题号猜押03 上海中考数学11～15题（9大考点，填空题）（上海专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03 上海中考数学11~15题（填空题） 考点一 概率计算 1．（2026·上海黄浦·二模）现有4张卡片，上面分别标记着3、4、5、6，从中随机抽取2张，将上面标记的两个数分别作为分子和分母，所得分数是最简分数的概率是_____． 2．（2026·上海崇明·二模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 3．（2025·上海徐汇·二模）三张外观相同的卡片分别标有数字，，，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于的概率是_______． 4．（2025·上海普陀·二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 5．（2025·上海虹口·二模）某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 6．（2025·上海宝山·二模）从2，3，5三个数中，随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率是______． 考点二 平面向量线性运算 1．（2026·上海黄浦·二模）已知向量与方向相反，且，那么_____（用向量表示）． 2．（2026·上海崇明·二模）在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 3．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示___________． 4．（2025·上海静安·二模）如图，点是的重心，已知，，那么向量______．（用向量、表示） 5．（2025·上海普陀·二模）如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么________． 6．（2025·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是___________． 考点三 统计应用（样本估计总体） 1．（2026·上海黄浦·二模）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷调查，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐_____份． 套餐需求量统计表 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 数量 12 10 10 12 10 2．（2026·上海崇明·二模）为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展“逐梦科技强国”为主题的活动，随机抽取了200名学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），整理后将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共1200人，请估计全校模型设计成绩不低于80分的学生共有__________人． 3．（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有______人． 4．（2025·上海闵行·二模）为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是______人． 5．（2025·上海宝山·二模）为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是______． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 6．（2025·上海嘉定·二模）为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共有人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有__人． 类别 跳绳次数 A B C D E 考点四 一元二次方程根的判别式 1．（2026·上海崇明·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 2．（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是________． 3．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是_________． 考点五 函数解析式（分段 / 增长率） 1．（2025·上海黄浦·二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为千克（），那么快递费（元）关于物品重量（千克）的函数解析式为_______________． 2．（2025·上海杨浦·二模）某新能源汽车销售公司2022年盈利a万元，如果该公司每年盈利增长的百分率都为，那么该公司2024年盈利______万元．（用含a的代数式表示） 考点六 一次函数与反比例函数 1．（2026·上海黄浦·二模）已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 2．（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 3．（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 4．（2025·上海杨浦·二模）如果将直线平移，使其经过点，那么平移后所得直线的表达式是______． 5．（2025·上海嘉定·二模）已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 6．（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 考点七 二次函数图像与性质 1．（2026·上海崇明·二模）将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 2．（2025·上海徐汇·二模）若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是____________． 3．（2025·上海徐汇·二模）如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是____________． 4．（2025·上海虹口·二模）如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 5．（2025·上海杨浦·二模）如果抛物线不经过第二象限，且它的对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是______（只需写出一个即可）． 6．（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 考点八 三角形与四边形 1．（2026·上海黄浦·二模）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为_________． 2．（2025·上海普陀·二模）如图，在中，，是边的中点，过点作交边于点，如果，，那么________． 3．（2025·上海普陀·二模）在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么的长等于________． 4．（2025·上海宝山·二模）如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是______．（结果用含的三角比的代数式表示） 考点九 圆与正多边形 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 2．（2025·上海虹口·二模）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 3．（2025·上海浦东新·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为__． 1．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是__． 2．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格记为相邻区域（框线内部），数字3表示在此区域有3颗地雷．那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是_________． 3．某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是______元． 4．方程的解是______． 5．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是__________． 6．已知在直角梯形中，，，，，，那么梯形的周长为______． 7．已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么______（用含、的式子表示）． 8．如果是一元二次方程的解，那么______． 9．已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可） 10．已知一个多边形的外角和与内角和的比为，则这个多边形的边数为______________ 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 上海中考数学11~15题（填空题） 考点一 概率计算 1．（2026·上海黄浦·二模）现有4张卡片，上面分别标记着3、4、5、6，从中随机抽取2张，将上面标记的两个数分别作为分子和分母，所得分数是最简分数的概率是_____． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】先列举出所有等可能的结果，再找出符合“所得分数是最简分数”条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：根据题意，从中随机抽取张，将两个数分别作为分子和分母，所有等可能的结果为： ,,,,,,,,,,,，共种等可能的结果． 其中是最简分数的结果为:,,,,,,,，共种． 根据概率公式可得，所得分数是最简分数的概率为. 2．（2026·上海崇明·二模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：要使天平恢复平衡，选取的两件物品质量为， 列表如下： / / / 共有6种可能的结果，使天平恢复平衡的有2种， 天平恢复平衡的概率为： 3．（2025·上海徐汇·二模）三张外观相同的卡片分别标有数字，，，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于的概率是_______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都是小于3的情况数，再利用概率公式即可求出答案． 【详解】画树状图得：    因为一共六种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都是小于3的有两种情况， 所以两张卡片上的数字恰好都是小于3的概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查了利用树状图或者列表法求出概率，解题的关键是要注意是否有放回，用到的知识点是：概率=所求情况和总情况的比． 4．（2025·上海普陀·二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率公式，根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：由题意可得， 任意摸出一个球恰好为红球的概率， 故答案为：． 5．（2025·上海虹口·二模）某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用九年级学生人数除以学生总数即可得到答案． 【详解】解；∵一共有名学生，其中九年级有3名学生，且每个学生被选到的概率相同， ∴随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，选到九年级学生的概率， 故答案为：． 6．（2025·上海宝山·二模）从2，3，5三个数中，随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意列表如下， 2 3 5 2 3 5 共有6种等可能的结果，其中积是偶数的结果有，，，共4种， ∴其积是偶数的概率是：， 故答案为： 考点二 平面向量线性运算 1．（2026·上海黄浦·二模）已知向量与方向相反，且，那么_____（用向量表示）． 【答案】 【知识点】实数与向量相乘、向量的相关概念 【分析】根据已知条件得到向量与的模长关系和方向关系，根据共线向量的性质解答即可． 【详解】解：∵向量与方向相反，且， ∴， ∵两个向量方向相反，系数为负， ∴． 故答案为． 2．（2026·上海崇明·二模）在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】先根据向量的运算法则求出，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，画图如下： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 3．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示___________． 【答案】 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题考查三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，向量的线性运算．熟练掌握三角形重心的性质和相似三角形的性质是解题的关键．连接并延长交于点，根据重心的性质可得，根据相似三角形的性质可得，进而根据向量的计算可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 又， ， ，即 ， 则． ． 故答案为：． 4．（2025·上海静安·二模）如图，点是的重心，已知，，那么向量______．（用向量、表示） 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、向量的线性运算 【分析】本题主要考查了平面向量的线性运算、三角形法则、三角形重心的性质等知识点，掌握向量的运算法则成为解题的关键． 如图：延长交于点D，则，即，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点D， ∵点是的重心， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·上海普陀·二模）如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么________． 【答案】 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，利用三角形的法则以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是___________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、向量的线性运算 【分析】本题考查平面向量、梯形、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．依题意得出，四边形为平行四边形，则，进而得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， ， ， ， ，四边形为平行四边形， ， 点是边的中点， 故答案为：． 考点三 统计应用（样本估计总体） 1．（2026·上海黄浦·二模）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷调查，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐_____份． 套餐需求量统计表 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 数量 12 10 10 12 10 【答案】864 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】先计算抽取的样本中五天的总需求量，再根据样本容量与总体容量的比例，估算出总体五天的总需求量． 【详解】解：由题意可得，抽取的名老人五天的总需求量为：； 总体容量为，样本容量为，因此总需求量约为 ． 2．（2026·上海崇明·二模）为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展“逐梦科技强国”为主题的活动，随机抽取了200名学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），整理后将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共1200人，请估计全校模型设计成绩不低于80分的学生共有__________人． 【答案】 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【详解】解：， （人）， 故估计全校模型设计成绩不低于80分的学生共有人 ． 3．（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有______人． 【答案】192 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】此题考查了样本估计总体，用600乘以样本中不少于60分钟的学生人数所占的百分比求解即可． 【详解】解：（人）． ∴估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有192人． 故答案为：192． 4．（2025·上海闵行·二模）为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是______人． 【答案】 【知识点】频数分布直方图、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】根据样本估计总体，用乘以做家务的时间少于2小时的学生人数的占比即可求解． 【详解】解：如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了样本估计总体，频数分布直方图，熟练掌握样本估计总体是解题的关键． 5．（2025·上海宝山·二模）为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是______． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 【答案】450 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握方法是解答本题的关键．按照方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：450． 6．（2025·上海嘉定·二模）为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共有人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有__人． 类别 跳绳次数 A B C D E 【答案】 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了统计图的应用，用样本估计总体，根据统计图获取正确数据是解题的关键． 根据统计图得到一分钟跳绳次数不低于180个的学生所占百分比为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据统计图得一分钟跳绳次数不低于180个的学生所占百分比为， （人）， 故答案为：． 考点四 一元二次方程根的判别式 1．（2026·上海崇明·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】且/且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 2．（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况求参数的方法． 方程有实数根，即根的判别式． 【详解】解：方程有实数根， ， ． 故答案为：． 3．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 考点五 函数解析式（分段 / 增长率） 1．（2025·上海黄浦·二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为千克（），那么快递费（元）关于物品重量（千克）的函数解析式为_______________． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意，可以写出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴y与x之间的函数关系式为：． 故答案为：． 2．（2025·上海杨浦·二模）某新能源汽车销售公司2022年盈利a万元，如果该公司每年盈利增长的百分率都为，那么该公司2024年盈利______万元．（用含a的代数式表示） 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意可得2023年盈利万元，则2024年盈利万元． 【详解】解；由题意得，该公司2024年盈利万元， 故答案为；． 考点六 一次函数与反比例函数 1．（2026·上海黄浦·二模）已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 【答案】10 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】先求出、两点的坐标，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在直线中， 令，则； 令，则，解得； ，． ． 2．（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 4．（2025·上海杨浦·二模）如果将直线平移，使其经过点，那么平移后所得直线的表达式是______． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数图象平移，待定系数法求一次函数解析式；设平移后所得直线的表达式是，将点代入，计算得出即可求出． 【详解】解：根据题意，经过平移k值不变， ∴设平移后所得直线的表达式是， 将点代入，得 ∴ 故答案为：． 5．（2025·上海嘉定·二模）已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是，再根据一次函数的图象经过点，求得． 【详解】解：设直线解析式是， ∵它与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴这个一次函数的解析式是． 故答案为：． 考点七 二次函数图像与性质 1．（2026·上海崇明·二模）将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式，再利用y轴上点的横坐标为，代入解析式求出纵坐标，即可得到交点坐标 ． 【详解】解：∵ 将抛物线向上平移个单位， 根据平移的“上加下减”规律，可得新抛物线解析式为： ， 整理得 . ∵ 抛物线与轴交点的横坐标为， 将代入新抛物线解析式，得， ∴ 所得新抛物线与轴的交点坐标为 ． 2．（2025·上海徐汇·二模）若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了本题考二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：∵拋物线，对称轴为直线，在直线右侧部分是下降的， ∴该函数的开口向下， ， 故答案为：． 3．（2025·上海徐汇·二模）如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是____________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质． 首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可． 【详解】解：∵的对称轴为， 点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为． 故答案为：． 4．（2025·上海虹口·二模）如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行解即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，平移后所得新抛物线的表达式是：； 故答案为：． 5．（2025·上海杨浦·二模）如果抛物线不经过第二象限，且它的对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是______（只需写出一个即可）． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查抛物线的表达式；设抛物线为，根据题意求出的取值范围并对其取值即可求出． 【详解】解：设抛物线为 ∵抛物线不经过第二象限， ∴ 设， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ∴ 设 ∵抛物线为 ∴ ∵抛物线不经过第二象限， ∴当时， ∴ ∴设 ∴ 故答案为：． 6．（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 考点八 三角形与四边形 1．（2026·上海黄浦·二模）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】或 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 2．（2025·上海普陀·二模）如图，在中，，是边的中点，过点作交边于点，如果，，那么________． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据等边三角形的判断得的等边三角形，所以，，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·上海普陀·二模）在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么的长等于________． 【答案】/ 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．连接，，，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·上海宝山·二模）如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是______．（结果用含的三角比的代数式表示） 【答案】 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查矩形的性质，萎形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：当两个宽度均为1的矩形交叉形成锐角时，重叠部分为菱形． 菱形的边长由矩形宽度在垂直方向上的投影决定． 由于每个矩形的宽度为1，且两矩形夹角为，菱形的高为1， ∴菱形的边长为：， 因此，菱形的周长为， 故答案为∶． 考点九 圆与正多边形 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 【答案】5 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．利用垂径定理求出是解题的关键． 连接，根据，，得到，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴ 故答案为：5． 2．（2025·上海虹口·二模）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形的边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，在中，，， ，又， ， 即正六边形的边长为， 设正六边形的中心为，连接，过点作于点， 则， 在中，，， ， 即正六边形的边心距为， 故答案为：． 3．（2025·上海浦东新·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为__． 【答案】2 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 1．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是__． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握列表法或画树状图法求概率的方法． 画树状图得到共有种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有种， 乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是， 故答案为：． 2．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格记为相邻区域（框线内部），数字3表示在此区域有3颗地雷．那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是_________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率求解公式，解题的关键是根据题意得出相邻区域的方格数量和地雷的数量． 根据题意得到与标号3的方格相邻的方格数量和地雷的数量，再根据概率公式求解，即可解题． 【详解】解：与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格有个，其中有3颗地雷， 那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是； 故答案为：． 3．某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是______元． 【答案】150 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这件商品的原价是x元，利用售价原价，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的原价是x元， 根据题意得：，解得：， ∴这件商品的原价是150元． 故答案为：150． 4．方程的解是______． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解析：， ， ∴， 经检验是原方程增根，舍去； 所以原方程根为． 5．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件为判别式等于零，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：方程 中，，，， 判别式 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴ ，即 ， 解得 ， 故答案为：． 6．已知在直角梯形中，，，，，，那么梯形的周长为______． 【答案】/ 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、直角梯形的定义 【分析】本题考查了直角梯形，矩形的判定与性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．过D作于H，可证四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，求得，从而，得到，于是得到结论． 【详解】解：过D作于H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 7．已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么______（用含、的式子表示）． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系． 先求出的值，再根据求，即可得出答案． 【详解】解：在中，是边的中点， ， 又∵，， ， 故答案为：． 8．如果是一元二次方程的解，那么______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入，进而可求出a的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为： 9．已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键． 由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：在正比例函数中， ∵的值随的值增大而减小， ∴． 解不等式得 ． ∴只要取大于2的数都符合题意； 故答案为：3（答案不唯一）． 10．已知一个多边形的外角和与内角和的比为，则这个多边形的边数为______________ 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角与外角，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是解题的关键．根据多边形的外角和为360°，由内角和和外角和的比，即可得到多边形的内角和，根据公式求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，外角和：内角和=， ∴多边形的内角和为， 设多边形的边数为n， ∴， ∴， 故答案为：6． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $