3.4复数的三角表示（4大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

3.4复数的三角表示 题型一 复数的三角形式 1.复数化成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.复数的三角形式是（     ） A． B． C． D． 3.复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 题型二 三角表示下复数的乘方与开方 1.计算（    ） A． B． C． D． 2.任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 3.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型三 复数乘、除运算的三角表示 1.已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 2.设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（    ） A．   B．   C．   D．   3.（    ） A． B． C． D． 题型四 复数乘、除运算的三角表示 1.已知复数在复平面内对应的点为，O为坐标原点．若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 2.如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 3.计算(cos＋isin)÷＝ ． 1.复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 2.下列结论中正确的是（    ）． A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 3.若，则复数（    ） A． B． C． D． 4.的三角形式是（    ） A． B． C． D． 5.复数与下列复数相等的是（    ） A． B． C． D． 6.把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 7.已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 8.（多选题）下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 9.（多选题）以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 10.将复数化为三角形式： ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4复数的三角表示 题型一 复数的三角形式 1.复数化成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角形式 【分析】求出复数的模与辐角主值，从而即可求解. 【详解】解：设复数的模为，则，， 所以复数的三角形式为． 故选：A. 2.复数的三角形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数的三角形式结合诱导公式即可. 【详解】, 故选：D. 3.复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的三角表示 【分析】利用复数的三角形式即可得解. 【详解】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 题型二 三角表示下复数的乘方与开方 1.计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据复数三角形式的乘方运算可解. 【详解】， 故选:B 2.任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示、共轭复数的概念及计算 【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B 3.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的乘方、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得， 所以. 故选：C. 题型三 复数乘、除运算的三角表示 1.已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【详解】 逆时针旋转后得，所以=. 故选：A 2.设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数三角形式的运算化简，从而得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 易知的图像是的图像保留轴上方的图像，同时将轴下方的图像往上翻折得到， 显然选项A中的图像满足要求. 故选：A. 3.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的乘方 【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案. 【详解】 ， 故选：A. 题型四 复数乘、除运算的三角表示 1.已知复数在复平面内对应的点为，O为坐标原点．若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、复数代数形式的乘法运算、复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数乘法的几何意义可求的面积. 【详解】根据题意，有，故， 故可看出由旋转并伸长为倍后所得，且旋转角的正弦值的绝对值为， 故 故选：A 2.如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 3.计算(cos＋isin)÷＝ ． 【答案】 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数除法的几何意义即可得结果. 【详解】由复数除法的几何意义知：(cos＋isin)÷＝. 故答案为： 1.复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式. 【详解】由，则. 故选：A 2.下列结论中正确的是（    ）． A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 【答案】B 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误. 【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误； B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确； C：其中，故实数0能写成三角形式，错误； D：复数0的辐角主值不唯一，错误. 故选：B 3.若，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示 【分析】 根据题意得到，计算得到答案. 【详解】 ， 故选：A 4.的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的三角表示 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 5.复数与下列复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的三角表示、复数的除法运算 【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可. 【详解】由题设，，故A、C、D错误； 而，故B正确. 故选：B 6.把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的三角形式 【分析】 根据复数的三角形公式求解求解即可. 【详解】 设复数的三角形式为,则,,可取, 从而复数的三角形式为. 故选:C. 7.已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果. 【详解】由已知，复数， 故选：A． 8.（多选题）下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】复数的三角形式 【分析】 根据复数的三角形式分别判断各个选项即可. 【详解】 复数的三角形式为，所以只有B、C正确，A、D选项错误. 故选:BC. 9.（多选题）以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】复数的三角表示 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：，所以B正确，而，故C正确. 故选：AD 10.将复数化为三角形式： ． 【答案】 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可. 【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值， 又 所以. 故答案为：. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$