数学探究：杨辉三角的性质和应用 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

杨辉三角的性质与应用 学习目标 1.结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养。 2.在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养. 重点:杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题 难点:杨辉三角性质的应用. 学习目标 情境引入 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》 《日用算法》和 《杨辉算法》．在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法．杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）曾用过．由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪上半叶．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的 发现要比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题．下面让我们一起来探索吧！ 新知探究 探究：对杨辉三角中的数从不同视角采用圈一圈、连一连、算一算等方法，结合数学探究中的猜想、实验、证明等手段得到各数字之间存在如下性质： （1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即 ＝ ，如图； 新知探究 （2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即 ＝ ＋ ； （3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即 ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋ ＋…，如图③； 新知探究 （4）第n行数的和为2n，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n，如图④； 新知探究 （5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＋…＋（ ）2＝ ，如图⑤； 新知探究 （6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ，如图⑥. 新知探究 二、杨辉三角性质的应用 【例】　如图称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一. 典例应用 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数. （1）求杨辉三角中第10行的各数之和； （2）求杨辉三角中第2行到第15行各行第3 个数之和. 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数. （1）求杨辉三角中第10行的各数之和； 解： 杨辉三角中第10行的各数之和为 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 210＝1 024. （2）求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和. 解： 杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝…＝ ＋ ＝ ＝ ＝560. （2）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项式系数的规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{}，则＝ ； 若数列{}的前n项和为，则⁠ . 4 2 048 典例应用 解析： 由题意可得a14＝4.由杨辉三角可知，行数与该行的项数相 等，则第k行最后一项在数列{an}中的项数为 .设a67位于第k （k∈N*）行，则 ＜67≤ ，解得k＝12，且第11行最后 一项在数列{an}中的项数为 ＝66，∴a67位于杨辉三角的第12行第1 个，而第一行各项的和为20＝1，第二行各项的和为21＝2，第三行各项的 和为22＝4，依此类推，第k行各项的和为2k－1，∴S67＝（20＋21＋22＋… ＋210）＋ ＝ ＋1＝211＝2 048. 典例应用 例 开方问题:解方程 设 个位数是6 经计算 $