精品解析：江苏苏州市实验中学集团2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

江苏苏州市实验中学集团2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 2026.04 注意事项： 1．本试卷共27题，满分100分，考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符合． 3．答选择题须用2B铅笔把答题卡上相应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 4．考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上无效． 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 2. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 720名八年级学生的睡眠时间是总体 B. 100是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 5. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2026 D. 6. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 某市环保部门为了解该市500家化工企业的废水排放达标情况，随机抽取了其中30家企业进行详细检测．这种调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”） 10. 某社区为了解居民每月用水量情况，随机抽取了部分家庭进行调查．调查结果显示，用水量最少的家庭每月用水33吨，用水量最多的家庭每月用水103吨．若制作频数分布表时组距定为9吨，则需要分成______组． 11. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 12. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.901 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为______（结果精确到0.1）． 13. 若m是方程的一个根，则的值为___________． 14. 如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 15. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和4，则重叠部分的四边形的周长等于_____________． 16. 如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 三、解答题（共11小题，共60分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边；求该等腰三角形的周长． 19. 苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． （1）估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； （2）如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 20. 已知四边形中，于点于点．求证：四边形是平行四边形． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，点E是格点，在线段上作点F，连接，使； （2）图②中，点F是非格点，在线段上作点G，使； （3）图③中，点E是格点，连接，在线段上作点H，连接，使． 23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 24. 在矩形纸片中，． （1）如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． （2）如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 25. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x＋3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　 　；（只填写序号即可） ①（x﹣1）2＝9；②x2＋4x＋4＝0；③（x＋4）（x﹣2）＝0 （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与（x＋2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值． 26. 如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）点的坐标为________； （2）当为何值时，的面积是12？ （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27. （1）【方法回顾】证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，中，D、E分别是AB、AC的中点. 求证：，． 证明：如图1，延长DE到点F，使得，连接CF； 请继续完成证明过程； （2）【问题解决】 如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，，，求GF的长． （3）【思维拓展】 如图3，在梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，，，求GF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏苏州市实验中学集团2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 2026.04 注意事项： 1．本试卷共27题，满分100分，考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符合． 3．答选择题须用2B铅笔把答题卡上相应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 4．考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上无效． 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类．根据交通信号灯的变化特点，绿灯的出现是可能发生也可能不发生的，属于随机事件． 【详解】经过有交通信号灯的路口时，信号灯可能显示红灯、黄灯或绿灯，遇到绿灯的具体结果无法提前确定． 因此，“遇到绿灯”这一事件是否发生具有不确定性，属于随机事件． 故选A． 2. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 720名八年级学生的睡眠时间是总体 B. 100是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义念逐一分析选项正误即可． 【详解】解：720名八年级学生的睡眠时间是总体，A选项正确； 抽取了100名学生，故样本容量为100，B选项正确； 抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，C选项错误； 每名八年级学生的睡眠时间是个体，D正确； 故选：C． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”这三个核心条件逐一判断各选项． 【详解】解： A选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义； B选项：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义； C选项：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程定义； D选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义． 故选B 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 5. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2026 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程配方得到的形式，对比得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， ∴ 整理得 ， ∵ 方程转化为的形式， ∴ ，， ∴ ． 6. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，易得垂直平分，进而得到，根据菱形的性质，得到，进而得到，得到即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，作，证明，进而得到，得到点的轨迹，作点关于的对称点，连接，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 某市环保部门为了解该市500家化工企业的废水排放达标情况，随机抽取了其中30家企业进行详细检测．这种调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】 抽样调查 【解析】 【详解】解：由题意，这种调查方式是抽样调查. 10. 某社区为了解居民每月用水量情况，随机抽取了部分家庭进行调查．调查结果显示，用水量最少的家庭每月用水33吨，用水量最多的家庭每月用水103吨．若制作频数分布表时组距定为9吨，则需要分成______组． 【答案】 8 【解析】 【分析】用最大值和最小值的差除以组距，进行求解即可. 【详解】解：， 故需要分成8组. 11. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 12. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.901 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为______（结果精确到0.1）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：由题中表格可知： 回复满意的频率稳定在附近，估计平台用户回复满意的概率约为， 故答案为：． 13. 若m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由m是方程的一个根，可得，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 14. 如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：在中，，E是的中点， ， ， 点D、E分别是的边、的中点， 是的中位线， ． 15. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和4，则重叠部分的四边形的周长等于_____________． 【答案】20 【解析】 【分析】先证四边形平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，由题意得：矩形矩形， ，，，，， 四边形平行四边形， 平行四边形的面积， ， 平行四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 菱形的周长， 即重叠部分的四边形周长是20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，． 过点作于点，则，， 设，则， 则在中，有， ， 解得（舍去）或， ， ． 三、解答题（共11小题，共60分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴. 18. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边；求该等腰三角形的周长． 【答案】17 【解析】 【分析】把代入方程，求出的值，再求出方程的另一个根，根据等腰三角形的定义，分2种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个实数根， ∴， 解得， ∴方程为， 解得，即方程的另一个根为3， ∵这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边， ∴当7为腰长时，，能构成三角形，周长为； 当3为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 故该等腰三角形的周长为17． 19. 苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． （1）估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； （2）如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 【答案】（1）0.75 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率估算概率，再根据概率之和为1，进行求解即可； （2）根据概率求出总数，再利用频率估算概率，利用概率求出数量即可． 【小问1详解】 解：∵经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近， ∴摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴摸到“沧浪亭”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：由（1）知，原来摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴原来卡片的总数量为（张）； ∵放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近， ∴现在摸到“狮子林”卡片的概率为0.5， ∴， 解得； 故． 20. 已知四边形中，于点于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，利用已知条件证三角形全等，得到，再利用平行四边形的判定解得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵, ∴, 在和中， ， ∴， ∴, 又∵， ∴四边形为平行四边形． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200， 补全条形统计图，如图所示： （2）；108 （3）“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键． （1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角； （3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可． 【小问1详解】 解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比， ∴本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “较多”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，点E是格点，在线段上作点F，连接，使； （2）图②中，点F是非格点，在线段上作点G，使； （3）图③中，点E是格点，连接，在线段上作点H，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）在上取格点F，使，连接即可； （2）连接、，则、交于点O，连接，并延长，交于点G，则点G即为所求； （3）取格点M，连接交于点H，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，格点作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握格点，平行四边形的判定和性质． 23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ， ， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵，为直角三角形， ∴． 24. 在矩形纸片中，． （1）如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． （2）如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据折叠的性质，得到，设，则，在和中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，， ∵折叠， ∴垂直平分，， ∴ ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为菱形， 设，则， 在中，， ∴； 故； 【小问2详解】 解：连接， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵矩形， ∴， 设，则， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴，解得， ∴． 25. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x＋3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　 　；（只填写序号即可） ①（x﹣1）2＝9；②x2＋4x＋4＝0；③（x＋4）（x﹣2）＝0 （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与（x＋2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）±1． 【解析】 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案是：①②； （2）一元二次方程的解为，， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）关于的一元二次方程同时满足和， 关于的一元二次方程的两个根是，； 的两个根是，， 关于的一元二次方程与互为“同伴方程”， 或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 26. 如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）点的坐标为________； （2）当为何值时，的面积是12？ （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点， 利用分割法得到，列出方程，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 由题意，，，则， ∴， ∴， ∴ ， 解得； 此时，， ∴点与点重合，即， 故当时，的面积为12； 【小问3详解】 解：存在， 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：，， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或． 27. （1）【方法回顾】证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，中，D、E分别是AB、AC的中点. 求证：，． 证明：如图1，延长DE到点F，使得，连接CF； 请继续完成证明过程； （2）【问题解决】 如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，，，求GF的长． （3）【思维拓展】 如图3，在梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，，，求GF的长． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）用“倍长法”将DE延长一倍：延长DE到F，使得EF＝DE，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得； （2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA），进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，先求出AG＝HD＝2，进而判断出△PDH为30度的直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF， ∴CF∥AB， 又∵AD＝BD， ∴CF＝BD， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DE∥BC，DE＝BC． （2）如图2，延长GE、FD交于点H， ∵E为AD中点， ∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°， 在△AEG和△DEH中， ， ∴△AEG≌△DEH（ASA）， ∴AG＝HD＝3，EG＝EH， ∵∠GEF＝90°， ∴EF垂直平分GH， ∴GF＝HF＝DH＋DF＝3＋7＝10； （3）解：如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF， 同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF， ∴∠A＝∠HDE＝90°，AG＝HD＝2 ∵∠ADC＝120°， ∴∠HDF＝360°−90°−120°＝150°， ∴∠HDP＝30°， ∴PH＝DH＝，PD＝3， ∴PF＝PD＋DF＝3＋4＝7， 在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝，PF＝7， ∴HF＝= ∴GF＝． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形和直角梯形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线，是一道比较典型的中考题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $