布得到X的分布列与数学期望，即可得到（ⅰ）的答案；又利用条件概率即可得到（ⅱ）的答案. 【详解】（1）该班同学的平均进球个数: ． （2）由题意可知进球个数在，，内的频率分别为0.16，0.32，0.16， 频率比为； 所以抽取的8人中，进球个数在，，内的人数分别为2，4，2． （ⅰ）由题意可知，，1，2，3， 所以，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． （ⅱ）记事件“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”， 事件“抽取的这3人的进球个数在不同区间”， 则，， 所以， 即这3个人的进球个数在不同区间的概率为． 21．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【答案】(1)分布列答案见解析，均值为 (2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析 【分析】（1）由题意可知乙同学答对问题的个数为的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）计算出甲、乙回答问题得分的期望和方差，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）甲同学答对问题的个数为，则， 由二项分布的期望和方差公式得，， 甲回答问题得分为， 所以，甲得分的均值为， 方差为， 由（1）知，， 所以乙同学回答问题得分为， 所以乙得分的均值为， 方差为， 因为，， 所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定. 22．（25-26高二下·重庆·月考）据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加短道速滑世锦赛男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． (1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列和数学期望 【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大 (2) (3)的分布列为： 0 1 2 3 P 【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入决赛的概率，即可求解； （2）由甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率，列出方程，即可求解； （3）根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为， 丙队进入决赛的概率为， 因为，所以， 显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大. （2）因为甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率为， 所以，解得或， 因为，所以. （3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为， 且随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 所以. 23．（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多，答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样求解前3组各组抽取的人数，然后确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望，求解期望时也可用超几何分布的期望公式； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可； （ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为，求出的所有可能取值及其概率，再求出，与方案1比较即可得出答案. 【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 方法一：． 方法二 ：服从参数的超几何分布，故． （2）（ⅰ），， 所以，，，． 所以． （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 24．（25-26高二上·江西九江·期末）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】(1)①0.5；②答案见解析 (2)第1题 【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率，②根据前两题的结果推导最后一题得分的 的可能取值为 、、、，计算可求得分布列； （2）分别计算在第1、2、3题求助时获奖的概率，通过比较概率大小确定最优求助策略. 【详解】（1）设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 25．（24-25高二下·广东深圳·期中）甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. (1)记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； (2)记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题意，可得X所有可能的取值为，分别求出各可能值对应概率值，列出分布列即可‘ （2）设事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，求得，设A为“甲获胜”，求出，利用条件概率公式求得“进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜”的概率为；再设事件为“进行了5局比赛分出胜负”，求得，继而求得，同理求得，再由，列出不等式，求解即得. 【详解】（1）根据题意，则X所有可能的取值为， 于是， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”， 则， 记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 ； 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则， 则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 . 依题意，， 解得，故p的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四大分布及分布列问题（两点、二项、超几何、正态分布） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、两点分布 1 类型二、二项分布 2 类型三、独立事件的乘法公式 5 类型四、超几何分布 7 类型五、正态分布 10 类型六、其他离散型随机变量的分布列 13 压轴专练 16 类型一、两点分布 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 1．（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 2．（24-25高二下·山东·期中）已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 类型二、二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：①由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． ②本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）某篮球运动员投球的命中率是，则他投球4次，恰好投进3个球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 4．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 7．（25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 类型三、独立事件的乘法公式 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．（25-26高二上·四川宜宾·期末）甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是（   ） A．0.12 B．0.56 C．0.44 D．0.88 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案.张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（   ）. A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京·月考）某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 6．（25-26高二下·北京·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 类型四、超几何分布 求超几何分布的分布列的步骤 1．（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二下·安徽·期中）某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答.竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分. (1)已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差； (2)已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列. 6．某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. 7．（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 8．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； (2)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 类型五、正态分布 解决正态分布问题有三个关键点 （1）对称轴 ； （2）标准差 ； （3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由 ， 分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 特殊区间，从而求出所求概率，注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线. 1．（25-26高二下·辽宁·开学考试）在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 2．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 4．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 6．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 8．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 9．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 类型六、其他离散型随机变量的分布列 离散型随机变量分布列的求解步骤 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 2．（25-26高二下·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 4．（2025高二·全国·专题练习）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，三个社团他都能进入的概率为，至少能进入一个社团的概率为，且． (1)求m与n的值； (2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布列． 5．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 6．（22-23高三上·湖南长沙·月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球． (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X，求X的分布列． 7．（25-26高二下·安徽·期中）亳州百草园为了让游客有更好的游玩体验，特推出代步自行车租用服务已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲、乙、丙、丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙、丁不超过分钟还车的概率分别为、、、，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲、乙、丙均租用型车，丁租用型车. (1)求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为元的概率； (2)求甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率； (3)设甲、乙、丙、丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布列. 1．（24-25高二下·吉林长春·月考）若随机变量服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 3．（25-26高二下·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.45 B．0.4 C．0.5 D．0.3 5．（25-26高二下·辽宁·开学考试）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 7．（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 8．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·四川成都·期末）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙命中的概率为，乙命中丙命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则三人中至少有一人命中的概率为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 11．（25-26高二上·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、解答题 12．（24-25高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 13．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 14．（25-26高二下·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 15．（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 17．（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 18．（25-26高三上·全国·月考）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 19．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 20．（23-24高三上·广东揭阳·期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图： (1)估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训． （ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率． 21．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 22．（25-26高二下·重庆·月考）据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加短道速滑世锦赛男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． (1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列和数学期望 23．（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 24．（25-26高二上·江西九江·期末）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 25．（24-25高二下·广东深圳·期中）甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. (1)记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； (2)记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $