6.3.2 二项式系数的性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，涵盖杨辉三角、增减性与最大值、系数和三大知识点。通过杨辉三角的历史背景（我国南宋数学家杨辉发现，早欧洲500年）导入，结合二项式展开式系数金字塔，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接二项式定理前序知识。 其亮点在于融入数学史激发兴趣，通过观察、找规律培养逻辑推理（如杨辉三角规律探究），用赋值法发展数学运算（如求系数和）。分层作业（基础、综合、拓展）满足不同需求，课堂小结梳理知识清单与易错点。助力学生提升数学思维，为教师提供系统教学资源与实用教法。

6.3.2　二项式系数的性质 1 1. 了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系（逻辑推理）. 2. 理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题（数学运算）. 课标要求 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式（a＋b）n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右. 情境导入 知识点一 杨辉三角 01 知识点二 二项式系数的增减性与最大值 02 知识点三 二项式系数和与各项系数和 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 杨辉三角 01 PART 目 录 问题1　 （a＋b）n展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如 下形式： （1）每一行中，与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等. （2）当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 提示：分别是1，6，15，20，15，6，1. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 1. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即 ＝ ⁠. 2. 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之 和，则 ＝ ⁠. 相等　 　 ＋ 　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前 两个数，当a＝7时，则b＝（　C　） A. 20 B. 21 C 解析：　由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5＝16，所以 b＝6＋16＝22. C. 22 D. 23 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 求解杨辉三角问题的两个关键点 （1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看，多角度观察. （2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是（　　） A. 第6行 B. 第7行 C. 第8行 D. 第9行 √ 解析： 　依题意，第6行为1，6，15，20，15，6，1，第7行的数字为1， 7，21，35，35，21，7，1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 二项式系数的增减性与最大值 02 PART 目 录 问题2　阅读教材P32图6.3－2及探究问题，二项式系数 的大小随r的变 化有什么规律？ 提示： 随r的增大而先增大后减小，有最大值. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 1. 增减性：当k＜ 时， 随k的增加而 ；由对称性知，二项 式系数的后半部分 随k的增加而 ⁠. 2. 最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数 时，中间的两项 　 　与 　 　相等，且同时取得最大值. 增大　 减小　 　 　 　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例2】　已知（ ＋2x）n展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数； 解： 依题意， ＋ ＋ ＝37，得n＝8. 所以二项式为（ ＋2x）8. 所以展开式中第5项的二项式系数最大， T5＝ （ ）4×24x4＝ x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）展开式中系数最大的项. 解： 设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则 解得7≤r≤8， 所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项. 则T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进 行讨论. 2. 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各 项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各 项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用 解出k，即得系数的最大项. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　（1）（x－ ）11展开式中二项式系数最大的项是（　C　） A. 第3项 B. 第6项 C. 第6，7项 D. 第5，7项 解析： 展开式共有12项，中间两项第6项与第7项的二项式系数最大. C 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）（ ＋ ）2n展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为 （　C　） A. 120 B. 252 C. 210 D. 45 C 解析： 由题意，得2n＝10，易知n＝5，由Tk＋1＝ （ ）10－k （ ）k＝ ，令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为 ＝210. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 二项式系数和与各项系数和 03 PART 目 录 问题3　在二项展开式（a＋b）n＝ an＋ an－1b＋ an－2b2＋…＋ an－kbk＋…＋ bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－ 1，可得到什么结论？ 提示： ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n； ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋ ＋…＝2n－1. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 1. ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠. 2. ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋ ＋…＝ ⁠. 2n　 2n－1　 数学·选择性必修第三册 目 录 角度1　二项式系数的和 【例3】　已知（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为（　A　） A. 512 B. 210 C. 211 D. 212 解析：　∵（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ∴ ＝ ，解得n＝10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的二项式系 数的和与偶数项的二项式系数的和相等，∴（1＋2x）10的展开式中奇数项 的二项式系数和为 ×210＝29＝512. A 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 （a＋b）n的展开式中各二项式系数的和为2n，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和，均等于2n－1. 数学·选择性必修第三册 目 录 角度2　二项展开式的各项系数的和 【例4】　已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各 式的值： （1）a0＋a1＋a2＋…＋a5； 解： 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜； 解： 令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由（2x－1）5的通项 ＝ （－1）r× 知a1，a3，a5为负 值， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝ 35＝243. 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）a1＋a3＋a5. 解： 由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5， 两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121. 数学·选择性必修第三册 目 录 变式　在本例条件下，求下列各式的值： （1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5； 解： 因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数， 所以a0＝ 25·（－1）0＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. （2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解： 因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两 边求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 二项展开式的各项系数的和的求法 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m， n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即 可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之 和，只需令x＝y＝1即可； （2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中 各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　（1）已知（x－my）n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的 系数为－160，则实数m＝ ⁠； 解析：由题意得，2n＝64，解得n＝6，而（x－my）6的通项公式为Tk＋1 ＝ x6－k·（－my）k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为 （－m）3 ＝－160，解得m＝2. 2 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）设（2－ x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的 值： ①a0； ②a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； ③a1＋a3＋a5＋…＋a99； ④（a0＋a2＋…＋a100）2－（a1＋a3＋…＋a99）2. 数学·选择性必修第三册 目 录 解：①令x＝0，则a0＝2100. ②令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100，（ⅰ） 故a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100－2100. ③令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝（2＋ ）100.（ⅱ） （ⅰ）（ⅱ）联立可得a1＋a3＋…＋a99＝ . ④原式＝[（a0＋a2＋…＋a100）＋（a1＋a3＋…＋a99）][（a0＋a2＋…＋ a100）－（a1＋a3＋…＋a99）]＝（a0＋a1＋a2＋…＋a100）·（a0－a1＋a2 －a3＋…＋a98－a99＋a100）＝[（2－ ）（2＋ ）]100＝1100＝1. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 二项式（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n＝ （　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 二项式（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶 数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　） 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 解析： 　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得 a＝6. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 在（2－3x）15的展开式中，二项式系数的最大值为（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　（2－3x）15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9 项，这两项的二项式系数相等且最大，为 ＝ ，故选B. 4. 若（2－x）7＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a7（1＋x）7，则 a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝ ⁠. 解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128. 128 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）杨辉三角； （2）二项式系数的增减性与最大值； （3）二项式系数和与各项系数和. 2. 应体会 求二项展开式的各项系数的和要注意“赋值法”的应用. 3. 避易错 中间项的个数，含绝对值的系数. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同 的项是（　　） A. 第15项 B. 第16项 C. 第17项 D. 第18项 解析： 　第6项的二项式系数为 ，又 ＝ ，所以第16项符合 条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 若（ －2x）n的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项 为（　　） A. －240 B. －60 C. 60 D. 240 解析： 　由题意2n＝64，解得n＝6.展开式通项为Tr＋1＝ （ ）6－r （－2x）r＝ （－2）r· ，由 r－3＝0，解得r＝2，∴常数项为T3 ＝ （－2）2·x0＝60.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. （x2－ ）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的 常数项是（　　） A. －15 B. －20 C. 15 D. 20 解析： 　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以（x2－ ）n 的展开式的通项为Tk＋1＝ （x2）6－k（－ ）k＝（－1）k x12－3k.令12 －3k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4 ＝15.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 在（x－ ）2 024的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝ 时，S＝（　　） A. 23 035 B. －23 035 C. 23 030 D. －23 030 解析： 　因为S＝ ，当x＝ 时，S＝－ ＝－23 035. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 已知（ ＋ ）n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为 1∶4，则展开式中二项式系数最大的项为（　　） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 解析： 　（ ＋ ）n的展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）n－k·（ ）k ＝ ·2k· ，第3项为T3＝ ·22· ，其系数为 ·22，倒数第3项为 Tn－1＝ ·2n－2· ，其系数为 ·2n－2，由题意得， ＝24 －n＝ ＝2－2，所以n＝6，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕下列关于（x－1）11的说法正确的是（　　） A. 展开式中的二项式系数之和为2 048 B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大 解析： 　（x－1）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A 正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7 项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确；展开式中第6项的 系数为负数，不是最大值，所以D不正确.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，若含x2的项的二项式系 数为21，则下列结论正确的是（　　） A. n＝7 B. 展开式中的常数项是64 C. 展开式中二项式系数的最大值是35 D. 展开式中各项系数的和是2 187 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，含x2的项的二项式系 数为 ＝ ＝21，即n2－n－42＝0，∵n∈N*，∴n＝7，A正 确；展开式中常数项为T8＝27＝128，B错误；展开式中二项式系数的最大 值是 ＝ ＝35，C正确；令x＝1可得展开式中各项系数的和是37＝ 2 187，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 在（2x－ ）4的二项展开式中，常数项是8，则实数a＝ ⁠ ，第 项的二项式系数最大. 解析：在（2x－ ）4的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可 知Tk＋1＝ （2x）4－k（－ ）k＝ ·24－k·（－a）k· ，所以当k ＝3时为常数项，代入可得 ·24－3·（－a）3＝8，解得a＝－1，由二项式 定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. － 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋ a4）（a1＋a3＋a5）＝ ⁠. 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋ a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减 可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所 以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. －256 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 在二项式（ － ）n的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比 为－1∶14，求： （1）二项展开式中的各项的二项式系数之和； （1） ＋ ＋…＋ ＝210＝1 024. 解：二项式（ － ）n的展开式的通项为 Tk＋1＝ （ ）n－k（－ ）k＝ （－2）k ， ∵ （－2）3∶ （－2）6＝－1∶14，∴n＝10. （2）二项展开式中的各项的系数之和. 解：令x＝1，得各项系数之和为（－1）10＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 若（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025（x∈R），则 ＋ ＋… ＋ ＝（　　） A. 2 B. 0 C. －2 D. －1 解析： 　（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025，令x＝0，得a0＝1， 令x＝ ，得a0＋ ＋ ＋…＋ ＝0，所以 ＋ ＋…＋ ＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 〔多选〕对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－ 1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是（　　） A. a2＝－144 B. a0＝1 C. a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D. a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－ 1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－1）]9，所以a2＝ － ×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝ 2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－ a3＋…－a9＝－39，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 已知（2x－1）n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和 小38，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠. 解析：设（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为 A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6 ＋….由已知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an（－1） n＝（－3）n，即（a0＋a2＋a4＋a6＋…）－（a1＋a3＋a5＋a7＋…）＝ （－3）n，即B－A＝（－3）n.∴（－3）n＝38＝（－3）8，∴n＝8.由 二项式系数的性质，可得 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n－ ＝28－1＝255. 255 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 已知（1＋m ）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为 256，展开式中含有x项的系数为112. （1）求m，n的值； 解： 由题意可得2n＝256，解得n＝8， ∴展开式的通项为Tk＋1＝ mk ， ∴含x项的系数为 m2＝112， 解得m＝2或m＝－2（舍去）. 故m，n的值分别为2，8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求展开式中偶数项的二项式系数之和； 解： 展开式中偶数项的二项式系数之和为 ＋ ＋ ＋ ＝ ＝128. （3）求（1＋m ）n（1－x）的展开式中含x2项的系数. 解： ∵（1＋2 ）8（1－x）＝（1＋2 ）8－x（1＋2 ）8， ∴含x2项的系数为 24－ 22＝1 008. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 已知（ax－ ）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系 数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值； 解： 由题意得， ＋ ＋ ＝16， 即1＋n＋ ＝16. 解得n＝5，或n＝－6（舍去）， 所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以（a－1）5＝1，解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说 明理由； 解： 不存在.理由如下： 因为（ax－ ）n＝（2x－ ）5， 所以Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k 25－k （k∈N*）. 令5－ ＝0，解得k＝ ∉N，所以展开式中不存在常数项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）求展开式中二项式系数最大的项. 解：由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2· 25－2x5－3＝80x2，T4＝（－ 1）3· 25－3 ＝－40 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $