山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一下学期数学周考试卷2026-04-02

山东省莱州一中高一数学周考试卷2026-04-02 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.下列说法正确的是(    ) A. 向量与向量的长度相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 与任意非零向量共线的单位向量是唯一的 D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2.在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(    ) A. B. C. D. 3.已知a和b是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为(    ) A. B. 1 C. D. 4.在中，已知，则的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 5.若非零向量a，b满足，且向量与向量a的夹角为，则的值为(    ) A. B. 0 C. D. 6 6.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点O，G，H分别为的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知D，E分别是的边AB，AC上的点，且满足，，BE与CD交于O，连接AO并延长交BC于F点.若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 2 8.在中，已知，，，P为线段AB上一点不含端点，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.若平面向量，，其中n，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则与b同向的单位向量的坐标为 C. 若，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为 D. 若，则的最小值为4 10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 的最小值为 C. 当有两个解时，a的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，a的取值范围是 11.已知点M是所在平面内一点，则(    ) A. 若M为BC的中点，，则是在上的投影向量 B. 若，则 C. 若，，的夹角两两相等，，，则 D. 若是边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为____. 13.四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中a、b、c、d分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为____. 14.在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是           四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知 若，求实数k的值； 求的最小值． 16.本小题12分 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且 求 若，且的面积为，求的周长. 17.本小题12分 在复平面内，复数对应的点分别为， 求的值； 若是关于x的方程的一个根，求实数的值. 18.本小题12分 在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中CD：：2，米， 要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，AD，AB的长度分别是多少？ 求烧烤区占地面积的最大值. 19.本小题12分 如图，点G是的重心，OG与AB交于M，P，Q分别是边OA，OB上的动点可以与端点重合，且P，G，Q三点共线. 设，，将用，表示; 设，，x，R，求的最小值; 在的条件下，记与的面积分别为S、T，求的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确; 对于两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误; 与任意非零向量共线的单位向量有两个，它们的方向相反，故C错误; 若两个单位向量平行，则这两个单位向量可能相等，也可能互为相反向量，故D错误. 2.【答案】B  【解析】略 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查平面向量共线定理与三点共线问题，属于基础题． 用、是两个不共线的非零向量表示，，再根据A、B、D三点共线可得，故 ，由此求得实数m的值． 【解答】 解：，， ， ，是两个不共线的非零向量，，A、B、D三点共线， ， ， 则，解得 故选 4.【答案】B  【解析】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选： 5.【答案】B  【解析】略 6.【答案】D  【解析】略 7.【答案】A  【解析】略 8.【答案】D  【解析】设，， ，， 即， ， ，， ，， ，，， 根据三角形ABC是直角三角形可得，，，，， 以C为原点，AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，， ， 为线段AB上一点不含端点， 存在实数，使得 易得，， ， ，，，且， 则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为 9.【答案】BD  【解析】略 10.【答案】BD  【解析】对于A，，A错误; 对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，B正确; 对于C，当有两个解时，，即，故a的取值范围是，C错误; 对于D，由，得， 当为锐角三角形时，解得， 则，， 又，所以a的取值范围是，D正确. 11.【答案】ACD  【解析】对于A，由已知等式知，上的单位向量之和与共线，则AM是内角A的平分线，又M为BC的中点，所以是等腰三角形，，则是在上的投影向量，故A正确; 对于B，因为，，所以点M在线段BC上，且，所以，故 B错误; 对于C，易知，，的夹角均为，则，故，故C正确; 对于D，由已知得，连接CM，则，，以M为原点，AB，CM所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，  易知直线BC的方程为，设，所以，，所以，，结合二次函数的性质可知， 当时，取得最小值，为， 当时，取得最大值，为3， 所以的取值范围为，故D正确. 12.【答案】  【解析】解：因为： 故答案为： 13.【答案】  【解析】连接AC， 因为在圆内接四边形ABCD中，，，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，， ，即， 解得或舍去，则， 所以四边形ABCD的面积 14.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由正弦定理可得， ，， ， 三角形ABC为锐角三角形， ， ， 即 故选D 由，推导出，由，推导出，再由正弦定理可得，，由此能求出的取值范围 本题考查三角形中两边和的取值范围的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，辅助角公式，两角和差公式，考查运算求解能力，是中档题． 15.【答案】解：， ， ，，， ， ， 当时，取最小值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】因为， 所以， 即， 即， 即， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以，所以 由余弦定理得，即，① 由的面积为得，即，② 把②代入①得， 所以，即， 所以的周长为   【解析】略 17.【答案】解：复数，对应的点分别为，， ，， ， 是关于x的方程的一个根 易知也为方程的一个根， ，， ，  【解析】【分析】 本题考查了复数的运算，掌握实系数的一元二次方程的两虚根为共轭复数是解题的关键，属于基础题． 利用复数的运算法则，结合共轭复数的定义，即可求解； 根据已知条件，可得实系数的一元二次方程的两虚根为共轭复数，再结合一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【解答】 解：复数，对应的点分别为，， ，， ， 是关于x的方程的一个根 易知也为方程的一个根， ，， ， 18.【答案】米；  平方米．  【解析】解：中，，米， 余弦定理得，即 所以， 根据基本不等式得，可得， 当且仅当时，等号成立． 所以， 解得，即，即米时，米，达最大值． 综上所述，当花卉观赏区的观赏步道的总长度最大时，米． 设米，则米，由，解得 在中，，可得 所以的面积 ， 结合二次函数的性质，可知当时，S取得最大值，最大值为平方米． 即米，米时，烧烤区的占地面积最大，最大面积为平方米． 在中，根据余弦定理算出，然后运用基本不等式算出的最大值，即可得到本题的答案； 设米，则米，在中根据余弦定理求出，然后运用同角三角函数的关系与三角形的面积公式，将烧烤区的面积表示为关于x的函数，运用二次函数的性质求出函数的最大值，进而可得烧烤区占地面积的最大值． 本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值、二次函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 19.【答案】因为G为的重心，所以M为AB的中点，且， 所以， 所以 因为P，Q分别是边OA，OB上的动点，所以，， 因为P，G，Q三点共线，所以设，即， 所以， 若，则点P与点O重合，此时，则O，G，Q三点共线，不合乎题意， 同理若，则Q与O重合，不合乎题意，所以，， 因为，，所以，， 由得，因为，不共线，所以，， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 故的最小值为 ， 由知，所以， 由解得，则， 所以，所以的取值范围是   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $