2026年九年级数学中考二轮复习《几何最值问题》 专题提升训练

**基本信息** 聚焦中考几何最值五大模型，以题型分类为框架，通过典例系统提炼对称转化、隐圆构造、相似比转化等核心方法，构建"模型-方法-应用"的逻辑体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马|7题|对称点转化、两点之间线段最短|利用轴对称将折线距离转化为直线距离| |隐圆问题|4题|定边定角构圆、中点轨迹圆|依据圆的定义及性质确定动点轨迹求最值| |阿氏圆|3题|构造母子相似三角形转化线段|通过相似比将PA+kPB型问题转化为两点距离| |费马点|5题|旋转60°构造等边三角形|利用旋转对称将PA+PB+PC转化为共线线段| |胡不归|3题|三角函数转化含系数线段|将kPA+PB转化为垂线段最短问题|

2026年春九年级数学中考二轮复习《几何最值问题》 常考考点分类填空题专题提升训练（附答案） 一、将军饮马 1.在平面直角坐标系中有A,B两点，坐标分别为A0,2,B2,1,若x轴上存在一点M, 使MA+MB的值最小，那么这个最小值为 2.如图，在口ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,BC=8,点E,F分别是边AB,BC 上的动点，且满足BF=2AE.当AE=(时，△EBF为等边三角形：已知点P为 EF的中点，连接AP,DP,则AP+PD的最小值为 D 3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16.若点D为BC边的中点，点M为 线段EF上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知△CDM周长的最小值是■ E D B 4.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，则 DN+MN的最小值为 B 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知A3,0,B0,2,过点B作y轴的垂线l,P为直 线l上一动点，连接PO,PA,则PO+PA的最小值为· 6.如图，在Rt△ABC中，∠∠ACB=90°，AC=BC,点C在直线MN上， ∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP,BP.当AP+BP的值最小时，∠CBP的 度数为 B M P 7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,将△ABC沿直线BC平移至 △ABC,将点B绕点A逆时针旋转90得到点D,连接DA、DC,在平移过程中， AD-CD的最大值为 B B 二、隐圆问题 8.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=I3,AD=5,C是弧BD上的一个 动点，连接AC,过D点作DH⊥AC于H.连接BH,在点C移动的过程中，BH的最小值 是 D H 0 9.如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(5,12)，点P是⊙M上的任意一点， PA⊥PB,且PA、PB与X轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的 最小值为 y M B 10.如图，点A,B的坐标分别为A4,0,B0,4,C为坐标平面内一动点，且BC=2, 点M为线段AC的中点，连接OM,当AC取最大值时，点M的纵坐标为 B C M 11.如图，已知△ABC,外心为O,BC=18,∠BAC=60°，分别以AB,AC为腰向形 外作等腰直角三角形△ABD与△ACE,连接BE,CD交于点P,则OP的最小值是 三、阿氏圆 12.如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4),B(4,0),P是第一象限内一动点，OP=2, 连接AP、BP,则BP+号AP的最小值是 4A 3 2 1 B -4-3-2-101234 -2 - -4 13.如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB.P为圆O上一动点，过点 P作PM、PN分别垂直于LACB的两边，垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围为一 -B 14.如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6,点C在OA上，且 OC=2AC,点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为. 四、费马点 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有 一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2.若点P是△ABC内一 点，则PA+PB+PC的最小值为 17.如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接 AM,BM,CM,则AM+BM+CM的最小值为 D M 18.如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一 点，则MA+MD十ME的最小值为· D M 19.如图，点E是边长为2的正方形ABCD内一点，连接BE,AE,点P在线段DC上运动， 连接EP,则AE+EP+BE的最小值是· 五、胡不归 20.如图，四边形ABCD是菱形，AB=8,且∠ABC=60°，M为对角线BD(不含B点) 上任意一点，则AM4与BM的最小值为 A M 21.如图，~ABCD中∠A=60°，AB=6,AD=2,P为边CD上一点，则3PD+2PB 的最小值为 22.如图，直线y=x·3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C(0,1)在y轴上，点P在x 轴上运动，则V2PC+PB的最小值为· B 参考答案 1.解：如图，作A0,2关于x轴的对称点A0,-2,连接A'B与x轴交于点M,连接AM, 2 B 1 5-4-3-2-102345 -2A -3 MA=MA, '·MA+MB=MA+MB 两点之间，线段最短， 当A'、M、B三点共线时，AB=MA+MB的值最小，即MA+MB的值最小， A0,-2,B2,1, ∴AB=0-22+-2-1=V13, ∴MA+MB=V13 故答案为：√13. 2.解：设AE=X,由题意可知BF=2X,BE=6-X. 当△EBF为等边三角形时，则有BE=BF,即2X=6-X. ∴.AE=X=2: 如图1，分别过点F,点P作FG⊥AB,PH⊥AB,垂足分别为G,H,连接BP. A D G ∴.∠FGB=PHB=90 图1 .'PHFG, ∴.△EPH△EFG, 些需 ,点P为EF的中点， 匹器} ∴.HE=HG 在Rt△BGF中，∠ABC=60°，∠GFB=30, BG=号BF=X=AE. ∴.HE+AE=HG+BG,即HA=HB. 连接BP,则AP=BP, ∴.AP+PD=BP+PD. .当B,P,D在同一条直线上时，BP+PD最小，即为BD的长 如图2，过点D作DM⊥BC,交BC的延长线于M, 由题意可知，在Rt△DMC中，∠DCM=60°，DC=AB=6, DM-GDsI 4DCA-D CMCD=. 在Rt△DMB中，BM=BC+CM=11,DM=33, ∴.BD=VBM+DM=V112+3V32=237 ∴AP+PD的最小值为2V37 图2 3.解：连接AD,AM. 等腰三角形ABC,点D为BC边的中点， AD⊥BC, BC=4,S△ABc=16, 又：5w=CAD ∴AD=2 SAABC÷BC=2×16÷4=8, :由图中尺规作图的痕迹可以判断出EF为线段AC的垂直平分线， ∴.AE=CE,MA=MC, .MC+DM=MA+DM≥AD, ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴·△CDM周长的最小值为CM+MD+CD=AD+CD=8+2=10. 故答案为：10 4.解：，四边形ABCD是正方形， ∴点D关于AC的对称点是点B 连接BD,BM,且BM交AC于点N,AC与BD交于点O,此时DN+MN的值最小. A ○ ,DM=2,正方形的边长为8， ∴MC=6,BC=8. 由BM2=MC2+BC2=62+82=102,知BM=10. 又，点D与点B关于AC对称， ∴AC⊥BD且平分BD: .'DN=BN. ..DN+MN=BN+MN=BM=10. DN+MN的最小值是10. 故答案为：10 5.解：如下图所示，取点O0,0关于直线的对称点00,4，连接0'P,0A, B 1.00,4 00,0 A 点 与点 关于直线对称， .'PO'=PO, ∴.PO+PA=PO+PA≥OA, 即PO+PA的最小值为O'A的长， 在Rt△OAO中， .0A=3,00=4, .0A=0A+002=3+4=5, ∴.PO+PA的最小值为5 6.解：如图，作B关于MN的对称点D,连接AD,BD,CD, M .CB=CD,PB=PD, ·AP+BP=AP+PD, 当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，即此时AP+BP的值最小， 由轴对称的性质可得∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB, .∠CBP=∠CDP, ,∠BCN=30°， ∴.∠BCD=2∠BCN=60°， ∴△BCD是等边三角形， .'AC=BC, ∴.AC=CD, ∴.∠CAD=∠CDA, .∠ACB=90°，∠BCD=60°， ·.∠CAD=∠CDA=180-∠ACB-∠BCD=15, ∴.∠CBP=∠CDP=15°， 故答案为：15 7.解：如图，作AG⊥BC于G,作AH⊥BC于H,作DE⊥AG于E,交AH于F, 在A'H延长线上取点K,使得FK=AF,连接DK、CK, ,AB=AC=5AG⊥BC B BG=CG=3BC=x×6=3,∠AGB=∠AGC=90e ..AG=VAB2-BG2=4 由旋转的性质得，AD=AB,∠BAD=90°， .∠BAG+∠DAE=90°， .DE⊥AG, ∴.∠DEA=∠DEG=90°， .∴.∠ADE+∠DAE=90°，∠DEA=∠AGB=90°， ∴.∠ADE=∠BAG, ∴.△ADE≌△BAG AAS, ∴.AE=BG=3, ∴.EG=AG-AE=1, .AH⊥BC, ∴.∠A'HB=90, ∴.∠A'HB=∠AGC=∠DEG=90°， ∴.四边形EFHG是矩形， .FH=EG=1, 由平移的性质可得，△ABC≌△ABC, 又.AH、AG分别为△ABC、△ABC对应边的高， ∴.AH=AG=4,CH=CG=3, ∴.AF=AH-FH=3, .FK=AF=3, .HK=FK-FH=3-1=2, ∴.CK=HK2+C'H=2+32=13 ,DF⊥AK,AF=FK, ∴.DF是AK的垂直平分线， ∴.AD=DK, A'D-C'D=DK-CDsC'K=V13, .当D、K、C共线时，AD-CD的最大值为13 故答案为：V13: 8.解：连接BD,取AD的中点E,连接BE,如下图： D .DHLAC ∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值 AB是直径 ∴.∠BDA=90 在Rt△BDA中，AB=13,AD=5 由勾股定理得：BD=AB2-AD2 即：BD2=169-25=144 .BD>0 BD=12 E为AD的中点 DE=号AD=月 在R△BDE中，BD=12,DE=5 由勾股定理得：BE=DE+BD 即：BE2=25+144-601 4 .BE>0 ∴BE=601 2 又，DH⊥AC,且点E为AD的中点 H=号 ∴BH=BE-EH=601-5=601-5 22 2 故答案为： V601-5 2 9.解：连接OP, ,PA⊥PB, ∴.∠APB=90°， .AO=BO, ∴.AB=2PO, 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， 连接OM,交⊙M于点P',当点P位于P'位置时，OP'取得最小值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q, 则0Q=5,MQ=12, ∴.0M=13, 又.MP=4, .OP'=9, ∴.AB=2OP'=18, 故答案是：18. 10.解：如图，点C为坐标平面内一点，BC=2, ∴.C在⊙B上，且半径为2， B 、M A 当C在AB的延长线上时，AC最大， 过点C作CD⊥x轴， 点A,B的坐标分别为A4,0,B0,4, '.OA=OB=4, ∠BOA=90°， ∴·△BOA是等腰直角三角形， ∴.∠A=45°，AB=0A2+0B2=4V2, ∴AC=BC+AB=2+42, CDLx轴， ∴·△CDA是等腰直角三角形， CD=AD :CD+AD2=AC2,即2CD2=2+422, 解得：CD=2+4, ∴.C点的纵坐标为2+4， :点M为线段AC的中点， ∴点M的纵坐标为 2*2, 2+2 故答案为： 11.解：，△ABD与△ACE是等腰直角三角形， .∴.∠BAD=∠CAE=90°， .∠DAC=∠BAE, 在△DAC与△BAE中， AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE ∴.△DAC=△BAE SAS, ∴.∠ADC=∠ABE, ∴.∠PDB+∠PBD=90°， ∴.∠DPB=90, ∴.P在以BC为直径的圆上， :'△ABC的外心为O,∠BAC=60°， ∴.∠B0C=120°， 如图，当PO⊥BC时，OP的值最小， .BC=18 BH=CH=9,OH=1OB ∴.BH=OB2-OH=3OH .OH=33,PH=9, .OP=9-33 则OP的最小值是9-3V3, 故答案为：9-33. H 12.解：如图，取点T(0,1),连接PT,BT. 4大A 3 2 B -4-3-2-10 1234·T(0,1)A(0,4)B(4,0) -1 -2 3 -4 ∴.OT=1,OA=4,OB=4, .OP=2, ∴.0P=OTOA, ..OP=OA OT OP ,∠POT=∠AOP, ∴.△POT一△AOP, “贤8器 PT=TDA. ..PB+-PA=PB+PT, .BT=1+42=V17, .PB+PT≥V17, .BP+AP≥17，（当B、P、T三点共线时取等号） BP+PB的最小值为17. 故答案为：√17 13.解：过点M作MH⊥NP于H,作MF⊥BC于F PM⊥AC,PN⊥CB, ∴.∠PMC=∠PNC=90°， ∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°， ∴.∠MPH=180°-∠MPN=60°， P=PM:os∠MPH=PM·cos60=7PM :.PN+-PM=PN+HP=NH, 'MF⊥BC,PN⊥BC,MH⊥NH, ∴四边形FNHM是矩形， ∴MF=NH, ∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小， 如图1， 图1 连接OP,OG,OC, 可得：四边形OPMG是正方形， ∴.MG=OP=2, 在Rt△COG中，CG=OG.tan60°=23， .CM=CG+GM=2+23, 在R△CMF中，MF=CM-sin∠ACB=2+23×3=3+3, ∴.HN=MF=3+V3, PM+2PN=2PM+PN-2HN=6+2V3. 如图2， H B N 图2 由上知：CG=23,MG=2, .CM=23-2, FM=HN=23-2×3-3-3. :PM+2PN-2PM+PN-2HN-6-23. ∴.6-23≤PM+2PN≤6+23 故答案为：6-23≤PM+2PN≤6+23. 14.解：延长OB到T,使得BT=OB,连接MT,CT. --二三===T“.”○A=6 B ∴.OM=OB=6, ,点D是OB的中点， ∴.OD=DB=3,OT=12 ∴.OM=ODOT, ÷80-80 .∠MOD=∠TOM, .△MOD~△TOM, .DM_OM_1 MT OT2' .∴.MT=2DM ,CM+2DM=CM+MT≥CT, .'OC=2AC, .0C=4, 又.在Rt△OCT中，∠cot=90°，OT=12, ∴.CT=V0C2+0T2=42+12=4/10, .∴.CM+2DM≥4V10, .∴.CM+2DM的最小值为410， 故答案为：4V10: 15.解：如下图，在CA上取一点E,使得CE=4 E D B :AC=9,CD=6,CE=4 CDAC CE CD .LECD=LACD '.△DCE~△ACD ED_DC_6 AD AC 9 :o号0 在△EDB中，ED+DB≥EB .ED+DB最小为EB,即ED+DB=EB AD+DB=EB 在Rt△ECB中，EB=V12+42=410 AD+DB=4310 2AD+3DB=1210 故答案为：12V10. 16.解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△APB,旋转角是60°，连接BB、PP ,CB,如图所示， B -57 C 则∠PAP'=60°，AP=AP',PB=PB, △APP是等边三角形， .AP=PP', PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC, PP'+P'B'+PC≥CB, ∴PP+PB+PC的最小值就是CB的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB'的值， :LBAC=30°，∠BAB=60°，AB=AB=2, .LCAB'=90°，AB'=2,AC=AB.cos L BAC=2XC0s30°=2× 3=3, ∴.CB=AC2+AB2=V7, 故答案为：V7. 17.解：以BM为边作等边△BMN,以BC为边作等边△BCE,则 BM=BN=MN,BC=BE=CE,∠MBN=LCBE=6O°，∴.∠MBC=LNBE,∴.△BCM=△BEN,∴. CM=NE,∴.AM+MB+CM=AM+MW+NE.当A、M、N、E四点共线时取最小值AE. :AB=BC=BE=6,∠ABH=LEBH=60,∴BHLAE,.AH=EH,∠BAH=30°，BH=2AB=3,A 1 H-V3BH=33,..AE=2AH-6V3. 故答案为63. D B H E 18.解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AMD', G 由性质的性质可知：MD=MD',△ADD和△AMM均为等边三角形， ∴AM=MM, ..MA+MD+ME=D'M+MM+ME, DM、MM、ME共线时最短， 由于点E也为动点， '当DE⊥BC时最短，此时易求得DE=D'G十GE=4+33 ∴MA+MD+ME的最小值为4+33， 故答案为：4+33 19.解：如图所示，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△A'BE,连接EE,过点A作 AG⊥DC,交AB,CD于点F,G,则∠EBE'=∠ABA=60°，FG=CB=2, ·△ABE≌△ABE, ∴·AE=AE,BE=BE, “△BEE是等边三角形， BE=EE, ·AE+BE+PE=AE+EE+EP, 当点A,E,E,P四点共线且AP⊥CD时，取得最小值AG, :四边形ABCD是正方形，边长为2，△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△ABE, ·AB=AB=2,∠ABA=60°，∠BAF=30°， .BF-TAB=1. ∴AF=AB2-BF2=V2-1=3, AG=AF+FG=V3+2, ∴AE+EP+BE的最小值是3+2， 故答案为：√3+2. 20.解：如图，过点A作AT⊥BC于T,过点M作MH⊥BC于H. A D TH C 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴LDBC= ∠ABC=30°， .MH⊥BC,∴.∠BHM=90°， 1 MH-ZBM. ..AM+-BM=AM+MH, :AT⊥BC,∴.∠ATB=90, AT=AB.sin60°=43， .AM+MH2AT, AM+MH243, AM+-BM24V3. MM4BM的最小值为43， 故答案为：4V3. 21.解：如图，过点P作PH⊥AD,交AD的延长线于H, H D .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB/UCD, ∴∠A=∠PDH=60° PH⊥AD .∠DPH=30° DH-PD.PH-93DHPD. 2 3PD+2PB=2(PD+PB)=2(PH+PB) 2 .当点H,点P,点B三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值， 此时BH⊥AH,∠ABH=30°，∠A=60°， AH-AB=3,BH-85AH-3 则V3PD+2PB最小值为63， 故答案为：63. 22.解：如图所示，过P作PD⊥AB于D, 直线y=x·3分别交x轴、y轴于B、A两点， 令x=0,则y=-3;令y=0,则x=3, A(0,-3),B(3,0), .A0=BO=3, 又，∠AOB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴.LBAO=∠ABO=45°=∠BPD, ∴△BDP是等腰直角三角形， ∴PDU B. 2 PCP(P2(PCPD) 2 当C,P,D在同一直线上，即CDLAB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD 的长， 此时，△ACD是等腰直角三角形， 又：点C(0,1)在y轴上， B .'AC=1+3=4, V2 ∴.CDU AC=22, 即PC+PD的最小值为2V2, 2PC+PB的最小值为2×22=元4， 故答案为：4.