广西贵港市2026届高三下学期自主检测练习数学试题

广西贵港市2026届高三下学期自主检测练习数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.若复数满足（ ） A. B.2 C. D.1 3.展开式中的常数项为（ ） A.-15 B.15 C.-60 D.60 4.直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B.2 C. D.1 5.若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6.已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.从集合任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知，点是直线AB上的任意一点，点在曲线上，点是线段MN的中点，则的最小值为（ ） A. B.-1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A.最小正周期为 B.是对称轴 C.函数是奇函数 D.函数在区间上单调递增 10.正方体的棱长为2，点E，F分别为棱的中点，则有（ ） A.EF与平面平行 B. C.面 D.四边形的面积为 11.椭圆的左右焦点分别为，圆与椭圆相切于两个不同点B，C，则（ ） A.的取值范围为 B. C.若四边形为菱形，则 D.三角形ABC面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一组按照从小到大排列的数据，其平均数为，则__________.. 13.等比数列的前项之积为，若，则__________.. 14.直线与函数的图像交于A，B两点，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为，，当矩形ABDC的面积为时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，角A，B，C的对边分别为，且为钝角. （1）求角的大小； （2）若为正整数，求的面积. 16.（15分）已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 17.（15分）在三棱锥中，等边三角形PAB的边长为，点为BC的中点，设二面角的平面角分别为. （1）证明：； （2）当时，求直线CP与平面PAB夹角的正弦值； （3）求的最小值. 18.（17分）双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线AP与直线的交点为. （1）求双曲线的标准方程； （2）当三角形APF为直角三角形时，求直线AP的斜率； （3）证明：直线PF与三角形QAF的外接圆相切. 19.（17分）向量列满足：对任意的，都有，其中为单位向量，.记向量与的夹角为. （1）当时， ①在图中画出，并直接写出的值； ②求的通项公式. （2）当时，对任意的，将所对应的值依次排列形成数列，记数列的前项和为.证明：. 高三自主检测练习数学参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A B C B D 1.解：易得，选C. 2.解：，选A. 3.解：展开式的通项 ，令，得， 则展开式的常数项为，选D. 4.解：原点到直线的距离，则弦长，选A. 5.解：由三角函数的定义可得，，，选B. 6.解：由正态分布密度曲线的对称性得，，即，根据基本不等式，，当且仅当时等号成立，选C. 7.解：按照每个元素除以3的余数，将集合划分为3个子集：， 则三数之和为3的倍数的取法共有种； 当三个数可构成等差数列时，对等差数列的公差进行分类统计：当时，有16种；时，有14种；时，有12种；；时，有2种；共有种不同的等差数列，由于三数构成等差数列是三数之和为3的倍数的充分不必要条件，所以对应的概率为，选B. 8.解：取AB的中点，由极化恒等式得：. 设，则点的轨迹方程为：，即，此时. 设函数，易得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即， ，选D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD ABD BC 9.解：， 最小正周期A选项错误； 令，得.当时，B选项正确；，显然是奇函数，C选项正确； 令，解得：.当时， 函数在区间上单调递增，D选项正确； 正确选项：BCD. 10.解：易得EF与平行，且EF不在平面内，所以EF与平面平行，A选项正确；联结，因为面， 所以面，即B选项正确； 假设面，则，因为， 则面，产生矛盾，所以假设不成立，C选项错误； 显然四边形为等腰梯形，易得， 等腰梯形的高，其面积D选项正确； 正确选项：ABD. 11.解：问题转化为椭圆上存在一点到点的距离最短，且点不在轴上. 设，则. 由于，当，即时，只有当点与右顶点重合时，达到最小值，不符合题意； 若，当时，达到最小值，符合题意，A选项错误； ，所以B选项正确； 要使得四边形为菱形，只需t，2t，2构成等差数列，即，解得， C选项正确； 点坐标，当时，取到最大值，D选项错误. 正确选项：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.解：由题意得：，即，解得或，经检验，不符合题意，所以． 13.解：由等比中项的性质可得：， 所以. 14.解：，易得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，当时，函数取到最大值，简图如下： 设，则， ， 即，则有，解得，此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分） 解：（1）由正弦定理得：， 2分 即， 3分 即， 4分 因为所以， 5分 解得，又因为为钝角，所以. 6分 （2）由余弦定理得： 7分 ， 8分 由基本不等式得， 10分 因为，即， 11分 又因为为正整数，所以， 12分 此时. 13分 16.（15分） 解： （1）函数的定义域， 1分 当时，， 2分 ，切点坐标， 3分 切线的斜率， 4分 由点斜式得，切线方程为：，即. 6分 （2）， 7分 令，解得， 8分 易得函数在区间（）上单调递减，在区间（）上单调递增， 10分 若，即时，函数在区间上单调递增，此时， 符合题意； 12分 若，即时，函数在区间上单调递减，此时， 不符合题意； 14分 综上所述，的取值范围为. 15分 17.（15分） （1）证明：设AB的中点为，联结OP，OE. 因为三角形PAB为等边三角形，所以， 1分 又因为，所以， 2分 面OPE， 3分 面OPE，所以. 4分 （2）过点作OE的垂线，设垂足为， 由（1）得，面OPE，则，而， 所以面ABC，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 5分 ，即. . 6分 ，设平面PAB法向量， 7分 ，即，得， 8分 设直线CP与平面PAB夹角为，则. 9分 （3）过点作BC的垂线，设垂足为，连接PF， 易得，即. 10分 ， ， 11分 ， 12分 因为，所以， 13分 又因为， 14分 所以，当且仅当时等号成立． 15分 18.（17分） 解：（1）易得， 2分 所以双曲线的标准方程为：. 3分 （2）设，则. 当时，将代入得，， 此时直线AP的斜率为； 5分 当时，， 6分 ， 7分 联立方程：，即，解得， 8分 代入得：，此时直线AP的斜率为， 9分 综上所述，直线AP的斜率为1或. 10分 （3）易得直线AP方程为：，令，得， 11分 设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，则有，即 ， 12分 化简得：， 即：， 14分 ， 15分 ，即， 16分 即直线PF与三角形QAF的外接圆相切. 17分 19.（17分） 解： （1）①当时，，根据向量三角形加法法则，画出， 此时. 2分 当时，，沿着的正方向再构造一个，根据向量三角形减法法则画出， 此时. 4分 ② 6分 易得：，即， ， 7分 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，得； 根据得：. 9分 综上所述，的通项公式为：. 10分 （2）依据相同的推理过程，可得关于的通项表达式为： ， 11分 由正弦定理得：，即对任意的， ，易得，即. 13分 当时，，即，得，解得： ，即， 15分 显然， . 16分 当为偶数时，； 当为奇数时，； 综上所述，对任意. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $