精品解析：江西赣州市第一中学2025-2026学年高一年级4月期中考试数学学科试题

赣州一中2026年4月高一年级期中考试数学学科试题 命题人：彭小明 审题人：刘县萍 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 (选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分针转一圈60min共，将钟表的分针调快10分钟，为顺时针， 则分针转动的角为． 2. 已知扇形的中心角为，半径为，则其面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 圆心角化为弧度，由面积公式计算． 【详解】，∴扇形面积为． 故选：D． 3. 如果是第二象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由的范围判断的的范围，先写出角的范围，再除以3，求出角的的范围，看出角的范围． 【详解】解：是第二象限角， ，，， ，，． 是第一或二，四象限角． 故选． 【点睛】本题考查了角的范围，考查象限角，解题的关键是写出象限角的范围，根据不等式的做法，写出要求的角的范围． 4. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果. 【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反， ，充分性成立； 当时，的夹角可能为钝角，此时不存在负数，使得，必要性不成立； “存在负数，使得”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 6. 在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）. A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果. 【详解】 因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心 故选:A 7. 函数 在区间 内的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，， 此时， 当时，， 此时， 结合图象可知，A图象符合题意. 8. 已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得，由题意可得在上至少有两个相邻的对称轴，根据正弦函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知， 由于， 则在上至少有两个相邻的对称轴， 令，，则，， 当时，不等式组无解，当时，解为， 因此的最小值为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量 则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 可以构成一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量平行坐标运算求解判断A，D，应用数量积运算判断B，根据坐标表示及数乘运算判断C. 【详解】因为向量  因为，所以，A选项正确； 因为，所以不成立，B选项错误； ，与方向相反，C选项正确； 因为，所以不可以构成一组基底，D选项错误； 10. 已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 为周期函数 D. 在内单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令进行判断，对于C，令进行判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，令，得，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，令，则，因为， 所以，所以为奇函数，所以B正确， 对于C，令，则， 所以，所以， 所以，所以， 所以的周期为，所以C正确， 对于D，因为，，，的周期为， 所以， 令，则，所以，得， 所以，所以在上不单调，所以D错误， 故选：BC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为2 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间是增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：构造即可得；对B：由，，则，即可得；对C：构造即可得；对D：由复合函数单调性即可得. 【详解】， 故的一个周期为，A正确； 由，，则，， 故，B错误； ， 故的图象关于直线对称，C正确； 由时，，且随增大而增大，故随增大而增大， ，且随增大而减小，故随增大而增大， 故在区间是增函数，D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷(选择题共92分) 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则向量与的夹角为______ 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即， 又，所以，则， 因为，所以. 13. 已知函数，且 ，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】构造新函数，根据函数奇偶性求解即可. 【详解】令， 因为， 所以函数是定义域内的奇函数， 因为， 所以. 14. 已知，则的最大值为___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】设，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可. 【详解】设，则， 所以， 由辅助角公式得， 其中，当时取得等号， 解得，即的最大值为，不妨取为锐角， 此时有，，符合题意. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求 的值; （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值. 【小问1详解】 且，. 且， 因此，； 【小问2详解】 由（1）知，，，， ， 、，， 因此，. 16. 平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且． （1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出的范围； （2）若，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2)16 【解析】 【分析】（1）由可得．故 ，，将问题转化为二次函数的最值求解；（2）由于，，再根据条件求出的值，进而确定出的坐标，然后根据求解． 【详解】（1）由题意得=（x+4，y﹣2），， ∵， ∴（x+4）y﹣（y﹣2）x=0， 整理得即x+2y=0． ∴ =，y∈[0，2]． 结合二次函数的知识可得． ∴ 的范围是． （2）由题意，， ∵， ∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0， 即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0， 由，解得或， 当 时，，，则； 当 时，，，则． 综上可得 四边形ABCD的面积为16． 【点睛】解答本题时注意以下两点： （1）注意向量的工具性作用，解题时通过向量的运算、向量的平行或向量的数量积将问题逐步转化，进而达到求解的目的． （2）求解时要结合平面图形进行，逐步将平面几何中的计算问题转化为向量的运算问题求解． 17. 在中，，，QA与PB相交于点C，设， （1）用，表示； （2）过C点作直线分别与线段OQ，OP交于点M，N，设，，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由三点共线可得，存在使，则；同理由P，C，B三点共线，存在使，根据平面向量基本定理即可求出，，得出结果； （2）由三点共线可得，存在使，又由（1）知，根据平面向量基本定理即可求出，再求得结果． 【小问1详解】 ，C，Q三点共线，设， 即，， 同理由P，C，B三点共线可得： ，其中， 根据平面向量基本定理知：，解得，. 【小问2详解】 由三点共线， 又由（1）知， 所以 故 ，当且仅当 故的最小值为. 18. 已知函数 将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象. （1）求函数的对称中心及函数的单调减区间； （2）若，求函数的值域； （3）区间满足在至少含有100个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的对称性及单调性，整体代入法求解即可. （2）根据函数图像平移得到的解析式，结合正弦函数的性质求值域即可. （3）结合正弦函数的性质得到的零点，求出相邻零点的间隔为和，根据至少含有100个零点得到至少有99个间隔，则取最小值时，间隔应尽可能多，进而求解即可. 【小问1详解】 令，，解得，， 所以函数的对称中心为. 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 函数图象向左平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到函数的图象，所以. 因为，所以，则， 所以， 即，函数的值域为. 【小问3详解】 令 ，则， 所以或，， 解得或，. 则相邻零点的间隔为或， 要使区间上至少有100个零点，相邻零点间交替出现和的间隔， 要使最小，可取100个零点，此时对应99个间隔，使间隔尽可能多即可， 即50个间隔为，49个间隔为， 所以的最小值为. 19. 设非零向量 ，定义 （1）若 ，求 （2）写出 之间的等量关系，并加以证明； （3）若 求证：集合 是有限集. 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义即可求解，进而根据模长公式即可求解； （2）根据所给定义以及模长公式即可求解； （3）利用（2）的结论可得，进而可设，根据定义即可结合和差角的公式化简求解. 【小问1详解】 因为， 则， 依题意得， 所以， 即，所以. 【小问2详解】 的等量关系是， 证明如下： 依题意得， 所以. 因为，所以 即， 所以， 故. 【小问3详解】 由（2）及得.依此类推得， 设， 则. 依题意得， ， ， 所以. 同理得， ， ， . 所以. 综上，集合是有限集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州一中2026年4月高一年级期中考试数学学科试题 命题人：彭小明 审题人：刘县萍 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 (选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的中心角为，半径为，则其面积为（　　） A. B. C. D. 3. 如果是第二象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）. A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 7. 函数 在区间 内的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量 则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 可以构成一组基底 10. 已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 为周期函数 D. 在内单调递减 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为2 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间是增函数 第Ⅱ卷(选择题共92分) 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则向量与的夹角为______ 13. 已知函数，且 ，则____________. 14. 已知，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求 的值; （2）求的值. 16. 平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且． （1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出的范围； （2）若，求四边形ABCD的面积． 17. 在中，，，QA与PB相交于点C，设， （1）用，表示； （2）过C点作直线分别与线段OQ，OP交于点M，N，设，，求的最小值. 18. 已知函数 将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象. （1）求函数的对称中心及函数的单调减区间； （2）若，求函数的值域； （3）区间满足在至少含有100个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 19. 设非零向量 ，定义 （1）若 ，求 （2）写出 之间的等量关系，并加以证明； （3）若 求证：集合 是有限集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $