重庆市好教育联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试卷

2024-2025学年重庆市好教育联盟高三（下）联考数学试卷（2月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数，则(    ) A. B. i C. D. 1 3.若函数的最小正周期为，则(    ) A. B. 3 C. D. 4.已知向量，，，则(    ) A. 6 B. 4 C. D. 5.已知变量x和y的统计数据如下表. x 80 90 100 110 120 y 120 140 a 165 180 若x，y线性相关，经验回归方程为，则(    ) A. 155 B. 158 C. 160 D. 162 6.若，则(    ) A. B. C. D. m 7.已知A，B，C是球O的球面上的三个点，且，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为(    ) A. B. C. D. 8.在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为r，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为m，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为a，宽为，则抗弯截面系数，若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知椭圆C：的离心率为，则m的值可能为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.已知定义在上的函数满足且当时，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 在上单调递增 C. 函数的零点从小到大依次记为，，，⋯，若，则a的取值范围为 D. 若函数在上恰有4个零点，则a的取值范围为 11.已知，，定义运算规定，且当，时，总有，则(    ) A. B. C. ，， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13.已知正项数列的前n项和为，且，则______. 14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，过作的角平分线的垂线，垂足为若N是圆E：上任意一点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知， 求C； 若外接圆的半径为5，求的面积. 16.本小题15分 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，m个白球，这些球除颜色外完全相同.若从盒子中随机摸出1个球，则白球被摸出的概率为 求m的值. 现从盒子中一次性随机摸出4个球. ①求三种颜色的球都被摸出的概率； ②记摸出的球的颜色种类为X，求X的分布列与期望. 17.本小题15分 如图，在直四棱柱中，，，，，，的中点分别为P， 证明： 若，求平面BPQ与平面夹角的余弦值. 18.本小题17分 已知抛物线W：的焦点为F，直线：与W相切. 求W的方程. 过点F且与平行的直线与W相交于M，N两点，求 已知点，直线l与W相交于A，B两点异于点，若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 19.本小题17分 已知函数，， 证明： 讨论函数在上的零点个数. 当，时，证明：， 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：因为，所以 故选： 由对数函数的定义域与单调性可求得集合A，再结合交集的概念即可得答案． 本题主要考查了集合交集运算，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：因为， 所以 故选： 根据复数代数形式的除法运算化简z，再根据复数的乘方计算可得． 本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：根据题意可知，的最小正周期为，所以，得 故选： 根据最小正周期得到方程，求出 本题考查了三角函数的性质，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：因为，，， 所以，， 则 故选： 由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案． 本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】解：， 经验回归方程为， 则， 则 故选： 根据样本中心点在回归直线方程上，得到，求出 本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：， 则 故选： 利用正切的两角差公式化为角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化为角正切，从而得解． 本题考查正切的两角差公式及二倍角公式的综合应用，属于中档题． 7.【答案】B  【解析】解：设球O的半径为R，外接圆的半径为r， 因为A，B，C是球O的球面上的三个点，且， 所以， 又球心O到平面ABC的距离为1， 所以， 所以球O的表面积为 故选： 根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可． 本题考查球的几何性质，属基础题． 8.【答案】D  【解析】解：记这三种截面的周长为C，则， 从而，， 由，得 令，，则在上恒成立， 故单调递增， 因为，，所以 因为，所以 故选： 根据题意分别得到，，的表达式，即可构造函数，根据导数求解函数的单调性求解． 本题主要考查了导数与单调性关系在实际问题求解中的应用，属于中档题． 9.【答案】BD  【解析】解：，则恒成立，椭圆的焦点坐标在x轴上， 由椭圆C：的离心率为， 得，解得或 故选： 根据椭圆的性质判断焦点位置，再结合椭圆离心率公式列出关于m的方程，进而求解m的值． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是中档题． 10.【答案】AC  【解析】解：由题可知，，故A正确； 由可作出的部分图象，如图所示： 可知在上单调递增，在上单调递减，B错误； 由，得， 根据函数的对称性可知，当时， 可知，是方程的两个不同的根，且，， 根据的图象可知，a的取值范围为，C正确； 当函数在上恰有4个零点时， 根据的图象可知，a的取值范围为，D错误． 故选： 直接代入即可求解A，根据作出函数的图象，即可结合选项逐一求解． 本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：根据题意可知，，A正确； 当，且时，， 所以， 令，， 则由， 可得，B不正确； 因为， 所以 ，C正确； ， 从而，即，D正确． 故选： 由已知运用定义计算即可判断A； 令，，由已知可判断B； 由已知将根据公式变形即可求解C； 根据公式利用放缩法即可求解． 本题考查了二项式定理的应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：因为，所以， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即为 故答案为： 先根据函数解析式求出切点坐标，继续对函数求导，切点处的导数值就是切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程． 本题考查函数的切线问题的求解，属基础题． 13.【答案】2500  【解析】解：因为， 所以当时，， 两式相减得：，整理得 因为，所以； 当时，，解得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以 故答案为： 根据作差得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再由等差数列求和公式计算可得． 本题考查利用与的关系求数列的通项公式，等差数列的概念和前n项和公式的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：延长，，使之交于点Q，由于，PM平分， 因此，M为的中点，又因为O为的中点， 因此， 因此M在2为半径，以O为圆心的圆上， 根据，可得：， 那么N在以为圆心，2为半径的圆上，由于， 因此， 所以的取值范围为 故答案为： 根据已知条件结合双曲线的性质，确定M在以O为圆心，2为半径的圆上，根据圆的标准方程，确定N在以为圆心，2为半径的圆上，将问题转化成两圆上两动点距离问题即可求解． 本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题． 15.【答案】解：根据，由正弦定理得 结合，两式相乘可得， 即，可得 所以或，即或 由，可知，所以，可得； 因为中，为直角，且外接圆的半径，所以， 由，且，解得，，故的面积  【解析】根据正弦定理边化角，运用等式的性质与二倍角公式算出，结合求出，进而可得角C的大小； 根据正弦定理与直角三角形的性质算出边c的值，然后运用勾股定理求出a、b，再根据直角三角形的面积公式算出答案． 本题主要考查正弦定理、二倍角的三角函数公式、勾股定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题． 16.【答案】解：从盒子中随机摸出1个球，白球被摸出的概率， 所以， 解得； ①从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种， 三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种， 故三种颜色的球都被摸出的概率； ②由题可知，X的取值可能为1，2，3， 所以，， 所以， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以  【解析】由古典概型的概率计算公式求解即可； ①先求出从盒子中一次性随机摸出4个球的所有取法，再求出三种颜色的球都被摸出的不同取法，即可求解；②列出X的所有可能取值，分别求解概率即可得到分布列，再求解期望即可． 本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题． 17.【答案】解：证明：连接BD，因为，， 所以，则 因为，所以 又，所以为等边三角形． 取AD的中点E，连接BE，PE，则， 又P是的中点，四棱柱为直四棱柱， 所以， 因为平面PBE，平面PBE，，所以平面PBE， 因为平面PBE，所以 由题易知DC，DA，两两垂直， 故以D为坐标原点，DC，DA，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， ， 因为，所以， 解得， 从而，， 设平面BPQ的法向量为， 则，由，得， 令，得 易知平面的一个法向量为， ， 故平面BPQ与平面夹角的余弦值为  【解析】根据线面垂直的判定定理先证平面PBE，再利用线面垂直得到线线垂直； 建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角． 本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 18.【答案】解：联立直线与抛物线可得化简得 由于与W相切，因此，解得或舍去， 因此W： 根据第一问可知 由于，因此： 设，， 联立抛物线方程和化简得，根据韦达定理可得，， 设，，那么直线l：，① 直线BP的方程为，直线AP的方程为， 设动圆F的半径为r，因为直线AP和圆F相切，所以， 整理得， 同理可得， 所以a，b是一元二次方程的两个实数根， 则，，代入①式整理得 由，得，此时，故直线AB恒过定点  【解析】通过联立直线与抛物线方程，利用判别式为0求出p的值，进而得到抛物线方程； 先求出直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的焦点弦长公式求出； 设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，根据直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，同构得到a，b是一元二次方程的两个实数根，借助韦达定理求出，即可． 本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 19.【答案】解：证明：函数的定义域为， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而，则 因为，， 所以 当n为偶数时，，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而， 所以在上的零点个数为 当n为奇数时，在上恒成立，则在上单调递减 因为，，所以在上的零点个数为 证明：由可知，当，时， 要证，， 即证， 即证， 即证， 即证 由可知，，当且仅当时，等号成立． 令，可得， 故， 从而，  【解析】求出函数的最小值即可得证； 分n为偶数和n为奇数讨论求解即可； 转化为证明即可． 本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$