精品解析：山东省临沂市河东区、费县2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象向左平移个单位长度后，其图象关于y轴对称，（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在方向的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 6. 如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A. B. C. D. 8. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与在上有相同的单调性 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与有相同的最小正周期 10. 已知锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. ，则是等腰三角形 C. 若，则的取值范围 D. 若，则的取值范围是 11. 设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的“仿射坐标”为 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，都是锐角，，，则______． 13. 圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为______． 14. 在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 16. 已知函数的最大值为． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求使成立的的取值集合． 17. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为16cm，两底面面积分别为和，求： （1）圆台的高； （2）圆台的体积； （3）截得此圆台的圆锥的表面积． 18. 已知复数（其中i为虚数单位），若复数z的共轭复数为，且． （1）求复数； （2）求复数； （3）若是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值，并求出方程的另一个复数根． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，. （ⅰ）求a． （ⅱ）过边BC上一点P作AB，AC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数除法化简复数，进而求得复数的虚部. 【详解】，则的虚部为. 故选：B 2. 函数的图象向左平移个单位长度后，其图象关于y轴对称，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换及奇偶性即可求解. 【详解】的图象向左平移个单位长度后得， 由题意得函数为偶函数， 所以， 所以，又因为， 所以. 故选：. 3. 已知向量，，则在方向的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示求解数量积，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 故在方向的投影向量为， 故选：B． 4. 已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合等边三角形的特点和向量的夹角公式计算即可． 【详解】在等边三角形中， 有． 故选：D． 5. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 6. 如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 7. 已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多面体的体积与内切球的半径之间的关系，求内切球半径，进而利用球的体积公式求球的体积. 【详解】因为三棱锥的体积：，其中为三棱锥的表面积，为其内切球的半径. 所以. 所以这个三棱锥内切球的体积为：（）. 故选：B 8. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由函数与方程的关系，根据函数的奇偶性，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得方程，在上存在唯一解， 令， 由，函数为偶函数 当函数在上存在唯一零点，， 即，解得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与在上有相同的单调性 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与有相同的最小正周期 【答案】BD 【解析】 【分析】根据余弦函数的零点，单调性，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，若，则，由余弦函数性质可知，在上单调递减， 又，由余弦函数性质可知，在上单调递减， 即与在上有相同的单调性，B选项正确； C选项，根据余弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，C选项错误； D选项，根据周期公式，的周期均为，D选项正确. 故选：BD 10. 已知锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. ，则是等腰三角形 C. 若，则的取值范围 D. 若，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理和正弦函数单调性得到，必要性成立；B选项，由正弦定理和三角恒等变换得到，故，B正确；C选项，由余弦定理得到，由正弦定理，三角恒等变换得到，得到，由正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，故；D选项，由C知，，化简得到，又，所以，结合对勾函数单调性得到答案. 【详解】A选项，，即， 为锐角三角形，故， 在上单调递增， 所以，所以，必要性成立，A错误； B选项，， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形，故， 故，故，即， 所以，， 因为，所以， 故或， 当时，，此时为直角三角形，不合要求，舍去， ，则是等腰三角形，B正确； C选项，若，由余弦定理得， 则，又，故，则， 由正弦定理得，故，即， 因为， 故， 故， 为锐角三角形，故，， 则， ， 因为，所以，解得， 由得，解得， 又，综上，， 其中在上单调递减，故，C正确； D选项，，由C知，， 故， 因为，所以， 由对勾函数性质，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以，D错误. 故选：BC 11. 设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的“仿射坐标”为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算,来求模长，求数量积为0，以及两向量共线，即可求出参数，从而作出判断. 【详解】因为向量和的“仿射坐标”分别为，， 所以，， 又因为是夹角为的单位向量，所以 则，故A正确； 若，则，此时， 则的“仿射坐标”为，故B正确； 由得：，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，都是锐角，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，都是锐角及，，根据同角三角函数的平方关系求得，，再根据两角差的正弦公式求解即可． 【详解】因为，都是锐角，所以，则， 又，所以， 所以，， 则 ， 故答案为：． 13. 圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，由全面积得出，并得出，再由体积公式得出体积关于的函数，由函数性质得最大值． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， ∴全面积为，即，， 又，∴， 体积为， ∴时，， 故答案为：． 14. 在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用向量的坐标运算及向量相等，即可求解第一空，设，根据条件求出，利用数量积的坐标运算，求得，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，易知， 则，所以，又， 则，所以， 设，所以，又为中点，所以， 所以，则， 图象开口向上，对称轴为，又， 由二次函数的性质知，当时，最小，最小值为， 故答案为：##，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三点共线得，即可列等量关系求解； （2）根据平面向量的线性运算及线性运算的坐标运算求解即可； （3）设，由平面向量线性运算的坐标运算及向量相等列方程组求解即可． 【小问1详解】 ， ∵A，E，C三点共线，∴存在实数，使得， 即，即， ∵，是平面内两个不共线的非零向量， ∴，解得，． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ∵A，B，C，D四点按逆时顺序构成平行四边形，∴， 设，则， ∵， 由，得，解得， ∴点A的坐标为． 16. 已知函数的最大值为． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求使成立的的取值集合． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，再由正弦函数的有界性求出参数的值； （2）由（1）可得，再由正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 ∵ ， ∵，，∴，∴． 【小问2详解】 由（1）知：， 令，，∴，， ∴函数的单调递增区间为，； 【小问3详解】 ∵，即，∴， ∴，，解得，， ∴使成立的的取值集合是，. 17. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为16cm，两底面面积分别为和，求： （1）圆台的高； （2）圆台的体积； （3）截得此圆台的圆锥的表面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出轴截面，利用等腰梯形求得圆台的高. （2）直接利用圆台体积公式求解即可. （3）根据三角形相似求出圆锥的母线，进而利用圆锥的表面积公式求解即可. 【小问1详解】 圆台所在圆锥的轴截面如图： ∵圆台的上底面面积为，∴上底面圆的半径， ∵圆台的下底面面积为，∴下底面圆的半径， ∴，∴圆台的高. 【小问2详解】 ∵上下底面的面积为，， ∴ 【小问3详解】 设圆锥的母线长为x，圆台的母线长， 由上图可知即，解得， ∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积为， ∴圆锥的表面积． 18. 已知复数（其中i为虚数单位），若复数z的共轭复数为，且． （1）求复数； （2）求复数； （3）若是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘方运算，乘法运算及共轭复数的定义即可求解； （2）根据复数的除法运算即可求解； （3）将代入方程求得，再求解方程即可． 【小问1详解】 ∵，∴． 【小问2详解】 ∵，∴． 【小问3详解】 若是关于x的方程的一个根，则， 即，∴，解得，， 设方程另一根为，∴， 整理得，， 则，解得，或， ∴方程的另一根为． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，. （ⅰ）求a． （ⅱ）过边BC上一点P作AB，AC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合弦切互化，根据正弦定理得，然后逆用两角和的正弦公式结合三角形的性质化简得，根据角的范围利用特殊角的余弦值求解即可. （2）（ⅰ）先利用两角和正弦公式求得，然后利用正弦定理求解即可. （ⅱ）设，则，，，进而，根据余弦定理得，根据二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，则. 由及正弦定理得， 整理，得， 即， ∵，，则， 又，故. 【小问2详解】 （ⅰ）在中，，， 则， 由正弦定理，得，∴. （ⅱ）如图，∵，∴与互补，故， 设，则，，， ∴， 则 ， 当时，DE取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $