湖南衡阳市常宁市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中素质评价数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数，则 A．0 B．1 C．2 D． 2．已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则 A．4 B．5 C．6 D．7 3．“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼．”为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为 A．60 B．90 C．120 D．150 4．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是 A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 6．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为 A． B． C． D． 7．在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则 A． B． C． D． 8．已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是 A． B． C． D． 10．为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则 A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30 B．样本数据的极差一定小于100 C．样本数据的中位数约为53 D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 11．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，则 A． B．的取值范围是 C．周长的最大值为6 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量与垂直，则_________． 13．如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 14．有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设，是两个不共线的向量． （1）若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数的值； （2）若，且与的夹角为，，求的最小值． 16．（15分） 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 17．（15分） 如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，平面与平面的交线为，过，，三点的平面将正方体分成体积为，的两部分，且． （1）求与所成角的大小； （2）求实数的值． 18．（17分） 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分） 在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． （1）求； （2）若是的平分线，，的周长为，求的长度； （3）若，，求实数的取值范围． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．答案D 2．答案A 3．答案C 4．答案D 5．答案B 6．答案C 7．答案B 8．答案A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．答案ABC 10．答案AC 11．答案ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．答案 13．答案 14．答案 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．命题透析 本题考查平面向量共线定理及向量的运算． 解析 （1）由已知可得， （3分） ，不共线，解得 ． （6分） （2）由题意得， （8分） ， 故当时，取得最小值为3， 则的最小值为． （13分） 16．命题透析 本题考查频率分布直方图及样本的方差． 解析 （1）由频率分布直方图，得， 解得． （3分） 各组的组中值依次为45，55，65，75，85，95，对应频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1， 所以平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为74． （7分） （2）由于样本数据在，70）与，80）内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， （10分） 所以总方差． （15分） 17．命题透析 本题考查正方体的结构特征及空间线面位置关系． 解析 （1）如图1，在平面中，连接并延长，与直线交于点，则，（2分） 在平面中，连接并延长，与直线交于点，则， （4分） 连接，，，，则为平面与平面的交线，且． （5分） 在等边中，与所成的角为， 故与所成的角为． （8分） （2）取的中点，连接，，． 因为平面，故平行于平面与平面的交线， 又，分别为，的中点，所以， 平面平面，故平面分正方体为如图2所示的两部分． （11分） 设正方体的棱长为2，则其体积为8， ， 故． （15分） 18．命题透析 本题考查简单几何体的结构特征及空间线面位置关系． 解析 （1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． （3分） 因为，，且， 故， （5分） 又，，， 所以． （6分） （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． （8分） 易知，则， （10分） 所以， 所以，即二面角的余弦值为． （12分） （3）设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． （15分） 设直线与平面所成的角为， 则． （17分） 19．命题透析 本题考查解三角形． 解析 （1）因为， 所以由正弦定理可得， 即， （2分） 又在中，，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以． （4分） （2）因为，的周长为15，所以， （5分） 又， 由余弦定理可得， 即， 解得． （7分） 因为是的平分线，所以． （8分） 因为， 所以， 即， 所以． （10分） （3）因为，所以， 两边平方变形得， 又，，所以， （12分） 由正弦定理得， 所以 ， （14分） 所以， 因为，所以，故， 所以， 所以， 即实数的取值范围为． （17分） 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $