精品解析：陕西咸阳市彩虹学校2025-2026学年度第二学期期中考试高二年级数学试题

咸阳彩虹中学2025-2026学年度第二学期 期中考试高二年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数. 【详解】解：由题设，， ∴当时，. ∴含项的二项式系数. 故选：A. 2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称. 根据正态分布的对称性，且， 设，则，解得. 故选： 3. 已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据离散型随机变量分布列的期望公式计算，再利用期望的线性性质列方程求． 【详解】解：由表可得， 又， 可得， 解得4． 故选A． 4. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理可得. 【详解】由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有1条. 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条. 故选：C. 5. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为（ ） 气温x（） 18 13 10 －1 用电量y（度） 24 34 38 64 A. 68度 B. 66度 C. 28度 D. 12度 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本中心满足回归方程即可解决. 【详解】由表中数据可知，， 所以回归方程过，得，即， 则回归方程为， 当时，， 故选：B. 6. 中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）种 A. 450 B. 72 C. 90 D. 360 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类计数原理结合平均分组以及不平均分组运算求解. 【详解】6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：分人数为的三组，共有种； 第二种：分人数为的三组，共有种； 所以不同的安排方法共有种， 故选：A. 7. 小华的妈妈为小华煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽，小华随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知：，， . 8. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下结论正确的是（ ） A. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点； B. 相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 D. 设服从正态分布，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归方程的性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质判断选项D. 【详解】对于A，由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误； 对于B，相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，故选项B正确； 对于C，因为随机变量服从二项分布，且，，则，解得：，故选项C正确； 对于D，若随机变量服从正态分布，则其图象关于轴对称，若，则，所以，故选项D正确. 故选：. 10. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 11. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图： 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的值为_______ 【答案】255 【解析】 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可. 【详解】令，即 ， 令，则，则 . 13. 一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的可能取值即每个对应的概率，再由均值公式即可求出. 【详解】的可能取值为， ，， ，则. 故. 故答案为：. 14. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．在某次测试中输入了个问题（个问题相互独立），智能客服的回答被采纳次的概率为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式可求得智能客服的回答被采纳的概率，由二项分布概率公式可求得最终结果. 【详解】记事件：智能客服的回答被采纳；事件：输入的问题表达清晰； 由题意知：，，，， ， 输入个问题，智能客服的回答被采纳次的概率. 四、解答题（本本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？ 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系 【解析】 【分析】（1）用古典概型即可求出答案； （2）根据表中的数据求出，利用独立性检验的方法即可进行判断. 【小问1详解】 ， ，． 【小问2详解】 零假设：中学生的专注力与阅读时长没有关系， 由表中数据可得， 根据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为中学生的专注力与阅读时长有关系， 所以，根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）最大值为40，最小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【小问1详解】 因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 17. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【小问1详解】 依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 18. 随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； （3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】（1）更适合 （2），8.1千万件 （3） 【解析】 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【小问1详解】 根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. 【小问2详解】 由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 19. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； （3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【小问1详解】 设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. 【小问2详解】 由贝叶斯公式，得所求概率为. 【小问3详解】 设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳彩虹中学2025-2026学年度第二学期 期中考试高二年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 5. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为（ ） 气温x（） 18 13 10 －1 用电量y（度） 24 34 38 64 A. 68度 B. 66度 C. 28度 D. 12度 6. 中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）种 A. 450 B. 72 C. 90 D. 360 7. 小华的妈妈为小华煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽，小华随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则（ ） A. B. C. D. 8. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下结论正确的是（ ） A. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点； B. 相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 D. 设服从正态分布，若，则 10. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的值为_______ 13. 一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则_______． 14. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．在某次测试中输入了个问题（个问题相互独立），智能客服的回答被采纳次的概率为_______ 四、解答题（本本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？ 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 17. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 18. 随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； （3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 19. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； （3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $