山东临沂市2025-2026学年高一下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷

2025级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2026.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知z(1+i)=2,则z的虚部为(） A.-1 B.1 C.-i D.i 2.已知向量a,b满足1al=2,1b1=1,la+3b1=√19，则a与b的夹角为( A君 82x 3 c 3.下列关于空间几何体的论述，正确的是( A.有两个面平行，其它各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台 C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D.圆台的轴截面不可能为直角梯形 4.若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为( A.26 B.23 C.5 D吗 5.一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为3√5， 则该正四棱台的体积为() A.14 B臂 c.282 3 D.28 6.已知点G是△ABC的外心，2Gi+A+AC=0,若A店=(1,2)，Ad=(-2,m),则实数m的值 为(、) A.1 B吉 高一数学试题第1页（共4页） 7.已知圆锥的高为2，底面半径为2√2，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最 大值为() A.4 B.6 C.82 3 D.42 8.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包 含了深荽的哲理.如图是八卦模型图以及根据八卦 图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O 为正八边形的中心，AB·HD=（) A.√2-1 B.1 C.√2 D.√2+1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，圆锥P0,的轴截面PCD是面积为4√3的正三角形，用平行于圆锥P0,底面的平面 截该圆锥，截面圆O2与圆锥母线PD,PC分别交于点A,B,且AB=2,则( A.圆锥P01的表面积为12m B.圆台P02的高为√3 C.圆锥P0,的体积为45 3 T D.从点C出发沿着该圆锥侧面到达AD中点的最短路程为5 10.若平面向量a=(m,2),b=(1,n),其中n,m∈R,则下列说法正确的是( A.若2a+b=(2,6),则a/b B.若a在b上的投影向量为(2,4)，则m+n=8 C.若n=1,且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(-2，+∞) D.若a1b,则z=2m+4”的最小值为2 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2b2=a2+c2,则下列选项正确的 是() A.sin2B=2sinAsinCcosB B.111 “tanB tanA tanC C.2cos2B=cos2A+cos2C D.sin(A-B)sinC=sin(B-C)sinA 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足z·z+2z=8+6i,则z= 高一数学试题第2页（共4页） 13.已知直角梯形ABCD,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2CD=1, AD=子，绕直角边AD旋转一周，则所得几何体的侧面 B 积为 14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,2 bcosA=acosC+ccosA,b=4,BC边上的 中线AD=7,则A店.AC= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知向量a=(2,4),b=(3,x),c=(4,y）,且a/h,a⊥c. (1)求x与y的值； (2)若m=2a+b,n=a+c,求向量m,n夹角的大小. 小进，层 路代 16.(15分) 设△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°，a=√7，且b2+c2=8. (1)求△ABC的面积； (2)若角A的平分线交BC于D点，求线段AD的长度. 17.(15分) 如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在边AB上，BE=2EA,AD与CE交于 点0. (1)以A店，AC为基底表示BD: (2)若Bd=xAB+yAC,求x,y的值； (3)若脑·花=6d.武，求的值 lAC 高一数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形 ABCD中，AB=√3，BC=2,AD=25 (1)若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且 ∠A=60°； ①求CD的长； ②若=子花，求成，成的值 (2)若CD=3,求四边形ABCD面积的最大值， 19.(17分)》 设两个非零向量a,b,0A=4,0B=b,0A逆时针旋转到0序所成的角为0.定义伪叉积： a×b=|a|·|b|sin8.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的a,b,c,入∈R,满 足(a+b)×c=axc+b×c,(Aa)b=a×(Ab)=入(axb) (1)设a=(1,3),b=(2,3),计算a×b和b×a; (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),求证：a×b=x1y2-*2y1； (3)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若m=(b,c),n=(a+c,b),且m× n=0,求 1-1的取值范围。 tanc tanB' 高一数学试题第4页（共4页）2025级普通高中学科素养水平监测试卷 数学参考答案及评分标准 2026.4 说明： 一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容参照评分标准酌情赋分， 二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数， 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.B2.C3.D4.A5.C6.A7.B8.D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ABD 10.BD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 3V2 12.-1+3i13.4m14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：（1)由a仍，可得2x-4×3=0,解得x=6, 2分 由a⊥c,可得2X4+4y=0,解得y=-2.…4分 =6,y=-2.…5分 (2)由(1)b=(3,6),c=(4,-2),… 6分 m=2a+b=(4,8)+(3,6)=（7,14),n=a+c=(2,4)+(4,-2)=(6,2),…8分 7×6+14× 2-2 设m,n的夹角为0，则w9n7462是 …12分 又0e[0,ml,0=牙，所以向量m,n的夹角为 ，……13分 高一数学答案第1页（共6页） 16.(15分) 解：(1)由余弦定理可得：cosA= -6t。=2即BF+62-a2=bc,…3分 .a=√7，b2+c2=8,所以bc=1, …5分 .S△ABc= 2 bcsinA=3 1 4 …7分 (2).AD为角A的平分线，所以∠BAD=∠CAD=30°.… 8分 :5ac=5.aumt5aoZ·ADsn30+克，A0sin30 1 4 …11分 而6+o=b+02=B+02+2bc=⑩，品 ·AD=30 10 …15分 17.(15分) 解：1)B助8d=(ad-=-+d …2分 (方法一)(2)连接B0,设Ad=A4而，则Ad=入AB+入A亡， …3分 设B0=武，则Ed=C成=（子Ci+}C=3iud,…4分 A0+o呢=今+号花-(-了d內=（分+片）+（分）配， …6分 又Ad+0呢=Ai=店，…7分 小含背}分=0，解得A了仙=子 11 8分 0+证， .Bd=B+d=-A丽+成+4C=-3感+}A花， …10分 s31 4y …11分 4 高一数学答案第2页（共6页） (3)由(2)知0-+4d,或=Ei+ad=-子+4d, 66.d-6x子(d+4d)(号+d)=+d.4d+论，…13分 已知A店.A元=6Ad.E元， +农=0，即 =3, ,1AB面 =√5 15分 (方法二)(2)连接B0,则Bd=xAB+yAC=xA店+y(B元-BA) =-xBA-yBA+yBC=(-x-y)BA+yBC, …4分 成-威励-(y)盛成 E,0,C三点共线(-)+y=1,即：3+2=0①， 6分 ~励C防=(-y)威+2y成. :A,0,D三点共线，所以(-x-y)+2y=1,即：x-y+1=0②…8分 2得=子y=行 …9分 (3)设Ad=m,d=nBd,则4d=md=nm(+d, ……10分 Ad=Ai+Ed=A应+nE元=A正+n(AC-A正) =-n花n花-1与2n花。 …11分 3 1 1 解得m= 2n=4, …12分 1 2m=n, ∴4d=而-子(+a),E成=C-应=-子店+心， 6id.d-6x(+d)(-+Md-+.d+衣，…13分 已知A店.AC=64d.E元， 破+衣=0，即 2 3: 衣 =3. …15分 高一数学答案第3页（共6页） 18.(17分) 解(1)①如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=√3，AD=2√3， 由余弦定理可得BD2=(√3)2+(23)2-2×√3×23×c0s60°=9，则BD=3,…1分 注意到BD2+AB2=AD2,所以LABD=90°， 又Sauw=5Ao,得时AB,A0si60P-BD.BCsm∠DBC, 2 即3sin60°=3 3sin DRC-sinDBC=Y5 2， …2分 又四边形ABCD为凸四边形，∴.0<∠DBC<90°，故∠DBC=60°，…3分 在△BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×Cos60°=9+4-6=7， .CD=√7. …4分 (方法一)②如图，以B为原点，建立平面直角坐标系，由 ①知B(0,0),A(0,W3),C(1,-√3)，D(3,0),则Bi=(3,0). …6分 设M(x,y),则Ai=(x,y-√3)，AC=(1,-23) B(O 由-号记，得(y3)=号1，-2)， 2 ……8分 威丽层（子停= 7√3、11 9 …10分 (方法二)②：BA·BC=2x√3×c0s(90+60)=-3, B元.Bd=2x3xc0s60°=3，B·Bd=0,… 6分 =子花。 mir号成-瓜-+子(d-=号d-励. 又丽=赋+号配， … 8分 B威.成i-(兮子8d(兮号d-B) +恋+成，心成，励}威，励 高一数学答案第4页（共6页） 4 4 33=、11 ×3+x2+x(-3)- …10分 9 (2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理分别得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA= 15-12c0sA, BD2=CB2+CD2-2CB.CDcosC=13-12cosC, 1 .∴.15-12cosA=13-12cosC,即c0sA-c0sC= 6 …11分 四边形ABCD面积为： 1 S==(AB ADsinA+CB CDsinC)=3sinA+3sinC, S =sinA+sinC,……13分 3 .S2,1 936 (sinA+sinC)2+(cosA-cosC)2 =2-2(cosAcosC-sinAsinC)=2-2cos(A+C)≤4，…15分 当且仅当A+C=m,即cs=2osC=时，o(4+C)取最小值， …16分 +36s4,52s1435≤1g 21 则 4,8s 2, 所以四边形ABCD面积S的最大值为码 …17分 19.(17分) a·b 11 解：(1)如图：由平面向量数量积可得cos∠AOB= 11 Ial·lbl√1⑩x√/13√130 …1分 ,1213 则∠AOB为锐角，且sin∠AOB=√1-cos2∠AOB=,/1- =√1-130√130 …2分 结合图形可知，axb=Ial·Ib1sin(2m-∠AOB) =-lal.lb1sin∠A0B=-√I0x,/13x3 =-3,…3分 √130 bxa=Ib1·lalsinA0B=√I3x/10x3 =3.…4分 130 高一数学答案第5页（共6页） (2)不妨设射线OA、OB分别为角B的终边， 则0=B-+2kπ(k∈Z),…5分 设|al=m,|b|=n,则a=(mcosa,msina),b=(ncosB,nsinB),…6分 则axb=lal·1bIsin0=|al·Iblsin(B-a+2kr)=mnsin(B-a) =mn(sinBcosc-cosBsina)=mcosa·nsinB-msina·ncosβ=x1y2-x2y1, 故aX乃=x1y2-x2y1.…8分 (3).m=(b,c),n=(a+c,b),由(2)知mxn=b2-c(a+c)=0, .b2=a0+c2,… 10分 由余弦定理，b2=a2+c2-2 accosB,可得ac+c2=a2+c2-2 accosB, 即c=-2CC0sB,…11分 由正弦定理得，sinA-2 sinCcosB=sinC(*), .sinA=sin(T-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, 代入(*)化简得：sinBcosC-cosBsinC=sinC,即sin(B-C)=sinC,…l2分 B,Ce(0,受，则B-Ce(72）,所以B-C=C,即B=2C,…13分 0B<号 ,△ABC是锐角三角形，故 B T 解得写<B 2 …14分 0<π-B- 22 :、1 1 sinBcosC-cosBsinC sin(B-C)1 …15分 tanC tanB sinCsinB sinCsinB sinB' <B<.3 3 22 sinB<1,即1<123 sinB3’ …16分 11 2√3 tanC tanB 的取值范围是(1，兮).…17分 高一数学答案第6页（共6页）