微专题 利用几何法求异面直线所成的角（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 利用几何法求异面直线所成的角 题型一 利用几何图形的性质直接平移 根据正方体、长方体、直棱柱等规则几何体的天然平行性质，直接寻找与已知直线平行且相交的棱或面对角线，将异面直线所成角转化为共点的相交直线所成的角，确定平面角后，在直角三角形或等边三角形中直接利用边长关系求出角度，最终取锐角或直角作为结果。 1．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 2．（2026·甘肃·模拟预测）如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】由得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理即可求解． 【详解】连接，如图所示， 因为，所以所成角或其补角为异面直线与所成的角， 因为， 在中，由余弦定理可得. 故答案为： 3．（2026高二·北京·月考）已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得. 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 题型二 构造平行四边形平移 通过连接合适顶点构造平行四边形，借助平行四边形对边平行且相等的性质，将其中一条异面直线平移，使其与另一条直线相交形成平面角，再根据几何体棱长算出三角形各边长度，利用余弦定理求出夹角，并注意异面直线所成角取锐角或直角。 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5．（2026·广东·模拟预测）在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，连接，设，为异面直线与所成的角，即可求解． 【详解】如图，设，连接，设． 易得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 所以或其补角为异面直线与所成的角． 设正方体的棱长为1，则． 因为，且，所以， 所以， 所以，则． 故异面直线与的夹角为． 故选：A    6．（2026高一·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 7．（2026高二·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 8．（2026高二·江西宜春·期末）在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】 【分析】根据正四棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接， 正四棱柱中， 有且，四边形为平行四边形， 则有， 则就是异面直线与所成的角． 设，则， 中，由余弦定理得． 故答案为： 9．（2026高二·福建厦门·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，证明，则或其补角即为异面直线与所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角， 设正三棱柱的各棱长为，则， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为.    故选：D． 10．（2026高三·重庆·月考）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，证明得是异面直线与所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接，， 因为直三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以，， 因为分别是棱，的中点， 所以，，， 所以四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 所以， 所以是异面直线与所成的角或其补角， 因为直三棱柱中，平面， 所以平面， 又平面，所以 设，则根据几何关系得，， 在中， 所以异面直线与所成角的余弦值是 故选：C 题型三 中位线平移 当题目中出现中点条件时，取对应棱的中点构造三角形中位线，利用中位线平行于底边的性质，将异面直线平移转化为相交直线，明确平面角后，在由中位线构成的三角形中计算各边长度，再用余弦定理求出角的大小，是中点类题型最常用的方法。 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 12．（2026高一·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 【答案】或 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点，所以，且；，且， 所以（或其补角）为与所成的角.所以（或其补角）为与所成的角. 因为直线与成角， 所以或. 又因为，所以， ①若，则是等边三角形，所以，即与所成的角为. ②若，则易知是等腰三角形.所以，即与所成的角为. 综上可知：与所成角为或. 13．（2026高三·全国·竞赛）若正四棱锥的各条棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 【答案】 【分析】作出符合题意的图形，找到异面直线的夹角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 则由中位线定理得， 故异面直线与所成的角的大小为(或其补角)． 不妨设正四棱锥的各条棱长均为2． 由勾股定理得，且， 故，由题意得， 于是由勾股定理得， 又， 故由余弦定理得. 故答案为： 14．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】第（1）问用反证法，假设两条直线共面，通过推理得出与已知条件矛盾，从而证明它们异面； 第（2）问通过作辅助线将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再在三角形中利用余弦定理求出角的余弦值. 【详解】（1）证明 假设与共面，设平面为， 因为，，，所以平面即为平面，所以平面， 这与平面矛盾， 所以与是异面直线． （2）取的中点，连接，，则，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角． 因为，，平面， 所以，，，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 15．（2026高一·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 16．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 17．（2026高二·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 18．（2026高二·湖南衡阳·月考）在三棱锥中，分别是的中点.则异面直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接、，则，则是异面直线，所成的角或其补角，在中利用余弦定理计算可得. 【详解】连接，取的中点，连接、，则，是异面直线，所成的角或其补角， ，，，， 又，， ， 异面直线，所成的角的余弦值为． 则其正弦值为 故选：C 题型四 利用相似比平移 依据题目给出的线段比例或分点条件，由平行线分线段成比例定理作出平行线，将异面直线平移至同一平面，确定所成角后，利用相似比得到对应边的长度关系，再在三角形中结合余弦定理求得角度，结果取锐角或直角。 19．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 20．（2026高一·全国·课后作业）在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 【答案】． 【分析】连接，过点E作的平行线交于点O，连接．通过得到，结合得到，得到，从而得到与所成的角即为和所成的角，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到和所成的角． 【详解】如图，连接，过点E作的平行线交于点O，连接． ，，． ，． 又，， ，与所成的角即为和所成的角，． ，． 在中，，， ，， 所以和所成的角为． 题型五 补形平移法 将难以直接平移的几何体补形成长方体、正方体或正棱柱等规则图形，利用补形后图形中天然平行的棱和对角线，快速找到异面直线所成角的平面角，再在规则、易算的图形中求出角度，适合结构复杂、平移困难的题型。 21．（2026高三·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过补形，得到正六棱柱，继而得到即为直线与所成的角或其补角．设，从而得到为正三角形，故，从而得到所求. 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 22．（2027高三·全国·专题练习）在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线找到两个平面的交线，再利用平行关系将异面直线所成角转化为平面内两条相交直线所成的角，最后在直角三角形中计算正切值. 【详解】如图， 连接并延长交的延长线于点，则点为平面与平面的公共点， 所以即为直线，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 取的中点，连接，则， 设，则，，， 所以，所以异面直线与所成角的正切值为. 23．（2026高二·广东肇庆·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 24．（2026高二·上海·月考）如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为___________    【答案】 【分析】根据三棱柱的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解. 【详解】根据直三棱柱的特征， 补全可得如图所示的正方体， 易知，为直线与所成角， 连接，则为等边三角形， 所以， 所以直线与所成角的大小为. 故答案为：.    题型六 通过证线面垂直证异面直线所成的角为90° 先证明两条异面直线中的一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再由线面垂直的性质得出两条直线互相垂直，直接判定异面直线所成角为直角，无需计算角度，适用于正方体、直棱柱等垂直关系明显的题型。 25．（2026高一·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 26．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确. 【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确.    由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确. 由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确. 故选：A 27．【多选】（2026高一·吉林白城·期末）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确. 故选：ACD 28．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 29．（2026高二·山西大同·月考）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)90° 【分析】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解； （2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°. 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 30．【多选】（2026高一·湖北咸宁·期末）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，下列结论正确的是（   ） A．存在点P，使得 B． C．当点P在上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点B为球心，为半径的球的球面与该正方体表面的交线长为 【答案】BCD 【分析】对A，利用展开图，三点共线可以判断；对B根据平面判断即可；对C，利用计算即可；对D，利用图形，计算得到，然后利用弧长公式计算即可. 【详解】A选项，如图，将与四边形展开到同一平面，当A，P，C三点共线时，取到最小值为，故A错误． B选项，∵平面，平面，∴，故B正确． C选项，为定值，故C正确． D选项，∵，∴以点B为球心，为半径的球与棱，，分别相交，如图，交点设为E，F，G，∴， 由对称性，我们先计算球与平面的交线的长度． 在中，，，∴， 同理，∴， 的长为，则交线长共为，故D正确． 故选：BCD 题型七 由异面直线所成的角求其他量 先通过中位线、平行四边形将异面直线所成角转化为三角形内角，再根据已知角分夹角与补角两种情况，利用余弦定理反求线段长度、面积、比例等未知量，注意异面直线所成角范围为(0,90°]，最终结果取合理值。 31．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 32．【多选】（2026高一·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 33．（2026高二·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 34．（2026高二·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 35．（2026高二·上海·月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 利用几何法求异面直线所成的角 题型一 利用几何图形的性质直接平移 根据正方体、长方体、直棱柱等规则几何体的天然平行性质，直接寻找与已知直线平行且相交的棱或面对角线，将异面直线所成角转化为共点的相交直线所成的角，确定平面角后，在直角三角形或等边三角形中直接利用边长关系求出角度，最终取锐角或直角作为结果。 1．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃·模拟预测）如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 3．（2026高二·北京·月考）已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型二 构造平行四边形平移 通过连接合适顶点构造平行四边形，借助平行四边形对边平行且相等的性质，将其中一条异面直线平移，使其与另一条直线相交形成平面角，再根据几何体棱长算出三角形各边长度，利用余弦定理求出夹角，并注意异面直线所成角取锐角或直角。 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 5．（2026·广东·模拟预测）在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高二·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·江西宜春·期末）在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 9．（2026高二·福建厦门·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·重庆·月考）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 题型三 中位线平移 当题目中出现中点条件时，取对应棱的中点构造三角形中位线，利用中位线平行于底边的性质，将异面直线平移转化为相交直线，明确平面角后，在由中位线构成的三角形中计算各边长度，再用余弦定理求出角的大小，是中点类题型最常用的方法。 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 13．（2026高三·全国·竞赛）若正四棱锥的各条棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 14．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 15．（2026高一·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026高二·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 18．（2026高二·湖南衡阳·月考）在三棱锥中，分别是的中点.则异面直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型四 利用相似比平移 依据题目给出的线段比例或分点条件，由平行线分线段成比例定理作出平行线，将异面直线平移至同一平面，确定所成角后，利用相似比得到对应边的长度关系，再在三角形中结合余弦定理求得角度，结果取锐角或直角。 19．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 20．（2026高一·全国·课后作业）在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 题型五 补形平移法 将难以直接平移的几何体补形成长方体、正方体或正棱柱等规则图形，利用补形后图形中天然平行的棱和对角线，快速找到异面直线所成角的平面角，再在规则、易算的图形中求出角度，适合结构复杂、平移困难的题型。 21．（2026高三·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 22．（2027高三·全国·专题练习）在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 23．（2026高二·广东肇庆·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 24．（2026高二·上海·月考）如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为___________    题型六 通过证线面垂直证异面直线所成的角为90° 先证明两条异面直线中的一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再由线面垂直的性质得出两条直线互相垂直，直接判定异面直线所成角为直角，无需计算角度，适用于正方体、直棱柱等垂直关系明显的题型。 25．（2026高一·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 26．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 27．【多选】（2026高一·吉林白城·期末）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 28．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 29．（2026高二·山西大同·月考）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 30．【多选】（2026高一·湖北咸宁·期末）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，下列结论正确的是（   ） A．存在点P，使得 B． C．当点P在上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点B为球心，为半径的球的球面与该正方体表面的交线长为 题型七 由异面直线所成的角求其他量 先通过中位线、平行四边形将异面直线所成角转化为三角形内角，再根据已知角分夹角与补角两种情况，利用余弦定理反求线段长度、面积、比例等未知量，注意异面直线所成角范围为(0,90°]，最终结果取合理值。 31．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 32．【多选】（2026高一·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 33．（2026高二·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 34．（2026高二·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 35．（2026高二·上海·月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $