3.4 复数的三角表示 课时作业-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

34复数的三角表示课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第3章3.4复数的三角表示 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.-1-√i的三角形式是() A.(csi B.2o-+i( C.20sin7匹+icos7码 6 6 D.2(cos7匹+isim7 6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得 【详解】1-=2片)-o(+ ,故B正确 经检验，ACD都错误故选：B 2.若z=cos30°+isin30°，则ag2=() A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】B 【分析】根据复数乘方的三角运算得到z2的三角形式，即可确定辐角 【详解】由z2=(cos30°+isin30)2=cos60°+isin60°，所以aIg=2=60°. 故选：B 3.把复数z=1+√3i化三角形式为() -2 cos-+1sin 6 6 6 6 C.2cos+isin D -2 +isin 3 【答案】C 【分析】 根据复数的三角形公式z=r(cos6+isin)求解求解即可. 【详解】设复数的三角形式为z=r(cos6+isin0),则r=V1+√5-2，tan6=V5,可取 0=argz ,从而复数1+√3i的三角形式为2cos 3 故选C 4.如果6∈ 那么复数(1+i)(cos6-isin)的三角形式是() B.√cos(2π-0)+isin(2元-6] c.、 2 +ism[任+0j D. 【答案】A 【分析】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案， 【详解】国为1+i=5（cosisn (cose-isine)=cos(2-e)+isin(2-e) 4 iu0-o0a=5c子+a0im经x--m年小m7 故选：A 5.复数二=e(B∈R),z的共轭复数是三，在复平面内，复数三对应的点为Z。,A(-1,0)与 B(0,1)为定点，则函数f(z)=(z+1)(乞-)取最大值时，在复平面上以2。，A,B三点为顶 点的图形是() A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式，可得f(曰) 可求()的最大值， 进而求得z,Σ，计算可判断图形的形状， 【详解】，=eio=cos0+isin6, .(z+1)(z-i)=(cos0+1+isine)(cos0-isin0-i) cos20-isin 0cos0-icos0+cos0-isin 0-i+isin ecos0+sin20+sin0= (cos0+sin0+1)-i(cos0+sin+1)..f(z)=(z+1)(-i), f()=(cos@+sin0+1)+-(cos0+sin@+1)=2(cos@+sin0+1) 50君丁当mo-1时.阳取得显大恤， 即当日+元-匹+2m,keZ,即0=匹+2，k∈Z时，f回取最大值， 4-2 此时z=5+5i,=55i.又：410，B0,D, 2 2 22 f得9-gj-a f9-0j9-.又asr-1--0--2 ∴2A=ZB,且ZA+ZB≠AB, .该图形为等腰三角形故选：D 6.复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设r=OZ,日是以x 轴的非负半轴为始边，以Oz所在的射线为终边的角，则：=a+bi=r(cos8+isin),把 r(cosO+isin)叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算， [r(cos6+isin6=r(cosn0+isinn0,(n∈N),例如： 15 22 =0s2+isin2=1, 0+(5（co孕n到别=46os花sn时-4，复数：满起：-1+i,则：可能取值为 B.V2cos3+sin3 4 4 π C.2cos 5π 17元 17π -+s1n D.cos 12 -+sin 4 4 12 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式及运算，利用复数相等可得 k∈Z,即可得解 【详解】设：=r(cos0+isin0),则z=1+i5cos年+isim军-r(cos30+isin30), 所以r-5,30-=2+平keZ,即0=2+5kZ. 3121 故k=2时，日=17π ,故：可取5(cos+n 12 故选：D 12 7.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则() A.z2不可能为纯虚数 B.z在复平面内对应的点可能位于第二象限 C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限 D.z2在复平面内对应的点可能位于第四象限 【答案】D 【分析】利用第二象限z的辐角范围确定z的辐角范围，即可判断各选项的正误 【详解】由：为第二象限，其对应辐角范围为(5 所以z2对应辐角为（π，2π）， 故z2在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴 所以A、B、C错误，D正确故选：D 8.若0=- 1+51,则1+0+w2+心=（） 22 A.1 B.√3i c.-1 D.-3i 【答案】A 【分析】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得o=1, 2i,再求出目标式的值 22 【详解】由w=-+ 2π 2π -1=c0s +isin 22 3 3 所以w=cos2r+ism27=1,m02=cos4红+isim4杯=1i, 322 综上，1+0+o心+0=2-+5-】51=1.敝选：A 2222 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列复数的三角形式正确的有（) A.{co+wn B. 2 3 3 D. 6 -isin 6 【答案】BC 【分析】根据复数三角形式直接得到答案， 【详解】复数的三角形式为二=r(cos8+isin),所以只有B、C正确，故选：BC 10.以下不是复数-1-√i的三角形式是() A.-2 cos+isin 3 3 C. 7π 2 sin- D. 2 cos- 7π 6 6 6 6 【答案】AD 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式。 【详解】解：1-质=〔行2o》( 所以B正确，而 故C正确.故选：AD 6 6 11.已知复数a,52满足名=cosa+-isina,3,=cosf+isinB,且|5-==√2，则() A.5=1 B.3+2=V5 C.若a=0,则c0sB=0 D.a-B=版+号ke2 【答案】ACD 【分析】由5-2=√2，平方后可推出cos(-)=0,即可判断D,由此可判断C;根据 复数的乘法以及模的计算公式可判断A:根据复数的加法以及模的计算公式可判断B: 【详解】由题意知复数名，5，满足=cos&+-isina,22=cosf+isinp,且名-，=V2, 则=1-52=(cosa-cosβ)+i(sina-sin),故(cosa-cosB)2+(sina-sinf)2=2, 即2-2(cosacosB+sinasinB)=2,得cos(a-B)=0, 故a-B=M+号keZ),D正确： 2=(cosa+isina).(cosB+isinB)=cosa cos B-sinasin B+i(cosasin B+sina cos B) =cos(a+B)+isin(a+B), 得5=cos(a+)+sin(a+月=1，A正确： 由于与+52=(cosa+cosp)+i(sina+sinB), =(cosa+cosB)+(sina+sinB)=2(cos ccosB+sinasinp) =√2+2cos(a-月=V2,B错误： 由以上D的分析可知，若a=0,则cos(-B)=0,故c0sB=0,C正确： 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.ag(} 2 -1)= 【答案】4 【分析】将复数转化为三角形式，结合辐角的范围，即可得结果 【详解】由a6c02m.面3i-os十ism,所以g(3》= 4π 22 3 3 故答案为：4π 3 13.在复平面内，复数z=a+bi(a,beR)对应向量OZ(O为坐标原点)，设OZ=r,以x轴 为始边，OZ为终边，旋转角度为O,则z=r(cos0+isin0).法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗 定理：对于复数3=方(cos6+isin8),z2=2(cos62+isin62),有 二，=r,[cos(g+6,)+isin(6+6,)].由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式 r(cos6+-isin)=r(cosm0+-isinne0),已知z=4+V3i),则 【答案】16 【分析】利用棣莫弗定理可求出复数z,继而可得：，即可求得答案 【详解】由题意得z=1+V3i) =16os4写}im4引=8-8，-8+8，月-+8-16 故答案为：16 14.若i是虚数单位，复数z满足引-=2，则z+4-31的取值范围是 【答案】[3，可 【分析】根据模长，设出：=2cos0+i.2sin0,利用模长公式及三角恒等变换得到 +4-3i1=√29+20cos(0+p),由cos(8+p)∈[-1,1]求出z+4-3i的取值范围 【详解】因为z=2,所以设==2cos0+i.2sin0, 故非+4-3i=2cos6+4+(2sim6-3√cos6+4)+sin6-3 =V29+16cos0-12sin0-=√29+20cos(0+9,其中tanp=3 因为cos(8+p)∈[-1,1]，所以+4-3i=V29+20cos(0+p)∈[3,7]故答案为：[3，刀. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)把下列复数表示成代数形式： (1)4 cos+isin π 11 11 (2)6cosπ+isinπ 3 3 6 6 3 3 3 3 4 ④3cos+isin 【答案】(1)2+2√3i (2)3√3-3i (3)-1+i (4)-31 【分析】求出各题中的三角函数值即可求解 【e1写+m引-4仔9-22 (2) gor4a-i9+号1 3 3 (4)3cos。π+isinπ=-3i 2 2 16.(15分)将下列复数用三角形式表示： 时 (2)-1-V3i. 【路案1ωo要m到 2 4 【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解。 【详解】(1) 2 设8为复数的辐角主值，日为第四象限的角，故0=7π 7π cos 4 2 4 2 2 4 4 1-}-m】 17.(15分)在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为Oz(O为坐标原点)，设1OZ=r, 以射线Ox为始边，Oz为终边逆时针旋转所得的角为B,则z=r(cos6+isin),此为复数的 三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：=(cos6+isin8), 2=(cos82+isin6),则-2=[cos(8+6)+isin(8+8)].由棣莫弗定理导出了复数乘方 公式：z”=[r(cos0+isin)=r"(cosn0+isinne8)(neNj. (1)将复数==-1+√3i表示为三角形式： (2)根据复数乘方公式，化简：(-1+√5" 【答案】)z=2cos2+isin2马 (2)(1+V31)"=-1024-10245i 3 【分析】(1)求出r,B的值即可得答案： （2)由题意可得（1+5列=[2cos2+isin2受F-2"(cos2+1m2),再利用诱导公 3 3 3 式求解即可 【详解】(1)由题意得，当：=-1+5i时，r=20=2 3, 放：=20aws子m分： 2)(1+5r-2cos经sm3"-2cs2+im2), 3 3 -2ie+m+t骨m3-2r(片A-14-1o46 3 故(-1+V51"=-1024-10245i l8.(17分)已知复数z=a+bi(a,beR)可以表示为三角形式：二=r(cos8+isin8),其中 x=√a+b,日是以x轴非负半轴为始边，向量O2所在射线为终边的角. 己知=r(cose+isin)与2=，(cos6,+isin,)的乘积运算公式如下： 32=5「cos(8+62)+isin(8+62)门. (1)若0∈[0,2m),试将复数z=1-√5i写成三角形式： (2)当=1时，求2-z+1的最大值和最小值： (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：sin30=3sin0-4sin0, c0s30=4c0s30-3c0s0. 【答案】)2cos亚+i9in 5π (2)最大值为3，最小值为0 (3)答案见解析 3 【分析】(1)提取复数z=1-√3i的模长2，将其代数形式转化为标准三角形式： (2)利用=1，设：=cos0+isin0,代入z2-z+1并通过模长公式、三角恒等变换化简， 结合余弦函数值域求最值； (3)设单位复数二=cosO+isn日，分别用乘积运算公式和多项式乘法计算=3，对比实部、 虚部推导三倍角公式， 【i详解】(1)设：=1-Vi=2}5） 5 22 =2c0s 3 (2)因为日=1，故设：=cos0+isi0 -z+1=cos 20+isin 20-cos0-isin0+1 (cos20-cos0+1)+(sin 20-sine)? =3+2cos 20-2cos 0-2cos 0cos 20-2sin @sin 20 =3+2cos20-4cos0=v4cos20-4cos0+1=1-2cos0, 故0≤1-2cos≤3，故z2-z+1的最大值为3，最小值为0. (3)设z=cos0+isin0, =(cos0+isine)3=cos(0+0+0)+isin(0+0+0)=cos30+isin30, 但(cos日+isin)3=-(cos20-sin20+2isin6cos日)os6+isin日) -(cos0-sin20)cos0-2sin20cos+i cos20-sin2n+2sinecoscos -(2cos0-1)cos0-2(1-cos20)cos+i (1-2sin20)sin0+2sin(1-sin0) =4cos30-3cos0+i(3sin0-4sin30),sin30=3sin0-4sin0,cos30=4cos 0-3cos0. 19.(17分)在复数域中，对于正整数n满足==1的所有复数a,=cos2+ism2(keZ） n 71 称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m,都有z"≠1，则称这种复数为次的本原 单位根，例如当n=4时，存在四个4次单位根±1，i,因为1=1，(-1)2=1，因此只有两个4 次本原单位根士i. (1)直接写出复数z的3次单位根，并指出哪些是复数z的3次本原单位根（无需证明）. (2)①若，是复数z的8次本原单位根，证明：1+，++…+=0. ②若是复数z的n次本原单位根，证明：1+，++++o1=0. 【答案】山)复数：的3次单位根为1-)+5}51，复数：的3次本原单位根为 一1， 2222 1V3;1V3 22 -1,-22 (2)①证明见解析，②证明见解析 【分析】(1)根据次的本原单位根的定义，可直接得到答案： (2)①由题意可得o≠1(<8)，=1，从而推出w=-1,继而分组求和，即可证明结论： ②由题意得≠1<)，o=1,则可推出0，S=S,继而得(-1)S=0,结合4-1≠0， 即可证明结论 【详解】（1)由题意可得：=1的解为：=cos2证+i6in2灰（化=0,12）， 3 3 州复数：的3次单位根为机盟行马。 22 由于因为=1，片5-}51的一次方以及2次方均不等于1， 22”22 故复数：的3次本原弹位根为--片5 +21,-2-2 (2)证明：①因为@，是复数z的8次本原单位根，所以⊙≠1(<8)，w=1. 因为=()=1，所以o=-1, 所以0.+w=0,(1+o)=0,o+w=(1+w)=0,d+w2=(1+)=0, 则1+0+⊙2++0=0」 ②因为@是复数z的n次本原单位根，所以)≠1(<m),o=1, 设S=1+0+⊙2+d+…+w，则@，S=0+2+@+…+w+@ 因为w=1,所以S=+0,+w++…+，所以wS=S,所以(-1)S=0 因为@≠1(0<)，所以@≠1，即-1≠0， 则=0，即1+0+⊙2++…+1=0， 3.4复数的三角表示 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第3章3.4复数的三角表示 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误.故选：B 2．若，则（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角. 【详解】由，所以60°. 故选：B 3．把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据复数的三角形公式求解求解即可. 【详解】设复数的三角形式为,则,,可取,从而复数的三角形式为.故选:C. 4．如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 5．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【详解】，．， ，当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，．又，， ． ．又， ，且， 该图形为等腰三角形．故选：D． 6．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取，故选：D 7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A．不可能为纯虚数 B．在复平面内对应的点可能位于第二象限 C．在复平面内对应的点一定位于第三象限 D．在复平面内对应的点可能位于第四象限 【答案】D 【分析】利用第二象限的辐角范围确定的辐角范围，即可判断各选项的正误. 【详解】由为第二象限，其对应辐角范围为，所以对应辐角为， 故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴. 所以A、B、C错误，D正确.故选：D 8．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得，，再求出目标式的值. 【详解】由， 所以，， 综上，.故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据复数三角形式直接得到答案. 【详解】复数的三角形式为，所以只有B、C正确，故选：BC. 10．以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.故选：AD 11．已知复数，满足，，且，则（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】由，平方后可推出，即可判断D，由此可判断C；根据复数的乘法以及模的计算公式可判断A；根据复数的加法以及模的计算公式可判断B； 【详解】由题意知复数，满足，，且， 则，故， 即，得， 故，D正确； ， 得，A正确； 由于， 故 ，B错误； 由以上D的分析可知，若，则，故，C正确； 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．arg＝________． 【答案】 【分析】将复数转化为三角形式，结合辐角的范围，即可得结果. 【详解】由，而，所以arg＝. 故答案为： 13．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以轴为始边，为终边，旋转角度为，则.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：对于复数，有.由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式，已知，则______. 【答案】16 【分析】利用棣莫弗定理可求出复数z，继而可得，即可求得答案. 【详解】由题意得 ，故，， 故答案为：16 14．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围. 【详解】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】求出各题中的三角函数值即可求解. 【详解】（1） （2） （3） （4）． 16．（15分）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解. 【详解】（1），，， 设为复数的辐角主值，为第四象限的角，故. 因为，，所以. （2）. 17．（15分）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2）， 故. 18．（17分）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为0 (3)答案见解析 【分析】（1）提取复数的模长，将其代数形式转化为标准三角形式； （2）利用，设，代入并通过模长公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数值域求最值； （3）设单位复数，分别用乘积运算公式和多项式乘法计算，对比实部、虚部推导三倍角公式. 【详解】（1）设. （2）因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. （3）设， 则， 但 ，故，. 19．（17分）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出哪些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 【答案】(1)复数的3次单位根为，复数的3次本原单位根为 (2)①证明见解析，②证明见解析 【分析】（1）根据次的本原单位根的定义，可直接得到答案； （2）①由题意可得，从而推出，继而分组求和，即可证明结论；②由题意得，则可推出，继而得，结合，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得的解为， 则复数的3次单位根为， 由于因为，的一次方以及2次方均不等于1， 故复数的3次本原单位根为. （2）证明：①因为是复数的8次本原单位根，所以. 因为，所以， 所以， 则. ②因为是复数的次本原单位根，所以， 设，则. 因为，所以，所以，所以. 因为，所以，即， 则，即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4复数的三角表示 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第3章3.4复数的三角表示 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的三角形式是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 5．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 6．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A．不可能为纯虚数 B．在复平面内对应的点可能位于第二象限 C．在复平面内对应的点一定位于第三象限 D．在复平面内对应的点可能位于第四象限 8．若，则（    ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 10．以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 11．已知复数，满足，，且，则（    ） A． B． C．若，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．arg＝________． 13．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以轴为始边，为终边，旋转角度为，则.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：对于复数，有.由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式，已知，则______. 14．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（15分）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 17．（15分）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 18．（17分）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 19．（17分）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出哪些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $3.4复数的三角表示课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第3章3.4复数的三角表示 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.-1-√i的三角形式是() A.-2co写+im9 B.co)is C.2(sim7匹+icos7 D.2(cos7T+isim7 6 6 2.若z=cos30°+isin30°，则aIrg-2=() A.309 B.60° C.90° D.120° 3.把复数z=1+√3i化三角形式为() .-2 cos+isin B 6 6 6 6 D.-2cos+iin 3 3 4,如哭6E(爱那么复数+ics0-1sme)的三角形式是（) Am肾im B.√2[cos(2π-0)+isin(2t-8] c.ew骨+o}n.pjm(平p 5.复数二=e(0∈R),z的共轭复数是三，在复平面内，复数三对应的点为2。，A(-1,0)与 B(0,1)为定点，则函数(z)=(z+1)(z-i取最大值时，在复平面上以Z。,A,B三点为顶 点的图形是() A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 6.复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设r=OZ,0是以x 轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则二=a+bi=r(cosB+isine),把 r(cos8+isin)叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算， [r(cos6+isin0=r'(cos0+isinne),(neN),例如： 2L+ 2元 =co2t+isin2t-1, a+0-5cosim到 =46 os isinn)-4,复数z满足==1+i,则z可能取值为 () π 4 n17π 4 D.c0s12 12 7.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则() A.z2不可能为纯虚数 B.z2在复平面内对应的点可能位于第二象限 C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限 D.z2在复平面内对应的点可能位于第四象限 8.若0=-1+5i,则1+0+0+0=(） 22 A.1 B.3i C.-1 D.-3i 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列复数的三角形式正确的有() A. 亚+isin 6 B.2cos+is 3 $$C . \frac { 3 } { 2 } \left[ \cos \left( - \frac { \pi } { 7 } \right) + i \sin \left( - \frac { \pi } { 7 } \right] \right]$$ $$D . 3 \left[ \cos \left( - \frac { \pi } { 6 } \right) - i \sin \frac { \pi } { 6 } \right]$$ 10.以下不是复数 $$- 1 - \sqrt { 3 i }$$ 的三角形式是() $$A . - 2 \left( \cos \frac { \pi } { 3 } + i \sin \frac { \pi } { 3 } \right)$$ $$B . 2 \left[ \cos \left( - \frac { 2 \pi } { 3 } \right) + i \sin \left( - \frac { 2 \pi } { 3 } \right) \right]$$ $$C . 2 \left( \sin \frac { 7 \pi } { 6 } + i \cos \frac { 7 \pi } { 6 } \right)$$ $$D . 2 \left( \cos \frac { 7 \pi } { 6 } + i \sin \frac { 7 \pi } { 6 } \right)$$ 11.已知复数 $$z _ { 1 } ， z _ { 2 }$$ 满足 $$z _ { 1 } = \cos \alpha + i \sin \alpha ， z _ { 2 } = \cos \beta + i \sin \beta ，$$ ，且 $$| z _ { 1 } - z _ { 2 } | = \sqrt 2 ，$$ ，则() $$| = _ { 1 } \cdot { z _ { 2 } } | = 1$$ $$B . | z _ { 1 } + z _ { 2 } | = \sqrt 3$$ C.若 α=0， ，则 cosβ=0 $$D . \alpha - \beta = k \pi + \frac { \pi } { 2 } \left( k \in Z \right)$$ 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. $$1 2 . a g g \left( - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt 3 } { 2 } i \right) =$$ . 13.在复平面内，复数 z=a+bi(a，b∈R) 对应向量 $$\overrightarrow { O Z }$$ ( (O 为坐标原点)，设 $$| \overrightarrow { O Z } | = r ，$$ 以 x 轴 为始边，OZ为终边，旋转角度为，则 z=r(cosθ+isinθ). .法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗 定理：对于复数 $$z _ { 1 } = r _ { 1 } \left( \cos \theta _ { 1 } + i \sin \theta _ { 1 } \right) ， z _ { 2 } = r _ { 2 } \left( \cos \theta _ { 2 } + i \sin \theta _ { 2 } \right) ，$$ ，有 $$z _ { 1 } z _ { 2 } = r _ { 1 } r _ { 2 } \left[ \cos \left( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } \right) + i \sin \left( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } \right) \right]$$ .由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式 $$\left[ r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right] ^ { 2 } = r ^ { n } \left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right) ，$$ ，已知 $$z = \left( 1 + \sqrt 3 i \right) ^ { 4 } ，$$ ，则= 14.若i是虚数单位，复数z满足 =|=2， 则 |z+4-3i| 的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)把下列复数表示成代数形式： $$\left( 1 \right) 4 \left( \cos \frac { \pi } { 3 } + i \sin \frac { \pi } { 3 } \right) ；$$ $$\left( 2 \right) 6 \left( \cos \frac { 1 1 } { 6 } \pi + i \sin \frac { 1 1 } { 6 } \pi \right) ；$$ $$\left( 3 \right) \sqrt 2 \left( \cos \frac { 3 } { 4 } \pi + i \sin \frac { 3 } { 4 } \pi \right) ；$$ $$\left( 4 \right) 3 \left( \cos \frac { 3 } { 2 } \pi + i \sin \frac { 3 } { 2 } \pi \right) ，$$ 16.(15分)将下列复数用三角形式表示： (2)-1-√3i. 17.(15分)在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为Oz(O为坐标原点)，设OZ=r, 以射线Ox为始边，Oz为终边逆时针旋转所得的角为日，则z=r(cos8+isn),此为复数的 三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：二=(cos8+isin8), 2=(cose,+isin92),则2=[cos(Q+e,)+isin(e+O,)】.由棣莫弗定理导出了复数乘方 公式：z”=[r(cosO+isin]=r"(cosn0+isinne)neNj. (1)将复数==-1+√i表示为三角形式： (2)根据复数乘方公式，化简：(-1+V31" 18.(17分)已知复数z=a+bi(a,b∈R)可以表示为三角形式：=r(cos日+isin),其中 r=√a+b，日是以x轴非负半轴为始边，向量O2所在射线为终边的角. 已知=r(cose+isin)与2=，(cos6,+isin6,)的乘积运算公式如下： z2=r2cos(8+0)+isin(8+0,)] (1)若8∈[0,2m),试将复数z=1-√5i写成三角形式： (2)当=1时，求z-z+1的最大值和最小值： (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：sin38=3sin0-4sim0, cos30=4cos30-3cos0. 19.(17分)在复数域中，对于正整数n满足=”=1的所有复数0=cos n2k杯(keZ） n 称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m,都有z”≠1，则称这种复数为n次的本原 单位根，例如当=4时，存在四个4次单位根±1，i,因为1=1，(-1)2=1，因此只有两个4 次本原单位根+i. (1)直接写出复数z的3次单位根，并指出哪些是复数z的3次本原单位根（无需证明）. (2①若@是复数z的8次本原单位根，证明：1+@，+d+…+@=0. ②若2是复数z的n次本原单位根，证明：1+@，+@+w+…+w1=0.