第6章 4.2 平面与平面平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦平面与平面平行的核心知识点，系统梳理判定定理（一个平面内两条相交直线平行于另一平面）和性质定理（两平行平面与第三平面相交则交线平行），前承线面平行知识，后为空间平行关系综合应用搭建学习支架。 该资料以中国国家馆实例引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过“想一想”“母题探究”等环节培养逻辑推理能力，题型分角度设计并配跟踪训练，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.2　平面与平面平行 【基础落实】 知识点一 相交　平行　a∥b 想一想 　提示：不一定.α与β有可能平行也有可能相交. 知识点二 两条相交直线 想一想 提示：不一定，当α与β相交时α内也可能存在不共线的三点到β的距离相等，如图，A，B，C到平面β的距离相等，但α与β不平行. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 2.A　因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，且平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，所以由面面平行的性质定理知EF∥E'F'. 3.平行　解析：在△PAB中，因为＝，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 【典例研析】 【例1】　（1）D　（2）D　解析：（1）因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条. （2）根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点C均在过点C且与α，β都平行的平面上. 【例2】　解：（1）证明：因为AC∩BD＝P， 所以直线AC与BD可确定平面PCD， 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD. （2）由（1）知AB∥CD， 得＝，即＝， 所以BD＝. 母题探究 解：由题意可得＝，代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得＝， 解得PB＝16， 故BD＝PB＋PD＝16＋8＝24， 所以BD的长为24. 跟踪训练 　证明：因为AB与CD相交于点O，所以A，B，C，D四点共面. 如图所示，连接AC，BD.因为α∥β，且α，β与平面ACBD的交线分别为AD，BC， 所以AD∥BC. 在平面ACBD中，△AOD∽△BOC， 所以＝. 【例3】　D　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的边AB上任取一点E，过E点作EF∥AD交CD于点F.由线面平行的判定定理知，EF，BC都平行于平面ADD1A1.用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都不正确；③正确，事实上，若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确. 【例4】　证明：（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. （2）∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 跟踪训练 1.D　因为a是平面α外的一条直线，所以a∥α或a与α相交，当a∥α时，β只有一个；当a与α相交时，β不存在.故选D. 2.证明：∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 【例5】　证明：法一　 如图，取PD的中点G，连接GA，GN， 因为G是PD中点，N是PC中点，所以GN∥DC，GN＝DC， 因为M是矩形ABCD边AB的中点，所以AM∥DC，AM＝DC， 所以GN∥AM，GN＝AM，所以四边形AMNG是平行四边形， 所以MN∥AG，且MN是平面PAD外的一条直线，又AG是平面PAD内的一条直线， 所以MN∥平面PAD. 法二　如图，取CD中点H，连接HM，HN，因为H是DC的中点，N是PC的中点，所以HN∥DP， 因为M是AB的中点，H是CD的中点，所以AM＝AB，DH＝DC， 因为AB＝CD，AB∥CD，所以AM＝DH，AM∥DH， 所以四边形AMHD为平行四边形，所以HM∥DA， 因为HN⊄平面PAD，DP⊂平面PAD，HM⊄平面PAD，DA⊂平面PAD， 所以HN∥平面PAD，HM∥平面PAD，因为HN∩HM＝H， 所以平面HNM∥平面PAD， 因为MN⊂平面HNM，所以MN∥平面PAD. 跟踪训练 解：当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 证明如下： 如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE. 因为E，F分别为AB，BB1的中点，所以EF∥AB1. 因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD＝F， 所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD， 所以DE∥平面AB1C1. 随堂检测 1.A　根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行.故选A. 2.D　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.故选D. 3.　解析：因为平面MNE∥平面ACB1，由平面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝AC，即＝. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　平面与平面平行 课标要求 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理（数学抽象）. 2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 【问题】　（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？ （2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面　　　　，那么两条交线　　　　 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒　　　 图形语言 【想一想】 　此性质定理的逆定理是否成立？即若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β成立吗？ 知识点二　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的　　　　　与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形语言 【想一想】 　平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β一定平行吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.（　　） （2）两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.（　　） （3）夹在两个平行平面间的平行线段相等.（　　） （4）若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.（　　） 2.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　） A.平行　　B.相交　　C.异面　D.不确定 3.如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上的点且满足＝＝，则平面DEF与平面ABC的位置关系是　　　　　. 题型一｜面面平行的性质定理的理解及应用 角度1　面面平行性质定理的理解 【例1】　（1）若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　） A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 （2）设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点.当点A，B分别在α，β内运动时，所有的动点C（　　） A.不共面 B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论A，B如何移动都共面 尝试解答 通性通法 1.面面平行性质定理的实质是由面面平行得出线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知此定理可用来证明线线平行. 2.面面平行的其他性质：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面；（2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；（3）两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. 角度2　面面平行性质定理的应用 【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8. （1）证明AB∥CD； （2）求BD的长. 尝试解答 【母题探究】 （变条件）若本例改为“点P在平面α，β之间（如图）”，其他条件不变，试求BD的长. 通性通法 利用平面与平面平行性质定理解题的基本步骤 【跟踪训练】 如图所示，平面α∥平面β，直线AB，CD夹在α，β间，且两直线相交于点O，求证：＝. 题型二｜面面平行的判定定理的理解及应用 角度1　面面平行判定定理的理解 【例3】　下列说法中正确的是（　　） ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行. A.①③　　　　　　 B.②④ C.②③④ D.③④ 尝试解答 通性通法 1.利用面面平行的判定定理时必须具备的两个条件：（1）这两条相交直线都在其中一个平面内；（2）这两条直线都平行于另一个平面. 2.判定面面平行的其他常用结论：（1）利用面面平行的定义：两个平面没有公共点；（2）利用面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α；（3）平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β. 角度2　面面平行判定定理的应用 【例4】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：（1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG. 尝试解答 通性通法 运用判定定理证明面面平行时的注意点 （1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面； （2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. 【跟踪训练】 1.a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（　　） A.只能作一个 B.至少可以作一个 C.不存在 D.至多可以作一个 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 题型三｜空间平行关系的综合问题 【例5】　已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 尝试解答 通性通法 空间中各种平行关系相互转化的示意图 【跟踪训练】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 1.两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是（　　） A.两两相互平行 B.两两相交于同一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 2.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（　　） A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝　　　　. 提示：完成课后作业　第六章　§4　4.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $