广东广州市第三中学等三校2025-2026学年第二学期期中素养综合评估检测题高二数学（问卷）

2025学年第二学期期中素养综合评估检测题 高二级 数学参考答案（评分标准） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A c B D A ABD ABD 题号 11 答案 BCD 1.A 【详解】等差数列{，}中，由S,=35,得@+a)=35,即7a4=35,解得a=5, 2 而4-2则公差1子没-方所以4-+-2州1 2B【销解1了02名0 2 =2, 所以过点L,1)的切线方程为：y-1=2(x-1),即2x-y-1=0 3.B【详解】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是4=64. 4.A【详解】第一步，从4名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C=6种方法； 第二步，从剩下的2人中选派1人参加星期日的公益活动，有C=2种方法， 所以不同的选派方法共有6×2=12种方法. 5.C【详解】法一：原式 [--(++ear+acfr+er+手a万 所以其常数项为C42+CC4(-4)2+(-44=1120. 法二： 默[axa--ewf-6rg 由8-2k=0,得k=4,所以常数项为(-1)4×24C8=1120 故选：C 6B【详解】由题当x>0时，f()-出，所以了g=0-血d 所以当x∈(0，e)时，f'(x)>0,当x∈(e,+o)时，f'(x)<0; 所以f(x)在区间(O,e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 当x=e时f(e)=1,当x→0时，f(x)→-o: 答案第1页，共9页 当x→+0时，f(x)→0：所以可作出函数的图象，如下图， -6 若要使函数g(x)=f(x)-3m有4个不同的零点， 所以y=f(x)的图象与直线y=3m有4个交点，即0<3m<1,解得0<m< 3 7.D【详解】设等比数列的公比为q(q>0),9☑+4= g2 72 8g2=48, q2 当且仅当 对，甲g=5时段等号，比时4导-多 72 8.A【详解】由a.+a+2=21+2,得(a+2-a)-(aH-an)=2, 故数列{a+1-an}是公差为2的等差数列，首项为4-4=4-1=3， 所以a+1-an=3+2(n-1)=2n+1, 则a.=(a,-a-1)+(a-1-a-2)++(a42-4)+4=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1 -(2n-1+1=川，n≥2，显然a=1满足上式，则%=m， 2 放4=[3)=4，当≥2时，2<2+3，故6=2+3， n 所以数列{b}的前2026项和为4+3×2025=6079，故A正确. S=a1+q+g2)=7 4=4 9.ABD【详解】对于A、B,由 43=4q=1 ，解得 1,故A、B正确； 9>0 9= 2 1) 对于C:S,= 31,故C错误： 1-q 11 4 2 答案第2页，共9页 wg到 1-g -s付1-小8DE: 10.ABD【详解】令x=0,即4，=-2，故A正确： 可知(x-2)(K+1)的展开式为(x-2)Cx4+=x.C4x4-2Cx4-=Cx--2Cx4-, 则x项的系数4，=C4-2.C=-8,故B正确： 令x=1,即4+4+4+4+a4+a,=-16,所以4+4+4+44+4=-14，故C错误： 令x=-1,即4-4+4-4+a4-4=0,联立可得4++4=-8 山，BCD【详解】解：对于A选项，)=六的定义域为(O1)uLo),所以A选项 错误： 对于B迹项，了八)，令f>0可得x>e, 24 4 即函数f(9在(e+)上单调递增，f(2)22n2h4f(4.e<<4, 即f(π)<f(4)=f(2),所以B选项正确： 对于C选项，令8(x)=f(x)-2k+1=0,即f(x)=2k-1, 8(x)=f(x儿2k+1有3个不同的零点等价于函数出=f(x)和函数y2=2k-1有3个不同 的交点， y=f(x) y=2k-1 O1 e 由图像可知，2k-1>ε，解得k>,，所以C选项正确 对于D选项，方程f(=k有6个不等实数根等价于函数y=f(训和函数巧=k有6个 不同的交点， 答案第3页，共9页 y=f) -e -1O e 由图像可知，k>e,所以D选项正确. 12.18【详解】满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选 修课，其中只选1门知识类选修课的选法有CC=12种 选2门知识类选修课的选法有C=6种. 所以符合条件的选法有12+6=18种， 13.-260【详解】依题意可知，1-2x)展开式中含x的项为C,·(-2x),含x2的项为 C(-2x)3,因此(3+2x2)1-2x)的展开式中含x2的项为 2x2.C·(-2x)+3C(-2x)3=-260x3,所以x2的系数为-260 14.存o）【详解】由于y=+a>0,则y=a- 则曲线y=+(a>0)在点(，%)的切线方程为y )w 即a- 。1 x-y+ 之=0，又因为此切线也为圆x+=4的切线， Xn 2 则圆心(0,0)到切线的距离d a12 2两边平方，化简为。=[ax+1 a +1 段，则=(a-t+1,即P-(2a+1+a+1兵 因为存在4条切线，所以上述一元二次方程有两个不同的正实根时x,有4个解， (2a+1)2-4(a2+1)>0 则{2a+1>0 3 ,解得a>4 a2+1>0 所以a的取值范围是 答案第4页，共9页 a+4=2a+5d=12, 15.【详解】(1)由题意得 1S,=5a+10d=25, -4分 解得 9=1, d=2, -6分 所以a=4+(n-1)d=2n-1.--7分 2 11 2亩6.a2m-2n+2n-12 -9分 所以Z=6+6++b,=1-}}1 1 1 335+ ------11分 2n-12n+1 =1-1<1.-13分 2n+1 16.【详解】1)由题可得f)=冬=二(>0，-2分 - 因为曲线y=f(x)在点(ef(e)处的切线与直线x=2垂直， 所以∫g=二k=0,…3分 e2 解得k=e;------4分 (2)由(1)知f')=二(>0)，令fw)=0,解得x=e x2 由f"(x)<0,解得0<x<e,由f'(x)>0,解得x>e,--6分 所以f(x)的单调减区间为(0，e),单调增区间为(e,+o),---8分 当x=时，f(x)取得极小值f(e)=2;---9分 (3)由g(N)=f()-x=nx+冬-x在(0，+)上单调递减， 即g)-卓1-0在0上电成立，10分 x2 即k≥-x2+x在(0，+o)上恒成立，所以k≥(+xs,-11分 令()=-+x(>0),易知h()在0，之上单调递增，在兮+0)上单调递减，…l13分 41 1） 即k的取值范围为4+” .---15分 答案第5页，共9页 17【详解】(1)如图，取CD的中点O,因为PC=PD=3,所以PO⊥CD,-1分 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,POC平面PCD, 所以PO⊥平面ABCD,--3分 又BCC平面ABCD,所以PO I BC, 又BC⊥PD,POC平面PCD,PDC平面PCD,PDO PO=P, 所以BC⊥平面PCD.----5分 (2) A2方 因为PC=PD=3,0为CD的中点，CD=2,所以OC=1,P0=√PC2-OC=2√2. 过点O作OE∥BC交AB于点E,由BC⊥平面PCD,CDC平面PCD,可得BC⊥CD,则 OE⊥CD. 以O为坐标原点，OE,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，-7分 则4(2-3).21o.ca1o0j,Pa,2.Q0分5： 所以4西=040,40-(2V2,丽(212/，BC(2.09.-9分 ,7 设平面ABQ的法向量为i=(x,y,)，则 n.40=-2x+2yW2z=0 ---10分 i.AB=4y=0, 令x=1,得n=1,0,V2.-11分 设平面PBC的法向量为i=(a,b,c), 则mB驴-2a-b+2V2=0. -.-12分 m.BC=-2a=0, 令c=1,得m=(0,22,1.---13分 答案第6页，共9页 设平面ABQ与平面PBC的夹角为B,则cosO= m列2-√6 园3x√59， 故平面1B0与平面P8C夹角的余弦值为 --15分 9 18【f解】1》已知离心率e-后5.故e-号-3，结合c=+68得6=2 a 所以双由线方程可写为号品1，代入点6回)得：子会-1， 32 解得a=2,所以6=4，双曲线C的方程为。 =1.-----4分 24 (2)由(1)得右焦点F(6,0),分两种情况讨论： [x=√6 若直线1斜率不作在.则1：x=6,由生得25 {241x=6 不妨设A(√6,2√2)，B(√6，-2√2)， 则：OA=(N6,22),0B=(N6,-2W2),所以OA0=6-8=-2: -----6分 若直线l斜率存在，设为k,则1：y=k(x-√6)， y=k(x-6) ，得(2-K)+26x-6k-4=0, --7分 此时△=24k4+4(2-k2)(6k2+4)=32+32k2>0且k≠±V5.---8分 2-P,为=(62+4) 设4(，B,,由韦达定理：4+5=2V6 -9分 2-k2 则：0A0B=x52+y=x+2(玉-6)3-V6)=(1+k2)xx2-V6k2(飞+x3)+6k2 =1+)G-62,2+6k2-66-+2+12心--2 2-k2 2-k2 2-k2 综上，OA.OB=-2,即OAOB为定值.-11分 (3)假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则OM与PQ中点重合， 设P9中点为G(x,),则M(2x,2y)。 设，y,飞，均)，则号上=L发发=1，两式相减得为=当=+54，即 24 ”24 ￥-x32片+为1 e2 答案第7页，共9页 整理得PQ方程为2.x-%=2x-y6。-13分 又M在双曲线上，代入得2，_（2八-1，即2G-6=,故2方程为26-%=1. 2 4 若%≠0， 联立P9与双曲线2x2-y2=4,消去y得（4-2y)x2-4x+1+4=0,---15分 即2x2-4xx+1+46=0,判别式△=16-81+4)=-24<0： 若6-0，则2G=1,P0:x=±5，代入双曲线得y=-3,无实根 2 因此不存在满足条件的三点.--17分 19.【详解】(1)f(x)=2e-r的定义域为R,f'(x)=2e*-a. 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增；--2分 a 当a>0时，由f'(x)=0得x=ln5, 2 由f四20符x≥好由f0得号 则J在m,h上单调递减，在 2 血2+∞上单调递增. 4分 综上，a≤0时，f(x)在R上单调递增， a>0时，（在m,h上单调递减，在n兴 上单调递增.-5分 2 (2)因为f(x)在R上有两个零点，所以a≠0， 由f-=0相总-子令)总则m)。 所以m(1)=0,x>1,时，m(x)<0,x<1时，m(x)>0, 所以m(x)在(-o,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， m(x)有极大值，也就是最大值为m①)=上， ----8分 e 又m(0)=0,x无限趋近+o时，m(x)无限趋近于0， 所以∫(x)在R上有两个零点时，0< 21 a e 所以a>2e,即a的取值范围是(2e,+∞).----11分 答案第8页，共9页 (3》因为8()=之()-=。2--号有两个极值点， 2 所以g6)-e-2x-号0，有两个实数根，， 所以c-2巧=号c-25=受可得c-c心=2(5），12分 e= 2t e-1 设t=x2-x>0,将x2=+t代入，得 e为= 2t.e' e-1 所以en+e=2t+2.e_2t+21.e -----13分 e-1e-1e-1 所以要证e+e>4,只需证21+21.C>4,即t-2)c+t+2)>0. e'-1 设h(t)=(t-2)e+(t+2)(t>0),则h(t)=(t-1)e+1.--14分 令p(t)=(t-1)e+1,则p'(t)=te>0,可知h(t)=(t-1)e+1在(0，+∞)上为增函数. 又h(0)=0,所以t>0时，1(t)>0,h(t)=(t-2)e+(t+2)在(0，+o)上为增函数. 所以h(t)>h(0)=0,即(t-2)e+(t+2)>0成立，所以e+e>4成立.-----17分 答案第9页，共9页 2025学年第二学期期中素养综合评估检测题 高二级数学 一、单选题 每小题5分 共40分. 1. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 2. 在曲线上的点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 4. 从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 24种 D. 36种 5. 的展开式中的常数项是（ ） A. 352 B. C. 1120 D. 6. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 8. 设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（） A. B. C. D. 二、多选题 每小题6分，共18分，错选得0分，答对部分得部分分. 9. 记公比大于0的等比数列的前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 若方程有6个不等实数根，则 三、填空题 每小题5分，共15分. 12. 某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 13. 在的展开式中，的系数为____. 14. 若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________. 四、解答题 共77分. 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 16. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； （2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值： （3）若在上单调递减，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点． （1）求的方程． （2）动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值． （3）C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 2025学年第二学期期中素养综合评估检测题 高二级数学 一、单选题 每小题5分 共40分. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题 每小题6分，共18分，错选得0分，答对部分得部分分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题 每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 共77分. 【15题答案】 【答案】（1） （2）由， 所以 . 【16题答案】 【答案】（1） （2）单调减区间为，单调增区间为，极小值为2 （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，取的中点，因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面，所以平面， 又平面，所以，又平面平面， ，所以平面． （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）得右焦点，分两种情况讨论： 若直线斜率不存在，则，由得， 不妨设， 则：，所以； 若直线斜率存在，设为，则， 由，得， 此时且. 设， 由韦达定理：， 则： . 综上，，即为定值. （3） 假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合， 设中点为，则。 设，则，两式相减得，即， 整理得方程为。 又在双曲线上，代入得，即，故方程为. 若， 联立与双曲线，消去得， 即，判别式： 若，则，，代入双曲线得，无实根. 因此不存在满足条件的三点. 【19题答案】 【答案】（1）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明：因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，即． 设，则． 令，则，可知在上为增函数． 又，所以时，在上为增函数． 所以，即成立，所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $