重庆市名校联盟2024-2025学年高三下学期第一次联合考试数学试卷

重庆市名校联盟2024-2025学年度第二期第一次联合考试 数学试卷（高2025届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟． 注意事项： 1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 10 4. 某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（ ） A. ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃ 5. 已知双曲线 的离心率为为 的两个焦点，过作 的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角 所对的边分别为 ，若，则边上中线长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 10. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 是周期为 的周期函数 D. 11. 对于任意两个正数，，记曲线与直线，， 轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正实数 满足，则______. 13. 已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数r=______，其决定系数=______． 14. 已知直线与⊙ ：交于A，B两点，写出满足“面积为”的实数的一个值______（写出其中一个即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足： ，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 16. 已知函数. （1）若时，求曲线在处的切线方程； （2）若 时，在区间上的最小值为，求实数 的值. 17. 已知三棱锥，D在平面 上的射影为的重心O，， . （1）证明：； （2）E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有 三个腔室，粒子只能从室出发经室到达 室.粒子在室不旋转，在室､ 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入 室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为 .现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入 室，记 室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为 . （1）已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； （2）求 的分布列和数学期望； （3）设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 19. 如图，已知面积为的矩形 ，与坐标轴的交点是椭圆：的四个顶点，且该椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2） 为坐标原点，过下顶点的直线与 轴相交于点 （不同于 ），与直线相交于点，与椭圆相交于点，直线 与直线 相交于点. （i）证明：； （ii）设线段的中点为为椭圆上的两点，且直线，与椭圆都仅有一个公共点，，垂足为 .探究：是否存在定点，使得为定值?若存在，求点的坐标以及此定值；若不存在，请说明理由. 重庆市名校联盟2024-2025学年度第二期第一次联合考试 数学试卷（高2025届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟． 注意事项： 1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 1 【14题答案】 【答案】（答案不唯一） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 或 （2）证明：因为等差数列的公差不为零，由（1）知 则 所以，故 而随n的增大而增大，则，故成立 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 如图所示，连结并延长交于，因为O为△ABC的重心，所以是的中点， 又因为 ，所以由等腰三角形三线合一可得， 因为D在平面ABC上的射影为O，所以 平面ABC， 又 平面ABC，所以， 又平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， （2） 【18题答案】 【答案】（1）或 （2） X 0 1 2 P . （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明:设，则 ，故， , 设直线的斜率分别为， 则， 故 由于,则， 直线的方程为令则，故 所以 直线 的方程为令则，故 所以， ， 故，即； （ii），使得为定值， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $