考点15 空间点、直线、平面之间的位置关系（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点15 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点一：平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 考点二：平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 考点三：空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 题型一：符号的正确使用 点与直线、点与平面用∈/∉，直线与平面用⊂/⊄，直线与直线、平面与平面用∥/∩，严格按位置关系对应符号，不混用、不写错。 【例1】如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【变式1-3】如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________． 题型二：空间位置的画法 平面水平画时锐角为45°，横边长为邻边的2倍；竖直平面画一组铅垂对边。线面平行、相交、异面要画清楚遮挡，平面相交必须画出交线，保证直观规范。 【例3】图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 【变式2-1】（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【变式2-3】（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 题型三：证明点（线）共面问题 先由部分点或直线确定一个平面（利用基本事实1及三个推论），再证明其余点/直线都在这个平面内（利用基本事实2：点在直线上、直线在平面内，则点在平面内）。 【例5】下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【例6】如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【变式3-1】（多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【变式3-2】如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 题型四：证明线共点问题 先证明两条直线交于一点，再证明这个交点在两个平面的交线上，利用基本事实3说明该点在第三条直线上，从而得出多条直线共点。 【例7】如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【例8】已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【变式4-1】如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【变式4-2】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【变式4-3】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 题型五：证明点共线问题 证明这些点都是两个相交平面的公共点，根据基本事实3，公共点都在两平面唯一的交线上，即可证得多点共线。 【例9】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【例10】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【变式5-1】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式5-2】平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线． 【变式5-3】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 题型六：直线与直线的位置关系 先判断是共面还是异面，共面再分平行或相交；异面用定义判定：不同在任何一个平面内。平行用a∥b，相交用a∩b=A表示。 【例11】如图，连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，该正八面体的所有棱中，互为异面直线的棱共有（    ） A．12对 B．18对 C．24对 D．48对 【例12】如果空间两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【变式6-1】已知正方体，E为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（    ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式6-2】如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在正方体中，，分别为线段，的中点，则在该正方体的12条棱中，与平行的棱共有______条. 题型七：直线与平面的位置关系 【例13】如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 【例14】如图，在直四棱柱中，底面为矩形，分别为的中点，则（    ） A．平面且 B．平面且与不垂直 C．与平面相交且 D．与平面相交且与不垂直 【变式7-1】在长方体中，直线与平面的位置关系用符号表示为________． 【变式7-2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 【变式7-3】如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？ 题型八：平面与平面的位置关系 【例15】平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【例16】在正方体中． (1)写出与平面平行的平面，并用合适的符号表示； (2)写出平面与平面的位置关系，并用合适的符号表示． 【变式8-1】若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________. 【变式8-2】如图，在正方体中． （1）______； （2）______； （3）平面______； （4）平面平面______； （5）平面平面______； （6）平面平面______； （7）平面平面平面______． 【变式8-3】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交. 一、单选题 1．三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 2．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在长方体中，与棱异面的棱有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 4．若，则与的位置关系可能是（   ） A．平行或异面 B．相交或异面 C．平行、相交或异面 D．平行或相交 5．直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 6．在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 二、多选题 7．如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（    ） A．   B．   C．   D．   8．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．，，，四点共面 B．为异面直线 C．，，三线共点 D． 三、填空题 9．若点在直线上，点不在平面内，则直线与平面的位置关系是_________，用符号表示为________． 10．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    11．已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 四、解答题 12．如图，观察正方体，证明直线与与为异面直线． 13．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 14．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点15 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点一：平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 考点二：平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 考点三：空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 题型一：符号的正确使用 点与直线、点与平面用∈/∉，直线与平面用⊂/⊄，直线与直线、平面与平面用∥/∩，严格按位置关系对应符号，不混用、不写错。 【例1】如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误； 而直线在平面内表示为，C错误，D正确． 故选：D 【例2】用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线在平面内，得；由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错. 故选：A 【变式1-1】已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 【变式1-2】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 【变式1-3】如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________． 【答案】 【详解】根据点线面的位置关系即可知答案为： ；；；；；；. 题型二：空间位置的画法 平面水平画时锐角为45°，横边长为邻边的2倍；竖直平面画一组铅垂对边。线面平行、相交、异面要画清楚遮挡，平面相交必须画出交线，保证直观规范。 【例3】图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两平面相交画出公共直线作为交线， 且看不到的直线为虚线，故只有D正确. 故选：D 【例4】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 【答案】(1)，，，．图形见解析 (2)，，，，，，．图形见解析 【分析】 【详解】（1），，，．大致图形如图（1）． （2），，，，，，．大致图形如图（2）． 【变式2-1】（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 【变式2-2】如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)O必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）在长方体中， 如图所示： 设与的交点为，因为平面，平面， 所以平面，平面， 故必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） （2）因为平面，平面， 所以平面与平面的交线为. 如图：作出平面与平面的交线为． 【变式2-3】（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【详解】符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         题型三：证明点（线）共面问题 先由部分点或直线确定一个平面（利用基本事实1及三个推论），再证明其余点/直线都在这个平面内（利用基本事实2：点在直线上、直线在平面内，则点在平面内）。 【例5】下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C 【详解】对于选项A：不在同一条直线上三点确定一个平面，故A错误； 对于选项B：三条平行直线不一定能确定一个平面， 例如三棱柱的三条侧棱所在的直线，这三条直线就不共面，故B错误； 对于选项C：因为梯形有两边是平行的，且两条平行直线是共面直线， 所以梯形的四个顶点确定一个平面，故C正确； 对于选项D：两两相交的三条直线不一定能确定一个平面， 例如三棱锥的三条侧棱所在直线，这三条直线就不共面，故D错误. 【例6】如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【答案】/ 【详解】如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点， 连接，则， 故，即，则． 故答案为： 【变式3-1】（多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 【变式3-2】如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【答案】证明见解析 【详解】证明：因为、、是同一直线上的点，在直线外， 故直线和点确定一平面，所以四点共面，设该平面为， 由于，故直线，同理， 所以直线、、在同一平面上. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 【答案】存在，证明见解析 【详解】存在，当为的中点，点D，C，E，G共面. 证明如下： 取的中点，连接， 又∵点是的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段上存在一点（的中点），使得点共面. 题型四：证明线共点问题 先证明两条直线交于一点，再证明这个交点在两个平面的交线上，利用基本事实3说明该点在第三条直线上，从而得出多条直线共点。 【例7】如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【答案】 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. 【例8】已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 【变式4-1】如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 【变式4-2】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式4-3】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 题型五：证明点共线问题 证明这些点都是两个相交平面的公共点，根据基本事实3，公共点都在两平面唯一的交线上，即可证得多点共线。 【例9】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【例10】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 【变式5-1】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式5-2】平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知， 它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面， 且和的对应边所在的直线都相交．    设与交于点，则平面平面， ∴点必落在平面与平面的交线上， 同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上， ∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向， 便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．    【变式5-3】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 题型六：直线与直线的位置关系 先判断是共面还是异面，共面再分平行或相交；异面用定义判定：不同在任何一个平面内。平行用a∥b，相交用a∩b=A表示。 【例11】如图，连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，该正八面体的所有棱中，互为异面直线的棱共有（    ） A．12对 B．18对 C．24对 D．48对 【答案】C 【详解】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条， 故共有对异面直线． 【例12】如果空间两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【详解】因为两条直线异面或平行时，都没有公共点， 所以D选项正确. 【变式6-1】已知正方体，E为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（    ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】 对于直线，在底面内，不与共面，也不相交,所以是异面直线. 对于直线，与不在同一平面，无交点，不平行，所以是异面直线. 对于直线,与相交于中心点，是相交直线，所以不是异面直线. 对于直线,两者无交点，不平行，不在同一平面内，所以是异面直线. 【变式6-2】如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以所在平面作为下底面还原， 则重合，重合，还原成如图正方体: 对于A，由图可得异面不平行，故A错误； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图可得异面不平行，故D错误. 【变式6-3】在正方体中，，分别为线段，的中点，则在该正方体的12条棱中，与平行的棱共有______条. 【答案】4 【详解】 因为，分别为线段，的中点，所以. 正方体中，， 所以与平行的棱共有4条. 故答案为：4. 题型七：直线与平面的位置关系 【例13】如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，同理，. 又，则. 故选：A. 【例14】如图，在直四棱柱中，底面为矩形，分别为的中点，则（    ） A．平面且 B．平面且与不垂直 C．与平面相交且 D．与平面相交且与不垂直 【答案】C 【详解】解：延长､相交于点，连接， 因为点､分别是的中点， 所以， 所以､､三点共线，所以与平面相交， 与平面相交，故A､不正确； 对于､：连接与相交于点，因为是的中点， 所以， 又，所以∽， 所以， 又， 所以， 所以，所以， 又，所以， 故C正确，不正确， 故选：. 【变式7-1】在长方体中，直线与平面的位置关系用符号表示为________． 【答案】平面 【详解】由长方体的性质可得直线与平面平行， 用符号可表示为平面. 【变式7-2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交. 【详解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交. （2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交. （3）因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行. （4）因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交. 【变式7-3】如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？ 【答案】直线与平面ABCD相交，直线与平面ABCD相交.证明见解析. 【详解】①直线与平面相交.理由如下： 在长方体中，点P为的中点， 所以，且， 所以四边形是梯形，所以与AB相交，设交点为M，如图， 所以，又平面，所以平面， 故点M是直线与平面的公共点， 所以直线与平面相交； ②直线与平面相交.理由如下： 如图，连接BD，在长方体中，点P为的中点， 所以，且， 所以四边形是梯形，所以与BD相交，设交点为N， 所以，又平面，所以平面， 故点N是直线与平面的公共点， 所以直线与平面相交. 题型八：平面与平面的位置关系 【例15】平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【答案】C 【详解】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C.    【例16】在正方体中． (1)写出与平面平行的平面，并用合适的符号表示； (2)写出平面与平面的位置关系，并用合适的符号表示． 【答案】(1)与平面平行的平面有，符号表示为平面平面． (2)平面与平面相交，符号表示为平面平面直线． 【详解】（1） 与平面平行的平面有，符号表示为平面平面． （2）平面与平面相交，符号表示为平面平面直线． 【变式8-1】若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________. 【答案】相交 【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合， 所以面与面的位置关系是相交. 故答案为：相交 【变式8-2】如图，在正方体中． （1）______； （2）______； （3）平面______； （4）平面平面______； （5）平面平面______； （6）平面平面______； （7）平面平面平面______． 【答案】 O CD 【详解】（1）因为，故； （2）因为，所以； （3）因为在平面，平面； （4）因为平面，平面，所以平面平面； （5）因为平面，平面,所以平面平面； （6）因为平面平面，所以平面平面； （7）因为平面平面，平面平面，平面平面，且，所以 平面平面平面, 故答案为： O；；CD；；；；. 【变式8-3】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交. 【答案】见解析 【详解】证明：因为在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点， 所以AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，所以G∈AA1，G∈BE. 又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF， 所以G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF， 所以平面ACC1A1与平面BEF相交. 一、单选题 1．三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 【答案】B 【详解】三脚架的三只脚不在同一直线上，根据基本事实1，可知选B． 2．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，图形没有画出两平面的交线，故A不正确； 对于B，C，图形的实、虚线没有按照画法原则去画，故B，C不正确． 对于D，符合画法原则，故D正确， 故选：D. 3．在长方体中，与棱异面的棱有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】 与异面的是4条棱． 4．若，则与的位置关系可能是（   ） A．平行或异面 B．相交或异面 C．平行、相交或异面 D．平行或相交 【答案】C 【详解】，则直线与平面最多一个交点，若交点在上，则与相交；若交点不在上，则与异面；若与无交点，则与可能平行或异面． 5．直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 【答案】B 【详解】如图，将一个三角形各边延伸可将平面分为7个部分，则直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成个部分. 6．在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【详解】 如图所示，因为平面，平面，，所以平面，平面； 又因为平面平面，所以． 故选：B． 二、多选题 7．如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BD 【详解】对于A，由G，M均为所在棱的中点，根据三棱柱的性质易得，不为异面直线； 对于B，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交， 故直线，是异面直线； 对于C，连接，由N，H均为所在棱的中点，所以，且， 易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交，不是异面直线．    对于D，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交， 故直线，是异面直线. 故选：BD． 8．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．，，，四点共面 B．为异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】AC 【详解】对于AB，在三棱柱中，分别为的中点，连接， 由是的中位线，得，由，且， 得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确，B错误； 对于C，延长，相交于点，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，，当时，， 又，则，D错误. 故选：AC 三、填空题 9．若点在直线上，点不在平面内，则直线与平面的位置关系是_________，用符号表示为________． 【答案】 平行或相交 【详解】 由题意可知，直线与平面的位置关系是平行或相交，即. 10．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    【答案】相交 【详解】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 11．已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【答案】1 【详解】在正方体中，，而平面，即有平面，    又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 故答案为：1 四、解答题 12．如图，观察正方体，证明直线与与为异面直线． 【答案】证明见解析 【详解】在正方体中，， 直线平面，点平面，点直线，而点平面， 因此直线与直线是异面直线； 直线平面，点平面，点直线，而点平面， 因此直线与直线是异面直线. 13．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以直线平面， 又，则直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线． 14．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    【答案】证明见解析 【详解】取的中点，的中点，连接、、，      因为、分别为、的中点，所以，， 翻折前，中，，，， 是的中点，是的中点，是的中点， 则，，，，， 翻折后，则有，，， 因为，为的中点， 所以，， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 因为为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以、、、共面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $