6.3.2 二项式系数的性质 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的性质 学习目标 1.探究并掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值、各二项式系数和的性质。 2.能利用二项式系数的性质解决数学问题。 情境引入 在我国南宋时期，数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了这样一个神奇的数字三角形，它在西方被称为 “帕斯卡三角”，比杨辉的记载晚了近 400 年。 1.二项式定理 2.二项展开式的通项 3.二项式系数： 有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究。 复习公式 新知探究 探究：用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入表中． 的展开式的二项式系数 新知探究 通过计算、填表，你发现了什么规律？ （1）每一行中，与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等. （2）以上3个数有什么关系？还有什么猜想？ 能否用计数原理分析其正确性？ 新知探究 探究： （１）观察图6.3-2，你发现了什么规律？ （２）请你分别画出时函数的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？ 新知探究 新知探究 n=7 n=8 n=9 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． f (r) r n O 5 15 20 1 10 图象的对称轴： 性质1：对称性 典例应用 例1 解： 新知探究 性质2：增减性与最大值 （增减性的实质是比较 的大小） 所以 相对于 的增减情况由 决定． 可知，当 时， 由： 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值 二项式系数是逐渐增大的， 性质2：增减性与最大值 ∴（1）当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大； （2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等,且同时取得最大值. 新知探究 在中，是自变量，还是是自变量？ 例2　（1）（x－ ）11展开式中二项式系数最大的项是（　C　） A. 第3项 B. 第6项 C. 第6，7项 D. 第5，7项 解析： 展开式共有12项，中间两项第6项与第7项的二项式系数最大. C 典例应用 【练习】　已知（ ＋2x）n展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数； 解： 依题意， ＋ ＋ ＝37，得n＝8. 所以二项式为（ ＋2x）8. 所以展开式中第5项的二项式系数最大， T5＝ （ ）4×24x4＝ x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 . （2）展开式中系数最大的项. （2）展开式中系数最大的项. 解： 设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则 解得7≤r≤8， 所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项. 则T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8. 【规律方法】 1. 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进 行讨论. 2. 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各 项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各 项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用 解出k，即得系数的最大项. ：阅读课本P33，计算： 新知探究 证明：在展开式 中 例3 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 令a=1, b= -1，则得 思考 结合二项式系数和为2n 典例应用 一、求两个二项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（ － ）5（x＋2）的展开式中常数项为（　A　） A. －10 B. －5 C. 5 D. 10 解析： （ － ）5展开式的通项Tr＋1＝ （－ ）r＝ （－1）r ，r∈N，r≤5，显然 ≠－1，则当 ＝0，即r＝1 时，T2＝（－1） ＝－5，所以（ － ）5（x＋2）的展开式中常数 项为－5×2＝－10.故选A. A （2）（ －y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　A　） A. －60 B. －80 C. 100 D. 120 解析： 法一　由于（2x＋y）5的展开式的通项Tr＋1＝ （2x）5－ryr ＝ 25－rx5－r·yr，故（ －y）·（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为 ×22－ ×23＝－60. A 法二　若 －y中选取 ，则在（2x＋y）5的展开式中选取含x2y3的项，即 （2x）2y3＝40x2y3，二者相乘得20x3y3；若 －y中选取－y，则在 （2x＋y）5的展开式中选取含x3y2的项，即 （2x）3y2＝80x3y2，二者 相乘得－80x3y3.故（ －y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为20－80 ＝－60，故选A. 【规律方法】 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 训练1　（1）若（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋ 2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为 ⁠； 解析： 由（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝32， 故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）k x5－kyk，故x2y4的项为 （－1 ＋（－1 2 ，k1＝4，k2＝3，即 （－1）4 x2y4＋（－1）32 x2y4＝－15x2y4. 所以（x＋2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为－15. －15 （2）已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则a ＝ ⁠. 解析： （x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝ 2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍去）； 令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－ a 22＝－240，解得a＝4. 4 二、求三项展开式中的特定项问题 【例2】　（1）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　C　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 解析： 法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝ （x2＋x）3y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为 x4x＝ x5.所以x5y2的 系数为 ＝30. C 法二　（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2， 一个取x可得含x5y2的项.所以x5y2的系数为 ＝30. （2）（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项是 　　​ 　　.（用数字 作答） ​ 解析： 法一　原式＝（ ）5＝ ·[（x＋ ）2]5＝ ·（x＋ ）10.求原式的展开式中的常数项，转化为求（x＋ ）10的 展开式中含x5的项，T6＝ ·（ ）5x5，∴所求的常数项为 ＝ . 法二　（ ＋ ＋ ）5是5个三项式（ ＋ ＋ ）相乘，常数项的产生 有三种情况：①在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中，从其中1个三项式 中取 ，剩余的4个三项式中选2个取 ，其余选2个取 ，则满足条件的乘 积为 · · （ ）2 ＝ ；②在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ） 中，从其中3个三项式中取 ，剩余的2个三项式分别取 与 各一个，则 满足条件的乘积为 （ ）3· ·（ ）· ＝20 ；③从5个相乘的三项 式（ ＋ ＋ ）中都取常数 ，得 （ ）5＝4 .综上，展开式中的常数项为 ＋20 ＋4 ＝ . 【规律方法】 解决三项展开式问题的方法 训练2　（1）（x4＋ ＋2x）5的展开式中，x5项的系数为（ ） A. 160 B. 210 C. 120 D. 252 解析： 原式＝（x4＋ ＋2x）5＝（x2＋ ）10，则Tk＋1＝ （x2） 10－k（ ）k＝ x20－3k，令20－3k＝5，得k＝5，∴T6＝ x5＝252x5， 则x5项的系数为252. D （2）（x－2y＋z）8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系 数是 .（用数字作答） 解析： 因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝ （x－2y）8＋ （x－2y）7z＋…＋ （x－2y）z7＋ z8，由二项式定理可知，（x ＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展开式共有9＋8＋… ＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋z）连乘，欲求x3y3z2的系 数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中选定三个（x－2y＋z）内提供x， 在剩下的5个（x－2y＋z）中选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最 后两个（x－2y＋z）提供z，则x3y3z2的系数是 · （－2）3· ＝－4 480. 45 －4 480 三、有关整除或求余数问题 【例3】　（1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期 （　A　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 解析：　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝ （7＋1）10＝710＋ ×79＋…＋ ×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第 810天相当于第1天，故为星期一. A （2）用二项式定理证明1110－1能被100整除. 证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1＝（1010＋ ×109＋…＋ ×10＋1）－1 ＝1010＋ ×109＋ ×108＋…＋102＝100（108＋ ×107＋ ×106 ＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. 【规律方法】 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式； （2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与 除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考 虑后面（或者是前面）的几项就可以了. 训练3　（1）实数1.026的近似值（精确到0.01）为（　B　） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.20 解析：　1.026＝（1＋0.02）6＝1＋ ×0.02＋ ×0.022＋ ×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. B （2）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，求实数a的值. 解：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋ 119×（－ 1）＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119＋…－ ×11）＋3×1 ＋a. 因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除. 又因为0≤a＜11，所以a＝8. 1. 理清单 （1）杨辉三角； （2）二项式系数的增减性与最大值； （3）二项式系数和与各项系数和. 2. 方法技巧： 求二项展开式的各项系数的和要注意“赋值法”的应用. 3. 避易错 中间项的个数，含绝对值的系数. 课堂小结 $