7.4.2 超几何分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2超几何分布 学习目标 1.能通过对比放回和不放回抽样说明超几何分布的特征,能求超几何分布的分布列、均值,发展学生的数学建模、数学抽象素养 2.能用自己的语言解释二项分布与超几何分布的区别与联系,并能够正确选择模型解决实际问题,发展学生的数学建模素养. 创设情境,引入课题 上一节我们认识了建立在重伯努利试验基础上的二项分布,本节课我们来认识另外一种常见的概率分布模型. 创设情境,引入课题 问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列． (1)采用有放回抽样,随机变量X服从二项分布吗? (2)如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？ (3)如果不服从，那么的分布列是什么？ 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时服从二项分布，即． 创设情境,引入课题 若采取不放回抽样，每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布。 创设情境,引入课题 问题2:上述问题不服从二项分布,你能说说这类不放回简单随机抽样的特征吗?你能根据这些特征尝试归纳出这一类分布的概念吗? 创设情境,引入课题 假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 其中．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布. 创设情境,引入课题 追问:公式中各个字母的含义是什么? :样本中的特殊个体数(如次品数) ：总体中的个体总数 ：样本容量 ：总体中的特殊个体总数(如次品总数) 创设情境,引入课题 计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗？为什么？ 没有影响 假设一批产品共有𝑁件，其中有𝑀件次品．从𝑁件产品中随机抽取𝑛件（不放回,无次序），用𝑋表示抽取的𝑛件产品中的次品数，则𝑋的分布列为 创设情境,引入课题 假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件（不放回，有次序），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 例4.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． 容易发现，每个人被抽到的概率都是．这个结论非常直观，这里给出了严格的推导。 例题练习，巩固理解 例5. 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 例题练习，巩固理解 这是一个超几何分布的试验吗？ 注意: (1)超几何分布的模型是不放回抽样; (2)在超几何分布中,只要知道参数就可以根据公式求出取不同值时的概率. 抽象概念,内涵辨析 探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 抽象概念,内涵辨析 任务：阅读课本P78，79，回答下列问题： 1.你能解释 吗？ 抽象概念,内涵辨析 任务：阅读课本P78，79，回答下列问题： 2.你能解释 吗？ 例6.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率． 例题练习，巩固理解 (1)本题中每次摸球是一个什么试验? (2)若采用有放回摸球,则各次试验的结果独立吗?服从什么分布? (3)若采用不放回摸球,则各次试验的结果独立吗?服从什么分布? 抽象概念,内涵辨析 问题4:二项分布和超几何分布的联系与区别是什么? 抽样方式 的分布 有放回 二项分布 不放回 超几何分布 抽象概念,内涵辨析 问题4:二项分布和超几何分布的联系与区别是什么? (1)在抽样试验如抽次品或摸球模型中,二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,有放回抽取是二项分布,不放回抽取是超几何分布.两个分布的均值相同,但由于，因此超几何分布的方差小于二项分布的方差,即超几何分布取值更集中于均值附近. 抽象概念,内涵辨析 问题4:二项分布和超几何分布的联系与区别是什么? (2)对于超几何分布,当充分大,且远远小于时,各次抽样结果彼此影响很小,近似认为是独立的.因此,超几何分布可以用二项分布近似,但从方差角度看,由于,两个分布的方差近似相等. 抽象概念,内涵辨析 问题4:二项分布和超几何分布的联系与区别是什么? (3)在确定分布列时,超几何分布必须同时知道和,而二项分布只需要知道即可. 总结提升，形成结构 问题：回顾本节课所学内容,并回答下列问题: (1)超几何分布的分布列是怎样的? (2)超几何分布的均值是多少? (3)在抽样试验(如抽次品或摸球模型)中,如何区分二项分布与超几何分布? 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由： （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分 布列； 解：中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发 芽的种子的个数记为X，求X的分布列； 解： 中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. 课堂练习，巩固提升 （4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列. 解：（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表 示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的 球的个数记为X，求X的分布列； 课堂练习，巩固提升 【规律方法】 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 （1）总体是否分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 【例2】　 （链接教材P79例6）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小 球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1 个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变 量X，求随机变量X的分布列. 课堂练习，巩固提升 解：由题意知X＝0，1，2，3. P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 【规律方法】 求超几何分布的概率的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式P（X＝k）＝ 计算出随机变 量取某一个值k时的概率. 【例3】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中， 3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七 个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动 （每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； 解： 设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P （A）＝ ＝ . 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 . 课堂练习，巩固提升 （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及 均值. 解： 依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4， n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝k）＝ ，k ＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以随机变量X的均值E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ （ 或E （X）＝ ＝ ）. 【规律方法】 解决超几何分布问题的三个关键点 （1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围 及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不要机械地记忆； （2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同 k值的概率P（X＝k），从而求出X的分布列； （3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直接利 用E（X）＝ 求解. $