7.1.1 条件概率 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.1条件概率 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系，能计算简单随机事件的条件概率； 2.条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及其应用； 3.对条件概率中条件的正确理解，条件概率与无条件概率的比较. 引入 必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件与同时发生（积事件）的概率的问题．当事件与相互独立时，有 如果事件与不相互独立，如何表示积事件的概率? (1)选到男生的概率是多少? 问题1 某个班级有45名学生, 其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示，在班级里随机选择1人做代表, (2)如果已知选到的是团员, 那么选到的是男生的概率是多少? 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 表7.1-1(单位: 人) 抽象概括，形成概念 追问：在每一个问题中，用符号表示样本空间和相关的事件，分析是否满足古典概型的条件? (1)选到男生的概率是多少? 问题1 某个班级有45名学生, 其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示，在班级里随机选择1人做代表, (2)如果已知选到的是团员, 那么选到的是男生的概率是多少? 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 表7.1-1(单位: 人) 追问：事件的发生是如何改变样本空间的？是增大样本空间，还是缩小样本空间？计算式中， ，分子为什么要用而不用？ 抽象概括，形成概念 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的, 现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭, 那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩, 那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 追问：1.用表示男生，表示女生。用集合语言表示样本空间和问题中涉及的事件。 追问：2.判断问题2是否满足古典概型的条件？ 抽象概括，形成概念 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的, 现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭, 那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩, 那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 追问：3.为什么(1)和(2)的概率不一样？是什么造成的？ 抽象概括，形成概念 问题3：结合以上两个问题，并借助图7.1-1，你能探索出，在事件发生的条件下，事件发生的概率与之间的关系吗？ 抽象概括，形成概念 一般地，设为两个随机事件，且，我们称 为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率记作，简称条件概率. 抽象概括，形成概念 样本点个数公式 条件概率 定义公式 剖析关联，推导公式 思考1： 与有何区别与联系？它们的大小如何？ 思考2： 与意义相同吗？为什么？ 联系：事件都发生了. 区别：(1)在中，事件发生有时间上的差异， 先 后； 在中，事件同时发生. (2)样本空间不同，在中，事件成为样本空间； 在中，样本空间仍为. 因此有 不相同：(1)样本空间不同 (2)条件概率的条件不同 思考3： 与有什么关系？ 思考4：对于任意两个事件与,如果已知与,如何计算？ 一般地，与不一定相等. 如果与相等，那么事件与应相互独立. 条件概率与事件独立性的关系： 当时，当且仅当事件与相互独立时， 概率的乘法公式 剖析关联，推导公式 11 【练习】　当时，求证：的充要条件是. 证明：①必要性： 若P（B｜A）＝P（　B　），则 ＝P（　B　）， 即P（AB）＝P（A）P（　B　）. 又因为B＝ B＋AB，所以P（B）＝P（ B）＋P（　AB　），　 所以P（B｜ ）＝ ＝ ＝ ＝ ＝P（　B　）. 剖析关联，推导公式 ②充分性： 若P（B｜ ）＝P（　B　），则 ＝P（　B　）， 即P（ B）＝P（ ）P（　B　）， 由P（B）＝P（ B）＋P（AB），得P（ B）＝P（B）－P （　AB　）， 故P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（　B　）， 所以P（AB）＝P（A）P（　B　）， 所以P（A）P（B｜A）＝P（A）P（B），P（A）≠0， 所以P（B｜A）＝P（　B　）. 由①②可知，P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜ ）＝P（B）. 训练3　已知 与 的比值为R. 证明：R＝ · . 证明：因为R＝ · ＝ · · · ＝ · ， 所以R＝ · · · ， 所以R＝ · . 思考5：若两个事件与满足,那么事件与独立吗? 一般不独立， ，表明事件与互不相容。 一般的，互不相容的两个事件不会独立. (1)当， 时，与独立，有 不可能得到 。 反之，若， 时， ,则有，那么就不可能有 剖析关联，推导公式 思考5：若两个事件与满足,那么事件与独立吗? 一般不独立， ，表明事件与互不相容。 一般的，互不相容的两个事件不会独立. (2)必然事件与任何事件独立，因为任意事件，有 (3)不可能事件与任何事件独立，因为任何事件有 . 剖析关联，推导公式 问题分析，思考性质 例1. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。 2次抽题相互不独立 追问：通过以上例题的解答，请问求条件概率一般方法有哪些？ 你认为条件概率有哪些性质？ 问题分析，思考性质 方法1：一般概型：， 方法2：古典概型： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设，则 （1）, （2）如果是2个互斥事件，则 （3）设互为对立事件，则 例题练习，巩固理解 例2. 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取3张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 转化为：甲、乙、丙中奖概率相同吗？ 例题练习，巩固理解 例3.银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2就按对的概率． 用集合语言表示相关的事件 总结提升，形成结构 问题： 回顾本节课所学内容,并回答下列问题 (1)什么是条件概率?条件概率与积事件的概率有什么关系? (2)对于随机事件 ,请你说一说“事件 同时发生”与“在事件发生的条件下,事件发生”的区别,这两个事件的概率有什么关系?哪个概率较大? (3)求条件概率一般有几种方法? (4)条件概率有哪些性质?如何运用条件概率的性质求较复杂事件的概率? $