精品解析：江西赣州市章贡区2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试题

2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试题卷 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟：答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．）． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，点是矩形对角线的中点，交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形中，，，点表示，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（ ）     A. B. C. D. 5. 观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（ ） A. 总是矩形 B. 总是菱形 C. 中不可能存在 D. 中可能存在 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：___________． 8. 命题“四个角都是直角的四边形是正方形”是______（填“真命题”或“假命题”）． 9. 在中，，，则________． 10. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 11. 如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 12. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）； 14. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 15. 分别在以下网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点，画一个面积为5的正方形； （2）在图2中，以格点为顶点，画出一个腰长为，面积为3的等腰三角形． 16. 已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多． （1）求这个多边形的边数； （2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ 17. 如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． （1）求证：． （2）若，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 19. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 20. 如图，为矩形的对角线，过的中点O作的垂线，分别交，于F，E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，的面积为，求的周长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为，求的长． 22. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： 方法一（）． 方法二（）． （1）参照方法一（），化简：； （2）参照方法二（），化简：； （3）化简． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）当为何值时，以为顶点的梯形面积等于？ （3）是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试题卷 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟：答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．）． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A中的被开方数，无意义，不是二次根式， 选项B中的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项C、D根指数不为2，不符合二次根式的定义． 2. 下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形中的数字计算正方形的边长，再由勾股定理计算求解即可 【详解】解：A选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则，不满足题意； B选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则，不满足题意； C选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则，满足题意； D选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则，不满足题意． 3. 如图所示，点是矩形对角线的中点，交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质和三角形中位线定理可得，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线性质可得的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，． ， ． 点是的中点， 是的中位线． ， ， 在中，． 点是斜边上的中点， ． 4. 如图，矩形中，，，点表示，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：如图，四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得，， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示， 点所表示的数为：. 5. 观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 6. 如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（ ） A. 总是矩形 B. 总是菱形 C. 中不可能存在 D. 中可能存在 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质可得四边形是菱形，当时，菱形是正方形，则．据此判断即可． 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 当时，菱形是正方形，则． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 8. 命题“四个角都是直角的四边形是正方形”是______（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，根据矩形的判定定理即可判断，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：四个角都是直角的四边形是矩形，原命题是假命题， 故答案为：假命题． 9. 在中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中，由勾股定理可得，根据，可求出，将其代入即可求解． 【详解】解：如图，中，，， ∴， ∴． 10. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】根据五边形内角和为，得到，结合是等边三角形，计算即可得解． 【详解】解：∵正五边形中，以为边作等边， ∴，， ∴． 11. 如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 12. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到，分当点在上，在上时，当在上时，当在上，在上时，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点，，，， ∴，，， ∴， 由折叠性质可得：，， 当点在上，在上时，过作于点，则， 设，其中，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形，是平行四边形， ∵， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 当在上时，如图，过作于点， 同理可得：四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在上，在上时，如图， 设，则， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 14. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【小问1详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴； 【小问2详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 15. 分别在以下网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点，画一个面积为5的正方形； （2）在图2中，以格点为顶点，画出一个腰长为，面积为3的等腰三角形． 【答案】（1） 作图如下： （2） 作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理， （1）由正方形的面积可得出正方形的边长，再根据勾股定理即可求解； （2）根据腰长利用勾股定理求出底，高，即可求解； 【小问1详解】 解： 此正方形的边长为， 由勾股定理得：， 【小问2详解】 解：， 则等腰三角形的底、高分别为、3， ． 16. 已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多． （1）求这个多边形的边数； （2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，正多边形内角问题，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为360度且这个多边形的内角和比外角和的3倍还多建立方程求解即可； （2）用这个正多边形的内角和除以其内角个数即可得到答案． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数是n， 由题意得， 解得， 答：这个多边形的边数是9； 【小问2详解】 解：正九边形的每一个内角为． 17. 如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，再由即可证明结论； （2）先由菱形的性质得到，则可求出的度数，进而可求出的度数，同理可得的度数，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 同理可得， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】（1） 证明：，，， ， 是直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ， 则（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 19. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴． 20. 如图，为矩形的对角线，过的中点O作的垂线，分别交，于F，E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵O是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，求出，可得，可得四边形是平行四边形．可得平行四边形为菱形； （2）由，得，∴由的面积为，得，得，即，得（负值舍去），即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴①， ∵的面积为， ∴， 即②， 把②代入①得，， 即， ∴（负值舍去）， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 在中，点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据“角角边”证明，可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得，然后说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）连接，根据菱形的性质说明四边形是平行四边形，可得，再根据菱形的面积是求出，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵菱形的面积是， ∴， 解得． 根据勾股定理，得． 22. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： 方法一（）． 方法二（）． （1）参照方法一（），化简：； （2）参照方法二（），化简：； （3）化简． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）参照方法一（）即可求解； （）参照方法二（）即可求解； （）把原式裂项化为，然后通过二次根式加减运算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）当为何值时，以为顶点的梯形面积等于？ （3）是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）或 （3）存在，的值为或 【解析】 【分析】（）分从运动到和从运动到两种情况，根据平行四边形的性质列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据梯形的面积公式列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据等腰三角形和矩形的性质列出方程解答即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； ∴当或时，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵以为顶点的梯形面积等于， ∴， 当从运动到时，则， 解得； 当从运动到时，则， 解得； ∴当或时，以为顶点的梯形面积等于； 【小问3详解】 解：存在． 当从运动到时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 当点返回时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 综上，存在点，使，此时的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $