专题6.2 直观图（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题6.2 直观图 教学目标 1. 理解斜二测画法的基本原理与核心规则，掌握平面图形、空间几何体直观图的绘制方法 2. 能准确画出常见平面图形（三角形、四边形、圆）与空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥）的直观图 3. 掌握直观图与原图形的面积换算公式，能进行面积计算与还原 4. 能根据直观图还原原图形，解决相关计算与证明问题 5. 提升空间想象能力，建立平面图形与空间几何体的直观转化意识 教学重难点 1. 重点 （1）斜二测画法的四条核心规则 （2）平面图形与空间几何体直观图的规范绘制 （3）直观图与原图形的面积关系及应用 2. 难点： (1) 空间几何体直观图的绘制； (2) 直观图还原原图形； (3) 复杂图形的面积换算 知识点01直观图的基本概念 直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.直观图是观察者站在______观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在______下得到的平面图形． 【答案】 某一点 平行投影 知识点 02 斜二测画法的规则 斜二测画法：绘制平面与空间图形直观图的专用方法，核心是改变坐标轴夹角与长度比例。其规则如下： 建系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴交于点 O；画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴交于点 O′，使∠x′O′y′＝45°（或 135°），x′轴、y′轴确定的平面表示水平平面。 平行性：已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段。 长度：已知图形中平行于 x 轴的线段，长度保持不变；平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。 竖直：空间几何体中，平行于 z 轴的线段，方向与长度都不变。 【口诀】横不变，纵减半，平行性不变，夹角四五（或一三五）度。 知识点 03 平面图形的直观图画法步骤 斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①． 建系：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使 ，它们确定的平面表示 面 ②． 画线：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于 的线段 ③． 长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中 ，平行于轴的线段，长度 . 【答案】(或) 水平 轴或轴 长度不变 变为原来的一半 【即学即练】 1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 【答案】C 【详解】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，所以在直观图中∠A′等于45°或135°. 故选：C 知识点 04 空间几何体的直观图画法 空间几何体直观图的画法步骤： （1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个与x轴、y轴都垂直的______轴，直观图中与之对应的是______轴． （2）画底面：______表示水平平面，______和______表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图． （3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中______和______都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______ 【答案】 平面 平面 平面 平行性 长度 虚线 【即学即练】 2．把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ） A．平行于轴，且大小为 B．平行于轴，且大小为 C．与轴成，且大小为 D．与轴成，且大小为 【答案】A 【详解】用斜二测画法画的直观图中，竖直方向的高和原图是一样的，所以圆柱的高平行于轴，且大小为.故选：A. 知识点 05 直观图与原图形的面积关系 设原图形面积为，直观图面积为，则直观图面积是原图形的倍，即S直观图＝S原图形. 【即学即练】 3．对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测面法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（    ） A．2倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解析】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可． 【详解】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，长度减半，故三角形的高变为原来的sin45°=，故直观图中三角形面积是原三角形面积的．故选：B 题型01 斜二测画法规则辨析 【典例1】在画水平放置的平面图形时，若在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段 A．平行且相等 B．平行不相等 C．相等不平行 D．既不平行也不相等 【答案】A 【详解】斜二测画法的法则是平行于x的轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半．故在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段也平行且相等．故选A． 【变式1】水平放置的的斜二测直观图如图所示,已知,,轴,则中边上的中线的长度为( ) A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】由斜二测画法规则知,即直角三角形,其中,,所以,所以边上的中线的长度为.故选：A. 【变式2】如图为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为（2，2），则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点到轴的距离为( ) A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为垂直于轴，所以在直观图中的长度是1，且与轴的夹角是，所以到轴的距离是. 【变式3】如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是___________三角形． 【答案】直角 【详解】在斜二测画法中，平行于轴的线段在原图中平行于轴，平行于轴的线段在原图中平行于轴， 且原图中轴互相垂直，因为轴，轴，还原后，即，所以是直角三角形.故答案为：直角. 【变式4】（多选题）下列结论中，正确的有（    ） A．角的水平放置的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线的平行，则在直观图对应的两条线段仍然相等 【答案】AD 【详解】角的水平放置的直观图一定是角，A正确；相等的角在直观图中可能相等，也可能不相等，故B错误；相等的线段在直观图中不一定相等，C错误；在直观图中线段的平行性是不变的，故D正确； 故选：AD. 题型02 平面图形的直观图绘制 【典例1】对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定是等腰三角形 【答案】C 【详解】根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可知： 选项A，如图1，因为等腰三角形顶点在上，画直观图时，顶点在轴上，如图2，故，所以选项A错误； 选项B，梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行，两腰不平行，在直观图中仍然不平行，且长度不变，所以梯形的直观图仍是梯形，所以选项B错误； 选项C，因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形，所以选项C正确； 选项D，如下图3，因为等边三角形顶点在上，画直观图时，顶点在轴上，如图4，故，所以选项D错误；故选：C． 【变式1】如图所示为一个平面图形的直观图（A′D′∥B′C′，A′D′=B′C′），则它的实际形状四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】D 【详解】根据直观图可知，与横轴平行，，且，所以四边形ABCD为平行四边形， 又边与纵轴平行，所以四边形ABCD为矩形，故选：D. 【变式2】图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示，此平面图形可能是C.故选：C. 【变式3】利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：故选：C. 【变式4】如图为水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（    ） A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 【答案】C 【详解】因为轴，所以在中，，又因为是的中点，所以D是BC中点， 所以为等腰三角形，有．故选：C． 题型03 空间几何体的直观图绘制 【典例1】 【变式1】已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥的顶点到底面的距离为，另一个圆锥到底面的距离为，则其直观图中两个圆锥的顶点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥顶点到底面的距离即为圆锥的高，故两顶点间的距离为.故选：D. 【变式2】下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D. 【变式3】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 【答案】D 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm，又因为斜二测画直观图的画法：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变.所以该建筑物按的比例画出它的直观图，直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm．故选：D. 题型04 直观图与原图形的面积计算 【典例1】如图是一梯形的直观图，其直观图面积为S，则梯形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设梯形面积为，底为，高为h,则直观图中底，高，故直观图面积,故,故选：B. 【变式1】已知三角形是边长为的正三角形，则它的平面直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由三角形是边长为的正三角形，则，，又根据斜二测画法，则，，则，所以其平面直观图的面积为．故选：C． 【变式2】一三角形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为2的等腰直角三角形，则此三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直观图是一个底角为，腰长为2的等腰直角三角形，，故原图是以，为直角边的直角三角形，则，故选：C 【变式3】如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）   A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，  由是等腰直角三角形，，斜边，得，因此，，所以原平面图形的面积是.故选：A 【变式4】已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】菱形中，，，则菱形的面积为； 所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为.故选D．   【变式5】一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】设轴与交点为D，因为轴，轴，所以，因为轴， 所以四边形为平行四边形，故,又, 轴，得, 故．所以四边形面积为,因为四边形面积是四边形的面积的，所以四边形的面积为． 题型05 直观图的还原与综合应用 【典例1】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【详解】由图形知，在原中，，如图，因为，所以，，，又，.为等边三角形. 故选：A 【变式1】（多选）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【答案】CD 【详解】在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，A，B错误，但线段上点的相对位置不变，直角梯形的直观图可能是等腰梯形，C，D正确．故选：CD. 【变式2】（多选）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．是等腰直角三角形 D．的周长是 【答案】CD 【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为的中点，，因为， 所以，,，则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示，所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.在中，，过作轴垂线，垂足为，，所以，所以的面积是，的面积是， 的面积是的面积的倍，故B错误.故选：CD 【变式3】斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点在直观图中对应的点为，则 的坐标为_________. 【答案】 【详解】在坐标系中，过点和轴平行的直线与过点和轴平行的直线交点即是点， 所以为.故答案为： 【变式4】在直观图中，四边形为菱形且边长为，则在平面直角坐标系中，原四边形为________(填形状)，面积为_____ .   【答案】矩形 8 【解析】根据斜二测画法原则可还原各条线段的位置和长度，从而得到四边形的形状和面积. 【详解】在轴上，轴    在轴上，轴且，，在轴上，轴    在轴上，轴且，，，且，四边形为矩形，面积.故答案为：矩形； 【变式5】如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【详解】由题可作出图形，如下图所示：由，可知，，，所以，故的周长为. 【变式6】如图，矩形 是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中， ，则原四边形的周长为（ ） A．18 B． C． D．30 【答案】D 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，将直观图还原为原图，如图，在直观图中，，则， 所以在原图中，可得， ，所以 ，因为 ，所以原四边形的周长为． 【变式7】如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知直观图为等腰梯形，，，，则； 将直观图复原为原图，如图所示：则，，，作于F，则，所以， 故四边形的周长为. 1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 2．如图所示的是水平放置的的直观图，是中边的中点，且轴，那么，，三条线段对应原图形的线段，，中（   ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是（且），最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】C 【详解】由题意可得原图形，如图所示.由轴，可知在中,，因为是中边的中点，所以是中点，故为等腰三角形，所以，故选：C. 3．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直观图的面积，设原图面积，则由，得.故选：C. 4．用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】设直观图中，由题，直观图是直角梯形，，所以为等腰直角三角形，故梯形的高，直角梯形面积 ，又斜二测画法中，原图形面积与直观图面积满足，已知原图形面积，代入得，化简得，即，斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，轴， 故. 5．利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，原三角形的面积，所以其直观图的面积. 6．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，，则直观图的面积为，故原图形的面积为. 7．如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，直观图边长为，，，还原为平行四边形， ，，所以，原平面图形的周长是cm.    8．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】D 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，，故A、B错误；对于C，四边形的面积为：，即C错误．对于D，在原图形中，过作交于点，则，由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 9．如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以 10．（多选）下列用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的结论中，正确的有（   ）． A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是长方形 C．平行四边形的直观图是平行四边形 D．菱形的直观图是平行四边形 【答案】ACD 【详解】在A选项中，三角形的三个顶点不共线，斜二测画完后仍为三个不共线顶点，因此直观图仍是三角形，A正确，在B选项中，正方形的邻边原本互相垂直，但经过斜二测画法后，其直观图中邻边的夹角一般不再是直角，因此直观图是平行四边形，不是长方形，B错误，在C选项中，斜二测保持平行性，平行四边形对边的平行关系不变，因此直观图仍是平行四边形，C正确，在D选项中，菱形是特殊的平行四边形，平行关系不变，因此直观图仍是平行四边形（仅邻边不再相等，仍保持对边平行），D正确. 11．（多选）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，，则，所以为正三角形.所以. 12．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，则的面积是______.    【答案】 【详解】如图由直观图得到如下平面图形，设的中点为，则轴，且，又，所以. 故答案为： 13．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 【答案】5 【详解】由斜二测画法可知△ABC是直角三角形，且AC＝2A′C′＝4，BC＝B′C′＝3，则最长边（斜边）AB＝5，故答案为：5. 14．如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为______． 【答案】 【详解】如图，由A′O′=2，可得A′ 在x′o′y′系下的横坐标为-2，纵坐标为，根据水平放置的平面图形的直观图的画法知，A′ 在原坐标系下的纵坐标为4，即原三角形AOB的边OB上的高为．故答案为：． 15．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_______(填具体形状)，其面积为______ cm2. 【答案】 矩形 8 【详解】由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2).故答案为：矩形； 16．如图所示的直观图△，其平面图形的面积为________. 【答案】6 【详解】设原图形为，，，，，，，因此，的面积为.故答案为：6 17．水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为______． 【答案】 【详解】,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，,所以，所以，故边上中线长为.故答案为：2.5. 18．如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______. 【答案】/ 【详解】直观图中，梯形的下底长为，作出原图形如下图所示，由图可知，原图形为直角梯形，且该梯形的上底长为，下底长为，高为，因此，原图形的面积为.故答案为：. 19．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为___________，___________． 【答案】 / 12 【详解】由斜二测画法规则，可知，即为直角三角形，其中，，所以， 所以边上的中线长度为，的面积为．故答案为：； 20．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）. ，则这块菜地的面积为__________. 【答案】 【详解】过作于，在直观图中，，，，所以，，故原平面图形的上底为 ，下底，高为，所以这块菜地的面积为，故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 直观图 教学目标 1. 理解斜二测画法的基本原理与核心规则，掌握平面图形、空间几何体直观图的绘制方法 2. 能准确画出常见平面图形（三角形、四边形、圆）与空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥）的直观图 3. 掌握直观图与原图形的面积换算公式，能进行面积计算与还原 4. 能根据直观图还原原图形，解决相关计算与证明问题 5. 提升空间想象能力，建立平面图形与空间几何体的直观转化意识 教学重难点 1. 重点 （1）斜二测画法的四条核心规则 （2）平面图形与空间几何体直观图的规范绘制 （3）直观图与原图形的面积关系及应用 2. 难点： (1) 空间几何体直观图的绘制； (2) 直观图还原原图形； (3) 复杂图形的面积换算 知识点01直观图的基本概念 直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.直观图是观察者站在______观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在______下得到的平面图形． 知识点 02 斜二测画法的规则 斜二测画法：绘制平面与空间图形直观图的专用方法，核心是改变坐标轴夹角与长度比例。其规则如下： 建系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴交于点 O；画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴交于点 O′，使∠x′O′y′＝45°（或 135°），x′轴、y′轴确定的平面表示水平平面。 平行性：已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段。 长度：已知图形中平行于 x 轴的线段，长度保持不变；平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。 竖直：空间几何体中，平行于 z 轴的线段，方向与长度都不变。 【口诀】横不变，纵减半，平行性不变，夹角四五（或一三五）度。 知识点 03 平面图形的直观图画法步骤 斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①． 建系：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使 ，它们确定的平面表示 面 ②． 画线：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于 的线段 ③． 长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中 ，平行于轴的线段，长度 . 【即学即练】 1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 知识点 04 空间几何体的直观图画法 空间几何体直观图的画法步骤： （1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个与x轴、y轴都垂直的______轴，直观图中与之对应的是______轴． （2）画底面：______表示水平平面，______和______表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图． （3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中______和______都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______ 【即学即练】 2．把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ） A．平行于轴，且大小为 B．平行于轴，且大小为 C．与轴成，且大小为 D．与轴成，且大小为 知识点 05 直观图与原图形的面积关系 设原图形面积为，直观图面积为，则直观图面积是原图形的倍，即S直观图＝S原图形. 【即学即练】 3．对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测面法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（    ） A．2倍 B．倍 C．倍 D．倍 题型01 斜二测画法规则辨析 【典例1】在画水平放置的平面图形时，若在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段 A．平行且相等 B．平行不相等 C．相等不平行 D．既不平行也不相等 【变式1】水平放置的的斜二测直观图如图所示,已知,,轴,则中边上的中线的长度为( ) A． B． C．5 D． 【变式2】如图为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为（2，2），则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点到轴的距离为( ) A． B． C．1 D． 【变式3】如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是___________三角形． 【变式4】（多选题）下列结论中，正确的有（    ） A．角的水平放置的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线的平行，则在直观图对应的两条线段仍然相等 题型02 平面图形的直观图绘制 【典例1】对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定是等腰三角形 【变式1】如图所示为一个平面图形的直观图（A′D′∥B′C′，A′D′=B′C′），则它的实际形状四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【变式2】图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式3】利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4】如图为水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（    ） A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 题型03 空间几何体的直观图绘制 【典例1】 【变式1】已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥的顶点到底面的距离为，另一个圆锥到底面的距离为，则其直观图中两个圆锥的顶点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 题型04 直观图与原图形的面积计算 【典例1】如图是一梯形的直观图，其直观图面积为S，则梯形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知三角形是边长为的正三角形，则它的平面直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一三角形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为2的等腰直角三角形，则此三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）   A． B．1 C． D． 【变式4】已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式5】一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 题型05 直观图的还原与综合应用 【典例1】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【变式1】（多选）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【变式2】（多选）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．是等腰直角三角形 D．的周长是 【变式3】斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点在直观图中对应的点为，则 的坐标为_________. 【变式4】在直观图中，四边形为菱形且边长为，则在平面直角坐标系中，原四边形为________(填形状)，面积为_____ .   【变式5】如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【变式6】如图，矩形 是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中， ，则原四边形的周长为（ ） A．18 B． C． D．30 【变式7】如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 2．如图所示的是水平放置的的直观图，是中边的中点，且轴，那么，，三条线段对应原图形的线段，，中（   ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是（且），最短的是 D．最长的是，最短的是 3．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 4．用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 7．如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）   A． B． C． D． 8．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 9．如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的结论中，正确的有（   ）． A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是长方形 C．平行四边形的直观图是平行四边形 D．菱形的直观图是平行四边形 11．（多选）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 12．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，则的面积是______.    13．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 14．如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为______． 15．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_______(填具体形状)，其面积为______ cm2. 16．如图所示的直观图△，其平面图形的面积为________. 17．水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为______． 18．如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______. 19．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为___________，___________． 20．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）. ，则这块菜地的面积为__________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $