6.3.1 二项式定理 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1二项式定理 学习目标 1.解决展开的问题，体会二项式定理的必要性； 2.掌握二项式定理，能写出二项展开式，能说出二项展开式的通项和二项式系数。 情境引入 古代水利工程中的“开方难题” 古代水利工程中的“开方难题” 在我国古代治理水患、开凿河道、修筑堤坝的水利工程中，工匠们经常需要计算土石方体积、堤坝坡度、河道截面等数据。 当工程规模较大、精度要求较高时，仅靠整数运算远远不够，常常会遇到求立方根、高次开方的问题。比如计算堤坝的合理高度、河道的最佳截面尺寸、土石方的精准容积时，会出现形如或的计算。 直接开方在古代计算工具简陋的条件下极为困难，误差也会直接影响工程安全与用料成本。为了快速、近似地算出高次根式的值，古代算学家们逐渐发现：可以把一个难以开方的数，拆成两个数的和或差，再用展开的方式逐项近似计算。 这种把展开成多项式的方法，正是二项式定理的雏形。它不仅解决了古代水利、建筑、天文测算中的高次开方难题，也成为后世代数与近似计算的核心工具。 今天我们就从这一工程实际需求出发，正式学习——二项式定理。 3 新知探究 探究：我们知道： （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 新知探究 任务：阅读课本P29 回答以下问题： 1的展开式中的每一项的次数是多少？ 2.没有合并同类项之前共有多少项？ 3.从组合的角度考虑，“”共有几项？ 仿照上述过程，你能利用计数原理，写出的展开式吗？ , 请从计数原理的角度说明上述公式的正确性。 新知探究 , 由于 是个 相乘，每个在相乘时有两种选择，选或,而且每个中的或都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项．因此，由分 步乘法计数原理可知，在合并同类项之前， 的展开式共有项，其中每一项都是的形式． 新知探究 , 对于每个，对应的项是由个 中选，另外个中选得到的．由于选定后， 的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从个 中取个的组合数．这样的展开式中， 共有个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式. 新知探究 概念生成 ,叫做二项式定理， 右边的多项式叫做的二项展开式， 其中各项的系数叫做二项式系数． 式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： 概念生成 , 1.在该二项式定理中，共有几个通项？ 2.各项中的次数和是多少？ 3.二项展开式中按照哪一个字母的降幂排列？ 【例1】　（链接教材P30例1）（1）求（3 ＋ ）4的展开式； 解： 法一　（3 ＋ ）4＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋ （3 ）2（ ）2＋ （3 ）·（ ）3＋ （ ）4＝81x2＋108x＋54 ＋ ＋ . 法二　（3 ＋ ）4＝（ ）4＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋ （3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4） ＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2. 典例应用 求二项展开式 （2）化简： （x＋1）n－ （x＋1 ＋ （x＋1）n－2－…＋ （－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n . 解： 原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋ （x＋1）n －2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋ （－1）n＝[（x＋ 1）＋（－1）]n＝xn. 典例应用 【规律方法】 运用二项式定理解题的策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开 时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形 如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化 简再用二项式定理展开； （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要 熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 　　提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a－ b）n的形式. 训练1　（1）已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋ ＝1 024， 则n＝ ⁠； 解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11＋… ＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即 ＝210，解 得n＝5. 5 典例应用 （2）化简（x＋ ）4－（x－ ）4＝ 　8x2＋ 　. 解析： 原式＝ x4＋ x3· ＋ x2·（ ）2＋ x（ ）3＋ （ ）4 －［ x4－ x3· ＋ x2·（ ）2－ x·（ ）3＋ （ ）4］＝2［ x3· ＋ x·（ ）3］＝8x2＋ . 8x2＋ 典例应用 【例2】　在二项式（x－ ）12的展开式中，求： （1）第4项； 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1） r . （1）令r＝3，则T4＝（－1）3 ＝－220x8. （2）常数项； 解： 令12－ r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9 ＝－220. 典例应用 求二项展开式中的特定项 （3）有理项. 解： 若求展开式中的有理项，则12－ r为整数，即r＝0，3，6，9， 12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4＝ 924x4，T10＝－ ＝－220，T13＝ . 【规律方法】 求二项展开式特定项的步骤 训练2　（1）若（x－ ）6展开式中的常数项为60，则常数a＝ （　A　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 解析： ∵（x－ ）6展开式的通项公式为Tr＋1＝ x6－r（－ ）r ＝ ·（－ ）r·x6－3r，令6－3r＝0，求得r＝2，可得它的常数项为 ·a＝60，∴a＝4. A （2）（ － ）8的展开式中的中间项为（　B　） A. B. C. －7 D. －7 解析： 由题意，Tr＋1＝ （－ ）r＝ ， 且r＝0，1，2，…，8，所以r＝4为中间项，即为（－ ）4 ＝ .故选B. B 【例3】　（链接教材P30例2）已知（ － ）n的二项展开式中，第4项 的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3. （1）求n的值； 解： ∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3， ∴ ∶ ＝8∶3，∴ ＝ ，∴n＝10. 二项式系数与项的系数问题 典例应用 （2）求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数. （2）求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数. 解： （ － ）n＝（ － ）10，其通项公式为 ＝（－ 2）k x5－k， 令5－k＝3，可得k＝2， ∴展开式中x3项的系数为（－2）2× ＝180. 展开式中含x3项的二项式系数为 ＝45. 【规律方法】 1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项 数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分为两 步完成： （1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注 意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数，n≥r）； （2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. 训练3　（1）已知（x－ ）n的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相 等，则展开式中x2的系数为（　A　） A. 60 B. －60 C. 448 D. －448 解析： ∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴ ＝ ，则n＝1＋5 ＝6，则展开式通项公式是Tr＋1＝ x6－r（－ ）r＝（－2）r x6－2r，令 6－2r＝2，得r＝2，∴x2的系数为（－2）2 ＝60，故选A. A （2）若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为 （　B　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 B 解析： （1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝ 1n－k·（－2x）k＝ （－2）k xk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3 ＝－160，则 ＝20，解得n＝6. 课堂小结 1. 理清单 2. 应体会 3. 避易错 二项式定理的正用与逆用 二项式系数与项的系数 二项展开式中的特定项 解决与二项式定理有关的问题要注意转化与化归思想的应用. 注意二项式系数与系数的区别， 是展开式的第k＋1项. $