7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了条件概率的乘法公式、互斥事件条件概率等核心知识，通过知识框架图串联定义、公式推导及性质应用，结合情境导入和例题解析，构建“概念-公式-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整的条件概率知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合运用-拓展探究”的分层复习策略，如A级题强化乘法公式直接应用，B级题结合互斥事件性质提升运算能力，C级题通过证明问题培养逻辑推理素养。这种设计既落实数学抽象和数学运算核心素养，又满足不同学生需求，助力教师精准把握复习重点，提升教学效率。

第二课时　条件概率的性质及应用 1 1. 掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实际问题（数学抽象、数学运算）. 2. 理解条件概率的性质，能用性质计算互斥（对立）事件的条件概率（数学抽象、数学运算）. 课标要求 　　P（B｜A）表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以借助 公式P（B｜A）＝ 或缩小样本空间求条件概率，其中P（AB） 与P（B｜A）有什么区别与联系呢？ 情境导入 知识点一 概率的乘法公式 01 知识点二 互斥事件的条件概率 02 提能点 与条件概率公式有关的证明问题 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 概率的乘法公式 01 PART 目 录 【知识梳理】 对任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）＝ ⁠ ⁠. 　　提醒：（1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB） 中，样本空间为所有事件的总和；（2）推广：设A，B，C为三个事件， 且P（AB）＞0，则有P（ABC）＝P（C｜AB）P（AB）＝P（C｜ AB）P（B｜A）·P（A）. P（A）P （B｜A）　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　（1）某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨， 他第一次失败、第二次成功的概率是（　A　） A. B. C. D. 解析： 记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝ × ＝ .故选A. A 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则该产 品的一等品率是 ⁠. 解析： 记A：合格品， 记B：一等品，由于B⊆A，则P（B）＝P （AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P（B｜A）＝75%，故P （B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝96%×75%＝72%，即该产品 的一等品率为72%. 72% 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 应用乘法公式求概率的一般步骤 概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直接计算P （AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率： （1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0； （2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或P （B）、P（A｜B）； （3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝P （B）P（A｜B）求解. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　（1）气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为 ，在刮 台风的条件下，下大雨的概率为 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨的 概率为（　B　） A. B. C. D. 解析： 设“该地区七月份刮台风”为事件A，“该地区七月份下大 雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB. 由题得 P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，由概率的乘法公式得P（AB）＝P （B｜A）P（A）＝ × ＝ .故选B. B 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个 黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在 此过程中没有取到黄球的概率为 ⁠. 解析： 没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到 绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次 取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝ ，P（G1R2）＝P （G1）P（R2｜G1）＝ × ＝ ，∴没有取到黄球的概率为P＝ ＋ ＝ . ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 互斥事件的条件概率 02 PART 目 录 问题　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记A表示“第一枚出现4点”，B表 示“第二枚出现5点”，C表示“第二枚出现6点”. （1）P（B｜A） 与 P（C｜A）各为何值？ 提示：P（B｜A）＝ ，P（C｜A）＝ . （2）若已知第一枚出现4点，则第二枚出现大于4点的概率是多少？ 提示：P（B∪C｜A）＝ ＝ . （3）根据前面的计算，你能有什么发现？ 提示：若B与C互斥，则P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 设P（A）＞0，则 （1）P（Ω｜A）＝ ⁠； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝ ⁠ ⁠； （3）设 和B互为对立事件，则P（ ｜A）＝ ⁠. 　　提醒：A与B互斥，即A，B不同时发生，则P（AB）＝0，故P （B｜A）＝0. 1　 P（B｜A） ＋P（C｜A）　 1－P（B｜A）　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例2】　（链接教材P48例3）在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同 的小球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个 球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解：法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄 球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝ ，P （AB）＝ ＝ ，P（AC）＝ ＝ . ∴P（B｜A）＝ ＝ ＝ ，P（C｜A）＝ ＝ ＝ . ∴P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ . ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为 . 数学·选择性必修第三册 目 录 法二　∵n（A）＝1× ＝9， n（B∪C｜A）＝ ＋ ＝5， ∴P（B∪C｜A）＝ ＝ . ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为 . 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 利用公式P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）求条件概率， 应注意这个性质使用的前提是“B与C互斥”. 2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件， 求出简单事件的概率后，再用加法公式. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　（1）设A，B是两个随机事件，已知0＜P（A）＜1，P（B）＞ 0且P（B｜A）＝P（B｜ ），则下列结论中一定成立的是（　C　） A. P（A｜B）＝P（ ｜B） B. P（A｜B）≠P（ ｜B） C. P（AB）＝P（A）P（　B　） D. P（AB）≠P（A）P（　B　） 解析： 因为P（B｜A）＝P（B｜ ），由条件概率公式可得 ＝ ，即P（AB）[1－P（A）]＝P（A）P（ B）＝P （A）[P（B）－P（AB）]，所以P（AB）＝P（A）P（B），故选C. C B B 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在 周六晚上或周五晚上值班的概率为 ⁠. 解析： 设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”， 事件C为“周六晚上值班”，则P（A）＝ ，P（AB）＝ ，P （AC）＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ，P（C｜A）＝ ＝ ，故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P（B∪C｜A）＝P （B｜A）＋P（C｜A）＝ . ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 提能点 与条件概率公式有关的证明问题 03 PART 目 录 提能点｜与条件概率公式有关的证明问题 【例3】　当0＜P（A）＜1时，求证：P（B｜A）＝P（B）的充要条 件是P（B｜ ）＝P（　B　）. B 证明：①必要性： 若P（B｜A）＝P（　B　），则 ＝P（　B　）， 即P（AB）＝P（A）P（　B　）. 又因为B＝ B＋AB，所以P（B）＝P（ B）＋P（　AB　），　 所以P（B｜ ）＝ ＝ ＝ ＝ ＝P（　B　）. 数学·选择性必修第三册 目 录 ②充分性： 若P（B｜ ）＝P（　B　），则 ＝P（　B　）， 即P（ B）＝P（ ）P（　B　）， 由P（B）＝P（ B）＋P（AB），得P（ B）＝P（B）－P （　AB　）， 故P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（　B　）， 所以P（AB）＝P（A）P（　B　）， 所以P（A）P（B｜A）＝P（A）P（B），P（A）≠0， 所以P（B｜A）＝P（　B　）. 由①②可知，P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜ ）＝P（B）. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 利用事件A与事件B相互独立的定义P（AB）＝P（A）P（B）及条件 概率的性质进行转化变形、推理论证，这里要注意互斥事件、对立事件及 相互独立事件的区别. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　已知 与 的比值为R. 证明：R＝ · . 证明：因为R＝ · ＝ · · · ＝ · ， 所以R＝ · · · ， 所以R＝ · . 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 已知P（B｜A）＝ ，P（A）＝ ，则P（AB）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝ × ＝ . √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子 的发芽率为0.8，发出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机 地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（　　） A. 0.02 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 解析： 　记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为 事件B，P（B｜A）＝ ，∴P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝ 0.9×0.8＝0.72. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 已知事件A和B是互斥事件，P（C）＝ ，P（BC）＝ ，P （A∪B｜C）＝ ，则P（A｜C）＝ 　　​ 　　. 解析：由题意知，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C）＝ ， P（B｜C）＝ ＝ ＝ ，则P（A｜C）＝P（A∪B｜C）－P （B｜C）＝ － ＝ . ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，依次不放回抽取2次，每 次抽取一球，则第二次才能取到黄球的概率为 ⁠. 解析：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B， “第二次才取到黄球”为事件C，所以P（C）＝P（AB）＝P（A）·P （B｜A）＝ × ＝ . ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）概率的乘法公式； （2）互斥事件、对立事件的条件概率. 2. 应体会 利用条件概率的性质解决问题时要注意正难则反思想的应用. 3. 避易错 判断两个事件是否是互斥事件. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若B，C是互斥事件且P（B｜A）＝ ，P（C｜A）＝ ，则P （B∪C｜A）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为B，C是互斥事件，所以P（B∪C｜A）＝P（B｜A） ＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P（B｜ A）＝0.3，则P（A｜B）＝（　　） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 解析： 　由P（A）＝0.5，P（B｜A）＝0.3，得P（AB）＝P（B｜ A）P（A）＝0.15，所以P（A｜B）＝ ＝ ＝0.375. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6， 在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么他两次均 击中9环的概率为（　　） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.75 解析： 设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9 环”为事件B，则由题意得P（A）＝0.6，P（B｜A）＝0.8，所以他两 次均击中9环的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.6×0.8＝ 0.48. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概 率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为（　　） A. 1.98% B. 0.98% C. 97.02% D. 99% 解析： 　设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮 疹”，则P（A）＝2%，P（B｜A）＝99%.所以某人食用该食物过敏且 嘴周产生皮疹的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝2%×99%＝ 1.98%. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取 两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红 色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C，且B与C互斥.又P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，P（AC）＝ ＝ ，故P（D｜A）＝P（B∪C｜A）＝P （B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕已知事件A，B满足P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P （ ｜ ）＝ ，则（　　） A. P（AB）＝ B. P（ ｜A）＝ C. P（B｜ ）＝ D. P（B）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　对于A选项，P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝ ，所以A 选项正确；对于B选项，P（ ｜A）＝1－P（B｜A）＝ ，所以B选项 错误；对于C选项，P（B｜ ）＝1－P（ ｜ ）＝ ，所以C选项正 确；对于D选项，P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]·P（B｜ ），P （B）＝ ＋ × ＝ ，所以D选项正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕已知事件A，B满足P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，则下列 选项正确的是（　　） A. 若B⊆A，则P（AB）＝0.4 B. 若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.7 C. 若A与B相互独立，则P（AB）＝0.4 D. 若P（B｜A）＝0.3，则A与B相互独立 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　对于A，因为P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，B⊆A，所以P （AB）＝P（B）＝0.3，故A错误；对于B，因为A与B互斥，所以P （A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.7，B正确；对于C，因为A与B相互 独立，所以P（AB）＝0.4×0.3＝0.12，故C错误；对于D，因为P （B｜A）＝0.3，即 ＝0.3，所以P（AB）＝P（B｜A）·P （A）＝0.12，又因为P（B）·P（A）＝0.12，所以P（AB）＝P （A）·P（B），所以A与B相互独立，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游 客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个 著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝“甲和乙至少有一人 选择庐山”，事件B＝“甲和乙选择的景点不同”，则P（ ｜A） ＝ ⁠. 解析：由题意知，因为n（A）＝ · ＋1＝7，n（AB）＝6，所以P （ ｜A）＝1－P（B｜A）＝1－ ＝1－ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 已知事件A，B，且P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（B｜ ）＝ ，则P（B）＝ 　　​ 　　. 解析：∵P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，∴P（AB）＝P（A）P （B｜A）＝ × ＝ ，∵P（B｜ ）＝ ，∴P（ B）＝P（ ）P （B｜ ），∴P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B｜ ），即P （B）－ ＝（1－ ）× ，解得P（B）＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. （1）向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ 解： 记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B 表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和 为7，其中有一个的点数是2”，则P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ， 所以P（A｜B）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？ 解： 记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上 的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事 件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向 上的点数不相同，且向上的点数之和为i”. 因为P（N）＝ ＝ ，P（M4N）＝ ＝ ，P（M6N）＝ ＝ ， 所以P（M｜N）＝P（M4∪M6｜N）＝P（M4｜N）＋P（M6｜N） ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空 间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部 分的面积表示（　　） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A，B同时发生的概率 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为：P（A｜B）P （B）＋[1－P（B）]P（A｜ ）＝P（AB）＋P（ ）P（A｜ ） ＝P（AB）＋P（A ）＝P（A）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 〔多选〕若 ， 分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0， P（B）＞0，则下列结论正确的是（　　） A. P（B｜A）＋P（B｜ ）＝1 B. P（ ｜B）P（B）＝P（B｜ ）P（ ） C. P（A｜B）＋P（ ｜B）＝P（　B　） D. 若P（A｜B）＝P（A），则P（B｜A）＝P（　B　） B B √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 对于A，因为P（B｜A）＋P（ ｜A）＝ ＋ ＝ ＝ ＝1，但P（B｜ ）与P（ ｜ A）不一定相等，故P（B｜A）＋P（B｜ ）不一定等于1，A错误；对 于B，因为P（ ｜B）P（B）＝P（ B），P（B｜ ）P（ ）＝P （ B），所以P（ ｜B）P（B）＝P（B｜ ）P（ ），B正确；对 于C，P（A｜B）＋P（ ｜B）＝ ＋ ＝ ＝1，C 错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 对于D，因为P（A｜B）＝ ＝P（A），所以P（AB）＝P（A） P（B），所以事件A，B相互独立，故P（B｜A）＝ ＝P （B），D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7， 在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ⁠. 解析：根据题意，记“射击一次甲击中目标”为事件A，“射击一次乙击 中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P（C）＝1－P（ ） P（ ）＝1－（1－0.6）×（1－0.7）＝0.88.所以在目标被击中的情况 下，甲、乙同时击中目标的概率为P（AB｜C）＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5 道题，而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答 错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生获得优 秀”， 则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B. 由古典概型的概率公式及加法公式可知P（D）＝P（A∪B∪C）＝P （A）＋P（B）＋P（C）＝ ＋ ＋ ＝ ， 14. 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4 道题即可通过，能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中的10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 又P（AD）＝P（A），P（BD）＝P（　B　）， 所以P（E｜D）＝P（A∪B｜D）＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 故所求的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 从装有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再 放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，6. （1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； 解： P（A2｜ ）＝ ＝ ＝ ，所以第一次摸到蓝球的 条件下第二次摸到红球的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）记P（A1A2A3）表示A1，A2，A3同时发生的概率，P（A3｜A1A2） 表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.证明：P（A1A2A3）＝P（A1） P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）. 解： 证明：因为P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）， 又因为P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）， 所以P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1） P（A3｜A1A2）， 即P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $