2026年九年级数学中考二轮复习《填空压轴题》常考考点分类专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《填空压轴题》常考考点分类专题提升训练（附答案） 一、全等三角形综合 1.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交 AC于M,AD交CE于N,AD、BE交于点O;下列说法：①AD=BE;②△MNC为等 边三角形；③∠BOD=110°；④C0平分∠B0D.其中一定正确的是 (只需填 写序号) E M C 2.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB、BC上的动点，且满足 AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB,则 OM+专FG的最小值是 D M G 3.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延 长交CD于点E,过点P作PF⊥AP交BC于点F,连接AF、EF,AF交BD于G,以下结 论正确的有（填序号）， ①AP=PF;②DE+BF=EF;③PG=BG十PD:④S△4EF为定值. D B F 4.如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O,∠D0C=120°，AC=8,点F在 线段AO上从点A至点O运动，连接DF,以DF为边作等边△DFE,点E和点A分别位于 DF两侧，连接CE.下列结论：①∠ADF=∠EFC;②ED=EC;③点F从点A运动到点 0时，E的运动路程是4；④连接0E,△0EF面积的最大值为√5.其中正确结论的序号 为 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,∠ABC=45°，点D为BC中点， CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,BM⊥CF交CF延长线于点M,CN平分∠ACB交 AD于点G,交AB于点N,连接DF,则下列结论：①∠ADC=∠BDF;② S△ACD=3S△CDF;③∠AGN=∠BFD;④AE-BM=EM:⑤∠ADF=2∠CAD.其 中正确的有 .（只填序号) C D B 二、四边形综合 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,∠BCD的平分线交AD于点E,M,N分 别是AB,BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若 PM+PN=8,则PC的长为 7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，若E,F分别是AD,DC边上的动点，AE=DF ,AF与BE交于点P,连接DP,则DP的最小值为 8.如图，四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=3,点P是边AD上一点（不与点A,D 重合)，连接PB,PC.点M,W分别是PB,PC的中点连接MN,AM,DN,点E在边 AD上，MEIDN,则AM+ME的最小值是 9.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm,BC=8cm,点P从点 D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动， 当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s), 下列结论中：①当t=4s时，四边形ABMP为矩形；②当t=5s时，四边形CDPM为平行 四边形；③当CD=PM时，t=4或5s;④当CD=PM时，t=4或6s.正确的是 (填序号) A P B M-C 10.如图，已知长方形ABCD中，AD=6,AB=4,点E为AD上的一点，且AE=2,点 F为AB上的动点，将△AEF沿EF折叠得到△GEF,点P为CD的中点，点M,点N分别 为BC上两个动点，且MN=1,连接PM,GN,则PM+MN+GN的最小值是 D 三、圆综合 11.如图，己知⊙0的直径为10，翻折劣弧BC使其与直径AB交于点D,如果BD=8, 那么折痕BC的长为 D A 12.如图，⊙0是等腰△ABC的外接圆，AB=AC=5,BC=6.连接A0并延长交 ⊙O于点D,∠ABC的角平分线交AD于点E,交⊙O于点F,连接AF,则AF的长度为 D 13.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，对角线AC、BD相交 于点E,BFDC交⊙O于点F,BF、CA的延长线相交于点G.已知∠AED=45°，点E 为AC中点，AB=V10,则BG的长为 D B G 14.如图，0A=0B,⊙0与AB相切于点C,与0A、0B分别交于点D、E,与A0的延长 线交于点F,连接BF、FE,延长FE交AB于点G,若⊙O的半径为4，BF=BC,则图中 阴影部分的面积为 15.如图，在△ABC中，AB=AC,E为BC的中点，以线段AC为直径的⊙O交AB于点 D,过点D作DGBC,交AC于点G,连接EG并延长，交⊙O于点F,连接OF,CF,若 0FIBC,CG=1,则CF2=· D B E 四、二次函数 16.抛物线y=一x2+x+4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），点C在抛物线上， 且点C的横坐标为2，若点P为y轴上非原点的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐 标为 17.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C,连接BC.过点C作CDIx轴交抛物线于点D,点M是坐标平面内一点（不与点D 重合)，若△BCM与△BCD全等，则点M的坐标为， A\O B 18.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x一3的图象如图所示.P为第三象限内抛物 线上一动点，作PD上x轴于点D,交AC于点E,点G为y轴上一动点，过点E作 ∠EGC=30°，设点P的横坐标为m,则PE+专EG的最大值为· 19.如图，已知抛物线y=ax2+bx十c经过点(1,1)，(m,0),(3,0),给出下列四个 结论：①abc>0;②4ac-b2<4a;③5a+2b+c<0;④a+b+c>0.其中正确的 结论是（填序号） 3 /m1 20.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点 A(-2,0)和点B,与y轴的负半轴交于点C,且0B:0C=2:1,则下列结论：①<0 ;②2b-4ac=1:③a=青；④当-1<b<0时，在x轴下方的抛物线上一定存在 关于对称轴对称的两点M,N(点M在点N左边)，使得AN⊥BM.其中正确的结论是 (填写序号). y 参考答案 1.解：①：△ABC和△CDE都是等边三角形， ·CA=CB,CD=CE,∠ACB=60o,∠DCE=60°， ÷∠ACE=60°， ÷∠ACD=∠BCE=120°， 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE ·△ACD≌△BCE(SAS), ·AD=BE;①正确； ②：△ACD≌△BCE ·∠CAD=∠CBE, 在△ACN和△BCM中， I∠ACN=∠BCM CA=CB I∠CAN=∠CBM ·△ACN≌△BCM(ASA), :CN=BM, :∠MCN=60°， :△CMN为等边三角形；②正确； ③：∠CAD+∠CDA=60°， 而∠CAD=∠CBE, :∠CBE+∠CDA=60°， ·∠B0D=120°；③错误； ④如图：作CH⊥BE于H,CQ⊥AD于Q: :△ACD≌△BCE, ÷CQ=CH, ÷CO平分∠BOD;④正确 综上所述，正确的为①②④. 【点晴】本题核心是以等边三角形为背景构造全等三角形，通过SAS/ASA证明三角形全等， 再利用全等的对应边、角相等，结合等边三角形判定、角平分线判定定理推导结论，全等是 贯穿全题的关键桥梁。 2.5 【分析】先证明△ADE≌△BAF(SAS)得到∠ADE=∠BAF,进而得到 ∠DOF=90°，则由直角三角形的性质可得OM=专DF,在AB延长线上截取BH=BG, 连接FH,则有△FBG≌△FBH（SAS),然后可得当H、D、F三点共线时，DF+HF 有最小值，即此时OM+专FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，进而问题可求解. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB=6,∠DAB=∠ABC=90°， 又：AE=BF, △ADE≌△BAF(SAS), ∠ADE=∠BAF, ∴∠DOF=∠AD0十∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°， :点M是DF的中点， ∴OM=DF, 如图所示，在AB延长线上截取BH=BG,连接FH, D M -S.H E :∠FBG=∠FBH=90°，FB=FB,BG=BH, .△FBG≌△FBH（SAS), :FH=FG, :OM+FG=专DF+HF=专(DF+HF), .当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+专FG有最小值，最小值即 为DH的长的一半， AG=2GB,AB-6, :BH=BG=AB=2, AH=8, 在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=VAD+AH2=10, .OM+FG的最小值为5. 3.①② 【分析】①运用正方形的性质与判定得YP=XP,∠XPY=90°，再证明 △AXP兰△FYP(ASA)可得结论；③将△ADP绕点A顺时针旋转90·得到△ABT, 证明△TAG兰△PAF(SAS),再结合三边关系，得PG<PD+BG;②将△ADE绕 点A顺时针旋转90·得到△ABM,利用全等三角形的性质证明即可；④由 △AEF兰△AMF,推出S△AF=S△4MF=FM·AB,因为FM的长度是变化的，故 △AEF的面积不是定值. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形 .∠ABC=90°，∠XBP=∠YBP=∠ADP=45° 分别过点P作PX⊥AB,PY⊥BC,如图所示： 则∠PXB=∠PYB=∠ABC=90°， 四边形XBYP是矩形， :∠XBP=∠YBP=45°， ∠XPB=90°-45°=45°， ∴BX=PX, .四边形XBYP是正方形， .YP=XP,∠XPY=90o, PF⊥AP, .∠APF=90°， 则∠APF-XPF=∠XPY-∠XPF, 即∠APX=∠YPF, ∠AXP=∠FYP=90o, △AXP≌△FYP(ASA), AP=PF, 故①符合题意， 由①得AP=PF :PF⊥AP ∴△APF是等腰直角三角形，∠PAF=∠AFP=45°， 将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABT,如图所示： B ∠TAP=90°，AT=AP,TB=PD,∠ABT=∠ADP=45 则∠TAG=90°-∠PAF=45 即∠TAG=∠PAF=45° AG=AG, △TAG≌△PAF(SAS), :.GP=TG, 在△TBG中，TG<TB+BG, :.PG<PD+BG, 故③是不符合题意； 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM, :∠ADE=∠ABM=90°，∠ABC=90°， ∴∠ABC+∠ABM=180o, C,B,M共线， ∠EAF=45°， ∠MAF=∠FAB+∠BAM=∠FAB+∠DAE=45°， .∠FAE=∠FAM, 在△FAM和△FAE中， FA-FA ∠FAM=∠FAE AM=AE :△FAM≌△FAE(SAS), :FM=EF, 则FM=BF十BM=BF+DE, EF=DE+BF, 故②符合题意， :△AEF≌△AMF, S△4Er=S△4WF=告FM·AB, :FM的长度是变化的， .△AEF的面积不是定值， 故④不符合题意。 4.①②③④ 【分析】①根据∠DAC=60°，OD=OA,得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为 等边三角形，得∠DOA=∠DEF=60°，再利用角的等量代换，即可得出结论①正确： ②连接OE,利用SAS证明△DAF兰△DOE,再证明△ODE兰△OCE,即可得出结 论②正确；③延长OE至E,使OE=OD,连接DE,通过△DAF兰△DOE, ∠D0E=60°，可分析得出点F在线段A0上从点A至点0运动时，点E从点0沿线段0E运 动到E,从而得出结论③正确；④过点F作FP⊥AD于点P,在AD上截取AH=AF,连接 HP,证明△OEF兰△HFD(AAS),则S△OEF=S△DFH,进而表示出S△Or,根据二 次函数的性质，即可求解。 【详解】解：①设DB与EF的交点为G,如图所示： D B 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠D0C=120· ∠A0D=60°，0D=0A, :△OAD为等边三角形， ·∠D0A=∠DA0=∠AD0=60°， :△DFE为等边三角形， :∠DEF=∠FED=60°， :∠D0A=∠DEF=60°， ·∠DGF=∠BDE十∠DEF,∠DGF=∠EFC+∠DOA .∠ODE=∠EFC :∠AD0=∠FDE=60o ∴∠ADF=∠ODE :∠ADF=∠EFC,故①正确； 在△DAF和△DOE中， AD=OD ∠ADF=∠ODE DF-DE ·△DAF≌△DOESAS, :∠D0E=∠DAF=60°， :∠C0D=180°-∠A0D=120°， ÷∠C0E=∠C0D-∠D0E=120°-60°=600， ·∠C0E=∠DOE 在△ODE和△OCE中， 0D=0C ∠DOE=∠COE 0E=0E ·△ODE≌△OCE(SAS :ED=EC,故结论②正确： ③如图，延长0E至E,使0E=OD,连接DE, E G B:ED=EC, 点E在DC的垂直平分线上，则OEAD :点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE运动到E, :∠BDA=90°-∠ADB=90°-60°=30°， ·DB=2AD 设DA=x,则DB=2x=AC=8 解得：x=4 :0E=0D=AD=4, :点E运动的路程是4， 故结论③正确： 如图，过点F作FP⊥AD于点P,在AD上截取AH=AF,连接HF, G B :∠DAF=60° .△AFH是等边三角形， .∠FHA=60° ∠DHF=120°， 又：OEAD ∠F0E=180°-∠DA0=120° .∠DHF=∠FOE 又：∠ADF=∠EFC,DF=EF .△OEF≌△HFD(AAS) :S△OEF=S△DFH t设AP=X,则PP=AP,Sim∠DAP=号x,DH=AD-AH=AD-AP=4-X S%oEr=SaeH=DH×PP=(4-x)×号x=-县(x2-4x)=9(x-2)2+5 :当x=2时，△0EF面积的最大值为5 故④正确， 综上所述，正确结论的序号为①②③④. 5.①②③④⑤ 【分析】过点B作BH⊥BC交CM的延长线于H,证明△ACD兰△CBH(ASA)和 △FBH兰△FBD(SAS)得到∠ADC=∠BDF即可判断①：根据三角形的面积得出 S△cDF=S△FBD=S△FBH即可判断②；根据同角的余角相等可得∠AGN=∠AFE,从而 得到∠AGN=∠BFD,即可判断③；证明△ACE≌△CBM(AAS)得到 AE=CM,CE=BM,即可判断④；根据三角形内角和定理找到角直角的关系即可判断 ⑤. 【详解】解：①过点B作BH⊥BC交CM的延长线于H,如图所示： H G :∠ACB=90°，CE⊥AD,BH⊥BC, ·∠ACE+∠BCH=90°，∠ACE+∠CAD=90°，∠ACB=∠CBH=90°， ·∠CAD=∠BCH, 在△ACD和△CBH中， ∠CAD=∠BCH AC=BC ∠ACB=∠CBH=90o ·△ACD≌△CBH(ASA), ·∠ADC=∠H,AD=CH,CD=BH, 点D为BC的中点， :BD=CD=BH, :∠CBH=90°，∠ABC=45°， ·∠FBH=45°， ÷∠FBH=∠FBD=45°， 在△FBH和△FBD中， BD-BH ∠FBH=∠FBD BF=BF ·△FBH≌△FBD(SAS), ∠H=∠BDF,∠BFH=∠BFD,FH=DF, ·∠ADC=∠BDF, 故结论①正确； ②：点D为BC的中点， :△CDF和△FBD等底同高， :S△cDF=S△FBD: 又：△FBH≌△FBD, ·S△FBH=S△FBD,即S△CDF=S△FBD=S△FBH, S△cBH=3S△cDF, :△ACD≌△CBH, :S△4D=S△CBH=3S△cDF, 故结论②正确： ③：AC=BC,CN平分∠ACB, :CN⊥AB, :∠GAN+∠AGN=90°， :CE⊥AD, ·∠GAN+∠AFE=90°， :∠AGN=∠AFE, 又：∠AFE=∠BFH=∠BFD, ·∠AGN=∠BFD, 故结论③正确： ④：CE⊥AD,BM⊥CF, ·∠AEC=∠CMB=90°， 在△ACE和△CBM中， t ∠CAE=∠BCM ∠AEC=∠CMB=90° AC=BC .△ACE≌△CBM(AAS), ·AE=CM,CE=BM, ÷AE-BM=CM-CE=EM, 故结论④正确： ⑤：CE⊥AD, ÷∠CAD+∠ADC=90°，即2∠CAD+2∠ADC=180°， :∠ADC+∠ADF+∠BDF=180°， 由结论①正确得：∠ADC=∠BDF, .2∠ADC+∠ADF=180°， ·2∠CAD=∠ADF,即∠ADF=2∠CAD, 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③④⑤： 6.4y2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质， 勾股定理等知识，熟练应用相关性质定理是解题的关键.由题意易知 ∠DCE=∠BCE=45°，在CD上取点N,使CN=CN,连接PN,MN,则 PM+PN=PM+PN=8=BC,从而可得MN‖BC,进而证得四边形BCNM是矩形， 四边形PNCN、四边形MBNP均为正方形，得到PN=CN'=CN=BM=BN,结合 BC=8,利用勾股定理即可求解 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， :CD=AB=6,∠BCD=∠ADC=90°， :∠BCD的平分线交AD于点E, ·∠DCE=∠BCE=∠BCD=45°， 如图1，在CD上取点N,使CN=CN,连接PN,MN, D(N') D W 图1 ÷PM+PN=PM+PN=8=BC, :AB ICD,BC⊥AB, :AB与CD的距离为8， MN⊥AB, ÷MNI‖BC, 如图2，则四边形BCNM是矩形， A M B W 图2 .BM=CN,，∠CPN=∠PCN=45°， :∠CPN=∠PCN=45o, :.PN'=CN', :PN⊥CN,PN⊥BC,∠NCN=90°， :四边形PNCN为正方形， :PM⊥AB,PN⊥BC,∠B=90°， :四边形MBNP为矩形， BN=BM, :四边形MBNP为正方形， D W 图2 .PN=CN=CN=BM=BN, CN+BN=BC=8, ÷CN=BN=4, :PN=CN =CN=4, 由勾股定理得PC=VPN2+CN2=V42+4=42， 故答案为：42. 7.5-1/-1+5 【分析】根据正方形的性质可得△ADF兰△BAE(SAS),得到∠APB=90°，取AB的 中点O,连接0P,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，点P到点0的距离不 变，再根据两点之间线段最短得，当点O,D,P三点共线时DP最小，利用勾股定理求解 即可； 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， :AB=BC=CD=AD=2,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， AE=DF, ·△ADF≌△BAE(SAS), ·∠ABE=∠DAF, '∠DAF+∠BAF=90°， &∠ABE+∠BAF=90°， ÷∠APB=90°，即AF⊥BE, 取AB的中点O,连接OP,DP, E D B C:A0=克AB=1, 0D=A02+AD=V12+22=5, :DP≥0D-OP, :当点O,D,P三点共线时，DP取最小为DP=OD-0P=5-1, :DP的最小值为V5-1. 8.8 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最 小值，综合运用以上知识是解题的关键.运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边 形DEMN是平行四边形，求AM+ME的最小值等同于求专(BP+PC)的最小值，最后运 用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值， 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∠BAP=∠CDP=90o, :点M,N分别是PB,PC的中点， .AM=BP,DN=PC,MNI BC, :ME‖DN, .四边形DEMN是平行四边形， ME=ND. .:.AM+ME=AM+DN=(BP+PC), :AM+ME的最小值就是(BP+PC)的最小值， 作点C关于直线AD对称点Q,连接PQ、BQ, B C BP+PC=BP+PQ, 当点B、P、Q三点共线时，BP+PQ的最小值就是BQ的长度， 在Rt△BCQ中，∠BCQ=90°，BC=AD=3,QC=2CD=2AB=4, :BQ=VBc2+QC&=32+42=5, ·AM+ME的最小值=专BQ=号 故答案为：易 9.④ 【分析】用含t的式子表示出DP,BM,AP,CM的长度，当四边形ABMP为矩形时， 根据AP=BM列方程；当四边形CDPM为平行四边形时，根据DP=CM列方程；当 CD=PM时分两种情况：一是四边形CDPM为平行四边形，二是四边形CDPM为等腰梯 形，分别列方程求解即可 【详解】解：由题意得DP=tcm,BM=tcm, AD =10cm,BC=8cm, :AP=(10-t)cm,CM=(8-t)cm, 当四边形ABMP为矩形时，AP=BM, 即10-t=t, 解得t=5s,故①错误； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP=CM, 即t=8-t, 解得t=4s,故②错误； 当CD=PM时分两种情况： 当四边形CDPM为平行四边形时，t=4s; 当四边形CDPM为等腰梯形时，过点M作MG⊥AD于点G,过点C作CH⊥AD于点H, 如图所示， M 则∠MGP=∠CHD=90o, CD=PM,CH=MG, :Rt△MGP≌Rt△CHD(HL), ·GP=HD, ：AG=AP+GP=10-t+g-9, 2 :∠A=∠B=90°，MG⊥AD, ·四边形AGMB为矩形， :AG=BM=tcm, &t=10-t+-g9 解得t=6s, 综上可得，当CD=PM时，t=4或6s, 故③错误，④正确 综上所述，正确的是④ 10.3V5-1 【分析】作点P关于BC的对称点J,过点J作jH‖BC,使H=MN=1,过H作HI⊥AD 于点I,连接M、HN、EH,则PM=JM,CJ=CP=2,四边形MNHJ是平行四边形，四 边形DIH町是矩形，∠EIH=90°，由勾股定理得EH=3V5,根据 EG+GN+HN≥EH,得GN+HN的最小值为EH-EG=35-2,即得 PM+MN+GN的最小值是3V5-1. 【详解】解：长方形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，AD=6,AB=CD=4,点P为 CD的中点， :.CP=CD=2, 作点P关于BC的对称点J,过点J作H‖BC,使H=MN=1,过H作HI⊥AD于点I, 连接JM、HN、EH,则PM=JM,CJ=CP=2, :DJ=CD+CJ=6, :四边形MNHJ是平行四边形， :HN=JM, :PM=HN, :∠BCD=∠D=90°， ∠DJH=90°， 四边形DIHJ是矩形， :DI=HJ=1,HI=D]=6, :AE=2 :EI=AD-AE-DI=3, ∠EH=90°， .EH-VE12+H12=3V5 :EG+GN+HN≥EH,由折叠知，EG=AE=2, :GN+HN的最小值为EH-EG=3V5-2, :PM+MN+GN的最小值是3V5-2+1=3V5-1. 11.3W10 【分析】作DF⊥BC交⊙O于点F,连接BF延长交AC的延长线于点E,连接CF,DF与 BC交于点M,根据对称的性质分别证明△DMB≌△FMB(SAS), △BAC兰△BEC(ASA),推出CE=AC=专AE,再根据四点共圆推出 ∠BAC=∠CPB,证明△CEF∽△BAE,进而可得是=置，由对称性质再得 品c=,解得AC=√0，最后由勾股定理求BC即可. 【详解】解：如图所示，作DF⊥BC交⊙O于点F,连接BF延长交AC的延长线于点E, 连接CF,DF与BC交于点M, D :折叠，DF⊥BC, :DM=FM, :在△DMB和△FMB中， BM-BM ∠BMD=∠BMF DM=FM △DMB≌△FMB(SAS), ∠ABC=∠EBC,BF=BD=8, :AB为直径， ∠ACB=90°， .在△BAC和△BEC中， I∠ACB=∠BCE BC=BC N∠ABC=∠EBC :△BAC≌△BEC(ASA), :AB=BE,CE=AC=AE, :EF=AD=AB-BD=10-8=2 :由圆内接四边形性质可知∠BAC十∠CFB=180°， 又：∠CFB+∠CFE=180°， .∠BAC=∠CFE, :∠CEF=∠CEF, .△CEFM△BAE, 器=器， 品=瓷，解得AC=√0， :在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=V10 :根据勾股定理：BC=VAB2-AC=3√0. 2.9 【分析】连接OB,OC,设AD,BC交于点G,过点A作AMIBC交BF的延长线于点M,过 点F作FH⊥AD于点H,勾股定理求得AG=4,证明FA=FE,进而根据相似三角形的 性质求得AE=号，HF=号，再根据勾股定理，即可求解。 【详解】解：如图，连接OB,OC,设AD,BC交于点G,过点A作AMBC交BF的延长线 于点M,过点F作FH⊥AD于点H, --M B D :⊙0是等腰△ABC的外接圆， 0B=0C, AB=AC, AD垂直平分BC, :.BG=CG=BC=3, AG=VAB2-BG2=52-32=4, AMIBC, ∠M=∠FBC, BF平分∠ABC, .∠ABF=∠FBC, ∴∠M=∠ABF, :AM=AB=5, AMIBC ·△EBG∽△EMA, 骺=器=胃， AE=哥AG=月， 设∠ABC=2a,则∠EBG=a, ∠AEF=∠BEG=90°-， ·AB=ACAB=AB, ∠ACB=∠ABC=2,∠AFB=∠ACB=2, ∠FAE=180°-∠AFE-∠AEF=180°-2a-(90°-a)=90°-， .∠FAE=∠FEA, ∴FA=FE, :HF⊥AD, :AH=HE=AE=×号=弄， :BC⊥AD,AMIBC, AM⊥AD, 又：HF⊥AD, AMIHF, :△EHFM△EAM, 照=盟=， :HF=AM=号， 在Rt△AHF吨，AP=VAH+H-()+()-9 13.25 【分析】过点C作CH⊥BD与点H,根据圆周角定理得出△ADE和△BCE是等腰直角三 角形，利用勾股定理，得出AE=CE=BC=2,CD=5,再证明△CDE∽△GBE ,利用对应边成比例求解即可， 【详解】解：如图，过点C作CH⊥BD与点H, D G :四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径， &∠ADB=∠ACB=90°， :∠AED=∠BEC=45°， :△ADE和△BCE是等腰直角三角形， AAD=DB=号AB,8C=CE=号8B,CH=BH=8E, :点E为AC中点， AE=CE=BC,AC=2CE=2BC, 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, BC2+(28C)2-(V0)2, BC=V2, :AE=V2, AD =DE=1.BE=2BC=2. CH=EH=1,DH=DE+EH=2. :在Rt△CDH中，CD=VDH2+CH2=5, BFIDC ·△CDE∽△GBE, “器=， 5= ·BG=25. 14. 145-2 【分析】先利用切线性质和等腰三角形性质，结合全等三角形证明相关角为直角，设未知数 用勾股定理列方程求出线段长度，得到AF的长；再通过三角函数求出角度，证明△OFE为 等边三角形，分别计算△AGF、△OEF和扇形ODE的面积，最后将阴影部分面积转化为 S阴影=S△AGF-S△OE-S扇形oPB,计算得出结果. 【详解】解：连接OC,作OM⊥EF,垂足为M, “AB与⊙0相切于点C, .0C⊥AB,即∠BC0=90°， 0A=0B, .AC=BC∠A=∠B, BF=BC,BO=BO,OC=OF .△BCO≌△BFO, ∠BF0=∠BC0=90°，∠F0B=∠BOC 设BC=x,则AC=x,AB=2x BF=BC=x, 在Rt△BC0中，B02=BC2+0C2=x2+42=x2+16, 在Rt△AFB中，AF2=AB2+BF2=(2x)2-x2=3x2, :F在⊙0上，0为圆心， .0F=4, “AF=A0+0F=0B+4=VOC2+BC2+4=V16+x2+4, (V6+x2+4)2=3x2, 解得x2=48,即x=BC=4W5, 0A=0B=2+16=V(45)2+16=8, AF=0A+0F=8+4=12, 级：a0C8,a08G=器=店-9， ∠0BC=30°， ∠A=30°，∠A0C=90°-30°=60°，∠F0B=∠B0C=60°， .△OFE为等边三角形， EF=4,FM=2,∠FE0=60°， 在Rt△F0M中，0M=VOF2-FM2=V42-2=2W3, ∴SAFOE=吉×FE×0M=支×4×2W5=4V5, :∠A=30°，AF=12, FG=6,AG=65, ·S△4G=专×FG×AG=号×6×6V5=185, :∠A0C=∠C0B=60°， ∠A0B=120°，即∠D0E=120°， S阴影=S△AGF-S△0EE-S扇形0DB, =18V3-4W5-1204 360 =145- 15.2V5+5 【分析】连接DE,AF,设∠BAC=2,BE=x,AC=2r,证明△BDE~△BCA得 出BE=EC=VF,进而证明AF=AG=AD=2r-1,证明△BDE∽△BCA,得出 r=李，在Rt△APC中，勾股定理即可求解， 【详解】解：如图，连接DE,AF, G E 设∠BAC=2&,BE=x,AC=2r AB=AC, ·∠B=∠ACB DGIBC, ∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB ∴∠ADG=∠AGD ∴.AD=AG :.BD=CG=1,0G=0C-GC=r-1, :在△ABC中，AB=AC,AC为⊙0的直径 AE⊥BC,BE=EC, ∠B=∠ACB=90°-C, 又：∠ADE+∠BDE=180°，∠ADE+∠ACB=180 ∠BDE=∠ACB=90°- ∠BED=180°-∠B-∠BDE=2 :∠DBE=∠CBA,∠BED=∠BAC=2aC .△BDE△BCA 肥=脂，即索=器 x=F,即BB=EC=VF OFIBC, .△OGF∽△CGE 器=器 牛= 解得：r=型 AC=2r=V5+3 :∠BAC=2,AB=AC,AE⊥BC, .∠DAE=∠CAE 又：AD=AG,AE=AE :△ADE≌△AGE(SAS) ·.∠AEG=∠AED .∠CEG=∠BED=2a ∴∠EGC=90°-a=∠ECG :.EG=EC 又：∠AGF=∠EGC=90°-x,∠AFE=∠ACE=90°- ∴∠AGF=∠AFG ∴AF=AG=AD=2r-1 “AC是⊙O的直径， .∠AFC=90o CP2=AC2-AF2=(2r)2-(2r-1)2=4r-1=4×(+9)-1=25+5 16.(0,2)或(0，-2)或(0，专) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判 定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.令y=0,求得点B的坐标，依据分类讨 论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得 出结论。 【详解】解：令y=0,则-x2+x+4=0, 解得：x=4或x=-2, :抛物线y=一x2+x十4与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧， B(4,0), :点C的横坐标为2， ·y=4, ÷C(2,4); ①当BP=BC时，如图， B 过点C作CD⊥OB于点D, :C2,4,B(4,0) CD=4,0B=4,0D=2, :CD=0B. 在Rt△BPO和Rt△BCD中， (BP=BC OB=DC' ÷Rt△BPO≌Rt△BCD(HL, :OP =BD. :0B=4,0D=2, :BD=0B-OD=2, OP=BD=2, ÷P(0,2: 结合△PPB是等腰三角形，且OB⊥PP1, ÷P(0,-2 ②当BP=PC时，如图， VA 过点C作CE⊥y轴于点E, :C2,4),B(4,0), .CE=2,0E=4,0B=4, 设点P(0,a, :点P为y轴的正半轴上的一点， :.OP=a,EP=4-a, BP=PC, :BP2=PC2, ÷EP2+CE2=0P2+0B2, (4-a)2+22=a2+42, 解得：a=, P(0,): ③当BC=CP时，如图 D (P)O 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去 综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0，-2)或(0，专) 故答案为：(0,2)或(0，-2)或(0，支) 17.(0,-1),（1,0)或(3，-2 【分析】根据二次函数得出A(-1,0),B(3,0),C(0,一3)，结合图象及等腰直角三角形 的性质得出∠DCB=45°=∠OCB,在线段OC上截取CM1=CD=2,结合全等三角形 的判定和性质得出M(0,一1)，作线段BC的垂直平分线1，则直线1的解析式为y=一x, 结合轴对称图形的性质得出M《1,0)作点D关于直线1的对称点M3,即可求解. 【详解】解：在y=x2-2x-3中， 令y=0,得x2-2x-3=0, 解得x=-1或3， A(-1,0),B(3,0), .0B=3, 令x=0,得y=-3, C(0,-3), .0C=3. :抛物线的对称轴为直线x=1,CDx轴交抛物线于点D,C(0,一3)， M D(2,-3), CD=2, 0B=0C=3,∠B0C=90°， .∠0CB=∠0BC=45°， OBIICD, ∴∠0CD=90°， .∠DCB=45o=∠OCB, .在线段OC上截取CM1=CD=2, BC=BC, △BCD≌△BCM(SAS), 如图，此时OM1=3-2=1, M(0,-1: 作线段BC的垂直平分线，则直线1的解析式为y=一x, 作点M1关于直线1的对称点M2, 则△BCD≌△BCM2 此时M1,0: 作点D关于直线1的对称点M3, 则△CBD≌△BCM3, :D(2,-3), M3,-2: 综上，点M的坐标为0，-1)，(1,0)或(3，-2). 18.4 【分析】作EH⊥y轴于点H,利用∠EGC=30·可得EH=EG,则PE+专EG转化为 PE+EH,求出点A,C的坐标，进而求出直线AC的解析式，用含m的式子表示出 PE十EH,转化为顶点式，即可求出最值. 【详解】解：如图，作EH⊥y轴于点H, 令y=x2+2x-3=0, 解得X1=-3,82=1, ·A(-3,0), 当x=0时，y=-3, ·C(0,-3), 设直线AC的解析式为y=kx十b, -3k+b=0 将A(-3,0)和C(0,-3)代入，得： b=-3 ∫k=-1 解得b=一3’ ·直线AC的解析式为y=-x一3； :点P的横坐标为m, ÷点P的坐标为(m,m2+2m-3),点E的坐标为(m,-m-3), :PD=-(m2+2m-3)=-m2-2m+3,ED=-(-m-3)=m+3, EH=-m ÷PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m :∠EGC=30°， ·EH=EG, :PE+支EG=PE+EH=-m2-3m-m=-m2-4m=-(m+2)2+4≤4， :PE+专EG的最大值为4. 19.①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二 次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误. 【详解】解：：抛物线开口向下， a<0, :抛物线与y轴交于负半轴， ÷c<0, :抛物线对称轴在y轴右侧，对称轴为直线x=一是， -8>0, 又：a<0, b>0, ·abc>0,故结论①正确，符合题意. 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于1， ·顶点纵坐标公式得a。>1, 又：a<0,不等式两边同时乘4a(负数)，不等号方向改变， ÷4ac-b2<4a,故结论②正确，符合题意. :抛物线过点(1,1)、(3,0】 .a+b+c=1,9a+3b+c=0, (a+b+c)+(9a+3b+c)=1即10a+4b+2c=1, .5a+2b十c=0.5>0,故结论③错误，不符合题意. :抛物线经过点(1,1)， ·当x=1时，y=a十b+c=1>0,故结论④正确，符合题意. 故正确的结论是①②④. 20.①②③ 【分析】根据图像分别得出a>0,b<0,c<0,从而可判断①：由点A(-2,0)和点B ,与y轴的负半轴交于点C(0,c),且0B=20C,设B(-2c,0),再代入解析式即可判 断（②；利用待定系数法即可判断③；设AN,BM交点为P,对称轴与x轴交点为Q,顶点 为D,根据抛物线的对称性，△APB是等腰直角三角形，A(-2,0),B(-2c,0),得 AB=2-2c,PQ=寺AB=1-c,又对称轴x=-22=-c-1,所以 P(-c-1,c-1),由顶点坐标公式可知D(-c-1,),可得b>1或者 b<一1，再结合b<0即可判断④ 【详解】解：①从图像观察，开口朝上，所以a>0, 对称轴在y轴右侧，所以b<0, 图像与y轴交点在x轴下方，所以c<0, a-b>0,<0,所以①正确： ②点A(-2,0)和点B,与y轴的负半轴交于点C(0,c),且0B=20C, 设B(-2c,0)代入y=ax2+bx+c,得：4ac2-2bc+c=0, “c≠0， 2b-4ac=1,所以②正确： ③：A(-2,0),B(-2c,0), 设抛物线解析式为：y=a(x+2)(x+2c)过C(0,c), ..c=4ac, ·a=寺，所以③正确： ④如图：设AN,BM交点为P,对称轴与x轴交点为Q,顶点为D, B P. 根据抛物线的对称性，△APB是等腰直角三角形， :A(-2,0),B(-2c,0), :.AB=2-2c,PQ=AB=1-c, 又对称轴x=-2-22=-C-1, P(-c-1,c-1), 由顶点坐标公式可知D(-c-1,)， :a=, D(-c-1c-b2), 由题意c-b2<c-1, 解得b>1或者b<-1, 由①知b<0, .b<-1,所以④不正确. 综上所述：①②③正确，