3.4 复数的三角表示 练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第三章复 数 考查范围 一、单选题：本题共8小题，每小题6分， 共48分. 1.若复数z的模为2，辐角主值 2匹，则= 31 i () A.1+3i B.1-/3i C.v3-i D.v3+i 2.设函数z=i2+√5i,那么argz是() A5元 6 B c 4 3 D.-3 3.在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 () A.2 cos-isin 4 4 C.2 sinicos 4 D.-2 sin -icos 4 94 4.复数cosπ-isin的辐角主值是() 4 π B. 4 4 C.A 5π D. π 4 时间：45min 满分：100分 :3.4复数的三角表示 5.复数sin40°-icos40°的辐角为() A.40° B.140° C.220° D.310° 6.复数z=-4i化成三角形式，正确的是() A4cos3+isin3 B.-4cos- 3元 2 2 C.4 cos 3π 2 D.-4cos3-isin3 3 7.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函 数和三角函数的关系，并写下公式 ei=cos0+isin0,这个公式在复变函数中有 非常重要的地位，即著名的欧拉公式，被誉 为数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项 不正确的是() A.e2=i B.e4=1 c- nπe4+e4 D.cos-= 4 2 8.设名1=1-2i,22=1+i,23=-1+3i，则 arg z +arg z,+arg z,=( B.3 / C 2 二、多选题：本题共2小题，每小题6分， 共12分 9.已知i为虚数单位，若z1=r（cos0,+isin0) Z2 =r(cos0,+isin0,) z=r(cose,+isine) 则 Z☑，…Z.=5[cos0+8+…+0,)+isn(8+,+…+8]特别 地，如果z,=z2=…=zn=r(cos0+isin0),那 么[r(cos6+isin0)]”=r(cosne+isinn0),这 就是法国数学家棣莫佛(1667一1754年)创 立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列 命题错误的是() A若z=cos+isin,则2：-1+5， 6 22 B.若z=cos2+isim刀，则z=-1+i C.若 (7+isin 1=2c0s 7π 012 12 11+isi 22=3c0s .11 12 12 则z22=6+61 D.若 z1=3 cos 23w-isin 23π 12 12 =4cos元+isin ,则名22=6V3-61 4 4 10.以下命题中不正确的是() A.复数z的辐角主值是0，则z2的辐角主值 是20 B.复数z的辐角主值是0，则z的辐角主值 是元-0 C.复数乙1，z2的辐角主值分别是0,02，则 z1·z2的辐角主值是0+0， D.复数z1,z2的辐角主值分别是0,02，且 0,>0,则互的辐角主值是0，-0， Z, 三、填空题：本题共4小题，每小题6分， 共24分. 11.复数cos +isim5的代数形式是 3 12.复数的三角形式co s2红+isin2红的辐角主 5 5 值为 13.写出复数z=√3+i的三角形式是 (辐角0∈[0,2π) 14.计 算 (用代数形式表示) 15.已知0是3+4i的一个辐角，求c0s0, sin0,tan0的值 四、解答题：本题共1小题，共16分. 参考答案 1.答案：D 解析：由复数2的模为2，辐角主值为2”，知 3 2cosisin 2 2 3i-1=5+i 'ii 故选：D. 2.答案：C 解=--2x-兮9)=20o41m25,g 2π 3 3 故选：C 3.答案：B 解析：复数的三角形式为z=r(cos0+isin0),r≥0，对比选项知B满足. 故选：B. 4.答案：D 解析：复数cos刀-isin刀 ,π√2√2 4 422 7元 =COS- +isi 4 4 所以复数cos”-isin工的辐角主值是 4 4 故选：D 5.答案：D 解析：因为sin40°-icos40°=cos310口isin310C,故辅角为310°， 故选：D 6.答案：A 解析：设复数z的模为n则r=V02+(仁4=4，arg2=3 所以复数：-i的三角形式为：=4cs子+1m贺） 故选：A. 7.答案：C 解析：因为e0=cos0+isin0所以e2=cos+isin元=i,故A正确 2 2 j0 =-1,故C错误 cos+isn+eos-+isn(到 4 4 =cOs刀，故D正确 4 故选：C 8.答案：C 解析：z1z223=(1-2i)1+i(-1+31)=(3-i(-1+31)=10i, C.argz+arg22+arg=+2kn,keZ .argz+argz2+argz3∈ 5π .arg z arg z,arg Z3 2 9.答案：BCD 解析：A若2=cos严+isin,则：=cos4红+isn手：-+5i,所以该选项正确： 6 6 6 6 22 B.若z=cos刀+isim刀，则2=cos元+isin元=-1，所以该选项错误； °12 D.1=3 23+isi 23π 12 12 4 n,则 13 13 Z22=12c0 π+isin 二π=6√3+6i.所以该选项错误 6 6 故选：BCD 10.答案：ABC 解析：若0∈[π，2π)，则z2的辐角主值为20-2元π，A不正确；z的辐角主值为2π-0，B不正 确；若日+02≥2π，则z,·z,的辐角主值为0+0，-2π，C不正确，D正确. 11.答案： 1 22 解析：：cos5π+isin cos()+isin(, -1, 3 3 322 故答案为： 15 22 12.答案： 解析：由辐角主值的概念知，cos 2”的辐角主值为2” 故答案为： 2π 13.答案：z=2 +isin 6 6 解析：z=5+i=2 故答案为：z=2cos 6 6 14.答案：-2i 解 析 3 31 6 =m引m引子 技综案为：司 15答案：m9-子m0-手m9 3 解析：3+4i=5,由辐角的定义， 5'ian0=4 C.cos0-,simo=4 3