精品解析：北京市正泽学校2025-2026学年第二学期期中试卷 七年级数学

北京市正泽学校2025-2026学年第二学期期中试卷 初一年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，28道小题；答题纸共2页，满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10小题，第1-5题每小题3分，第6-10题每小题2分，共25分) 1. 16的算术平方根是( ) A. 4 B. －4 C. ±4 D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图所示，下列条件可以推出的是（　） A. B. C. D. 4. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，．与交于点．若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知点，若将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点恰好落在坐标轴上，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 10. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 11. 下列各数，，，，，，3.1010010001…中，无理数有________个． 12. “与的2倍的差不大于27”用不等式表示为____________________________． 13. 如图，已知，，，则等于_____． 14. 方程组的解为________． 15. 已知：，则___________．（精确到0．01） 16. 3月14日，我校举办“以数学之正，启万物之泽”的数学节活动，某个活动环节共设置有20道有趣味的题目，答对一题得10分，不答得0分，答错扣5分，小泽有一道题没答，最后得分为85分．设他答对了道题，答错了道，则根据题意可列出方程组为________． 17. 要说明“若，则”是假命题，可作为反例的一组数值是________，________． 18. 如图，在三角形中，，，把三角形向下平移至三角形后，，则四边形的面积为________． 19. 已知平面直角坐标系中有一点，当点到轴的距离为时，点的坐标为________． 20. 若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“嘉数”．例如：742，，是“嘉数”；例如：431，，不是“嘉数”．则最小的“嘉数”是______．若“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“嘉数”N的最大值是______． 三、解答题(本题共6小题，共55分，其中第21题17分，第22题11分，第23题6分，第24题7分，第25题6分，第26题8分） 21. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程： （4）解不等式：，写出求解过程，并在数轴上表示解集． 22. 请用直尺和三角板按要求画图并填空． （1）如图，点是内一点． ①过点画的垂线，垂足为点； ②过点画直线交于点； ③比较线段与的长度，________（填，或），依据是________． ④若，则________，________． （2）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格上，将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． ①请在图中画出；并写出的坐标； ②若边上一点经过上述平移后的对应点为，则（用含有，的式子表示）． ③的面积是________． 23. 完成下面的证明． 如图，平分，点在上，点在上，与相交于点，．求证：． 证明：与相交于点， _______（_______）（填推理的依据）． ， _______． （_______）（填推理的依据）． _______（_______）（填推理的依据）． 平分， ． ． 24. 如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 列方程（组）解决实际问题． 为了保护同学们的视力，同时也要节约成本，学校规定，学生使用护眼纸，其他办公用纸为普通纸．已知一包护眼纸比一包普通纸贵3元，学校3月份购进护眼纸40包，普通纸30包，花了1660元．求两种纸张的每包单价分别是多少元？ 26. 如图1，G，E是直线上两点，点G在点E左侧，过点G的直线与过点E的直线交于点P，直线交直线于点H，满足点E在线段上，． （1）求证：； （2）如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数； （3）在（2）的条件下，若点M是直线上一点，直线交直线于点N，点N在点B左侧，请直接写出和的数量关系，（题中所有角都是大于且小于的角） 四、附加题（本题共10分，其中第27题4分，第28题6分） 27. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：________；________． （2）若，写出满足题意的的一个整数值． （3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 28. 对于平面直角坐标系中的任意两点P，Q，若满足点Q到两坐标轴的距离之和等于点P到两坐标轴的距离之和的k倍，则称点Q为点P的k倍“灵动点”．如图1，点为点P的1倍“灵动点”，点为点P的2倍“灵动点”． （1）如图2，已知点，，，． ①在上面四点中，点的2倍“灵动点”是________； ②过点D作直线轴，点F在直线l上，且点F为点D的倍“灵动点”，则点F的坐标为________； ③点是线段上的一动点（线段上的点到两坐标轴的距离之和为3），过点作直线垂直于x轴，若在该直线上存在点R的1倍“灵动点”，请直接写出t的取值范围． （2）已知点．如果将坐标原点移到点，坐标轴的正方向、单位长度均不变，建立新平面坐标系．平面内恰有两点既是点P在原平面直角坐标系下的倍灵动点，又是点P在新平面直角坐标系下的1倍灵动点．请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市正泽学校2025-2026学年第二学期期中试卷 初一年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，28道小题；答题纸共2页，满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10小题，第1-5题每小题3分，第6-10题每小题2分，共25分) 1. 16的算术平方根是( ) A. 4 B. －4 C. ±4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个正数的平方等于a，那么这个正数就是a的算术平方根. 【详解】解：因为42＝16，所以16的算术平方根是4. 故选A. 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，理解一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根是关键． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限． 故选：D． 3. 如图所示，下列条件可以推出的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：．由可得出，无法得出，故该选项不符合题意； ．由，可得出，无法得出，故该选项不符合题意； ．由，可得出，故该选项符合题意； ．由，可得出，无法得出，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 5. 若，则下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的基本性质判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、由两边同时减去，得，选项式子正确； B、由两边同乘，不等号变向，得，选项式子错误； C、由两边同乘，不等号变向，得，选项式子正确； D、由两边同乘正数，不等号方向不变，得，选项式子正确． 6. 如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 7. 如图，长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，．与交于点．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，先理解题意，得出，由平行线的性质，得出内错角相等，故，再运用平角的定义得，最后由两直线平行，同旁内角互补得，即可作答． 【详解】解：∵长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，． ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 8. 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 9. 已知点，若将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点恰好落在坐标轴上，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移规则求出平移后点的坐标，再分落在轴和轴两种情况计算的值即可． 【详解】解：由题意可得， ∵恰好落在坐标轴上，分两种情况讨论： ① 若落在轴上，则纵坐标为，即，解得； ② 若落在轴上，则横坐标为，即，解得； ∴的值为或． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，分别总结出横、纵坐标的变化规律，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出： 、的横坐标为，、的横坐标为，、的横坐标为，， 的横坐标为； 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，， 的纵坐标为， 的纵坐标为； 点的坐标为． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 11. 下列各数，，，，，，3.1010010001…中，无理数有________个． 【答案】 4 【解析】 【详解】解：是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 含有无理数，是无理数； 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 因此无理数共有个． 12. “与的2倍的差不大于27”用不等式表示为____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式是解题的关键．根据“与的2倍的差不大于27”列出不等式即可． 【详解】解：“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为． 故答案为：． 13. 如图，已知，，，则等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，由垂线的定义得出，求出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察方程组中的系数互为相反数，可利用加减消元法求解即可． 【详解】解: ， 由①②得， ； 把代入②得， ； 原方程组的解为． 15. 已知：，则___________．（精确到0．01） 【答案】 【解析】 【分析】利用积的算术平方根的性质将变形为与已知相关的形式，再计算结果并按要求取近似值． 【详解】解：∵， ∴． 16. 3月14日，我校举办“以数学之正，启万物之泽”的数学节活动，某个活动环节共设置有20道有趣味的题目，答对一题得10分，不答得0分，答错扣5分，小泽有一道题没答，最后得分为85分．设他答对了道题，答错了道，则根据题意可列出方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】从题干中提取两个等量关系，再根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：已知总题量为道，小泽有道题未答， 因此答对题目数量与答错题目数量之和等于总题量减去未答题量，可得：，整理得． 根据得分规则，答对题得分，答错题扣分，最终得分为分，总得分等于答对得分减去答错扣分， 可得： ． 联立两个方程可得方程组． 17. 要说明“若，则”是假命题，可作为反例的一组数值是________，________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【详解】解：要说明“若，则”是假命题，则只需找到一组的值，满足且， 可取（答案不唯一）． 18. 如图，在三角形中，，，把三角形向下平移至三角形后，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的性质得到，，，推出，，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵三角形向下平移至三角形，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， 即四边形的面积为． 19. 已知平面直角坐标系中有一点，当点到轴的距离为时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值，列出含绝对值的一元一次方程，求解后代入坐标表达式，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得或， 当时， ， ， ∴； 当时， ， ， ∴； 综上，点的坐标为或． 20. 若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“嘉数”．例如：742，，是“嘉数”；例如：431，，不是“嘉数”．则最小的“嘉数”是______．若“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“嘉数”N的最大值是______． 【答案】 ①. 300 ②. 854 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，能正确理解题意是解题的关键． 要使“嘉数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小，据此确定十位的数字，从而确定百位的数字，再保证个位数字为0即可得到最小的“嘉数”；先求出，，再根据题意得到和都是整数，据此可得或或，或或，求出c的值，进而确定a的值即可得到答案． 【详解】解：要使“嘉数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小， 十位数字最小为0， 百位数字最小为3， 当百位数字为3，十位数字为0，且个位数字为0时，此时有最小的“嘉数”，即最小的“嘉数”为300； “嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c， ∴，即， ，， ，， 是整数，且是整数， 或或，或或， 或或， 当时，或（舍去）或（舍去）； 当时，或或（舍去）； 当时，（舍去）或或（舍去）； ∴或或， ∵“嘉数”N的最大值，则百位数字应最大， ，，时，N最大，最大为854， 故答案为：①300；② 三、解答题(本题共6小题，共55分，其中第21题17分，第22题11分，第23题6分，第24题7分，第25题6分，第26题8分） 21. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程： （4）解不等式：，写出求解过程，并在数轴上表示解集． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）解集为，数轴表示见解析 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 或 解得或； 【小问4详解】 解： 解得 ∴不等式的解集为， 数轴表示为： 22. 请用直尺和三角板按要求画图并填空． （1）如图，点是内一点． ①过点画的垂线，垂足为点； ②过点画直线交于点； ③比较线段与的长度，________（填，或），依据是________． ④若，则________，________． （2）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格上，将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． ①请在图中画出；并写出的坐标； ②若边上一点经过上述平移后的对应点为，则（用含有，的式子表示）． ③的面积是________． 【答案】（1）①见解析 ②见解析 ③，垂线段最短 ④， （2）①见解析，　 ②　 ③ 【解析】 【分析】（1）利用直尺和三角板完成垂线、平行线的尺规作图，再结合垂线段的性质、平行线的性质，进行线段大小比较和角度计算； （2）利用平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，先画出平移后的三角形，再写出对应点的坐标；利用平移的逆过程，根据已知的平移规律反推原坐标；采用割补法（或矩形包围法），通过计算包围三角形的矩形面积，减去周围三个直角三角形的面积，得到 的面积． 【小问1详解】 解：①如图所示，即所求； ②如图所示，即所求； ③， （垂线段最短）； ④， ，， ，， ， ； 【小问2详解】 解：①答案如图所示， ②由点的平移的规律：左减右加，上加下减，可知 ③ ． 23. 完成下面的证明． 如图，平分，点在上，点在上，与相交于点，．求证：． 证明：与相交于点， _______（_______）（填推理的依据）． ， _______． （_______）（填推理的依据）． _______（_______）（填推理的依据）． 平分， ． ． 【答案】，对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；，两直线平行，同位角相等； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据对顶角相等得出，结合已知条件证明，得到，进而证明． 【详解】证明：与相交于点 （对顶角相等） （已知） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 平分 ． 24. 如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质得到，根据等量代换得到，根据平行线的判定即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角的和差即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴．（ 内错角相等，两直线平行 ） 【小问2详解】 解：∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴（对顶角相等） 25. 列方程（组）解决实际问题． 为了保护同学们的视力，同时也要节约成本，学校规定，学生使用护眼纸，其他办公用纸为普通纸．已知一包护眼纸比一包普通纸贵3元，学校3月份购进护眼纸40包，普通纸30包，花了1660元．求两种纸张的每包单价分别是多少元？ 【答案】一包普通纸单价为22元，一包护眼纸单价为25元． 【解析】 【分析】先设一包护眼纸单价为元，一包普通纸单价为元，列出方程组，进行解方程，即可作答． 【详解】解：设一包护眼纸单价为元，一包普通纸单价为元， 由题意得， 解得， 答：一包普通纸单价为22元，一包护眼纸单价为25元． 26. 如图1，G，E是直线上两点，点G在点E左侧，过点G的直线与过点E的直线交于点P，直线交直线于点H，满足点E在线段上，． （1）求证：； （2）如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数； （3）在（2）的条件下，若点M是直线上一点，直线交直线于点N，点N在点B左侧，请直接写出和的数量关系，（题中所有角都是大于且小于的角） 【答案】（1）见解析 （2）的度数为； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据对顶角可得，即可求证结论； （2）过点作，则，由角平分线的定义可知，，，由，可得，进而可得，即可得结论； （3）根据点和点的位置不同，分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示， 则， 由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ∵， ∴， ∴， 平分， ， ∴； 即的度数为； 【小问3详解】 解：和的数量关系是或或， 理由如下： 在（2）的条件下，， 若点在的延长线上， ， ， ， ； 若点在上， ， ， ∵，， ， ； 若点在的延长线上， ， ， ，， ， 综上所述，和的数量关系是或或． 四、附加题（本题共10分，其中第27题4分，第28题6分） 27. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：________；________． （2）若，写出满足题意的的一个整数值． （3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 【答案】（1）2，5 （2）中任意一个即可 （3）255 【解析】 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴符合题意的值可以是，写出任意一个即可； 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 28. 对于平面直角坐标系中的任意两点P，Q，若满足点Q到两坐标轴的距离之和等于点P到两坐标轴的距离之和的k倍，则称点Q为点P的k倍“灵动点”．如图1，点为点P的1倍“灵动点”，点为点P的2倍“灵动点”． （1）如图2，已知点，，，． ①在上面四点中，点的2倍“灵动点”是________； ②过点D作直线轴，点F在直线l上，且点F为点D的倍“灵动点”，则点F的坐标为________； ③点是线段上的一动点（线段上的点到两坐标轴的距离之和为3），过点作直线垂直于x轴，若在该直线上存在点R的1倍“灵动点”，请直接写出t的取值范围． （2）已知点．如果将坐标原点移到点，坐标轴的正方向、单位长度均不变，建立新平面坐标系．平面内恰有两点既是点P在原平面直角坐标系下的倍灵动点，又是点P在新平面直角坐标系下的1倍灵动点．请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①，；②点F的坐标为或；③ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“灵动点”的定义逐一计算各个备选点到两坐标轴的距离之和，再与题中点E到两坐标轴的距离之和的2倍进行比较即可得出结果； ②先计算点D到两坐标轴的距离之和，再根据题意设，列出方程即可求得点F的坐标； ③先求出点R到两坐标轴的距离之和，由点所在直线上存在一点为点R的1倍“灵动点”，设该点坐标为，列出方程分析所有情况即可求得t的取值范围； （2）先求出原坐标的距离之和，设所求点原坐标为，根据题意得出，从而得出该方程的图形是中心在原点，顶点在的正方形内，再根据题设得原坐标对应新坐标为，点P原坐标对应新坐标为，由该点是点P在新坐标下的1倍灵动点，得出M满足，该方程的图形是中心在的正方形，而两个正方形需要恰好有2个交点，此时分情况讨论m的临界值情况，联立两个方程结合图象即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：①由题意知，点A到两坐标轴的距离之和为：， 点B到两坐标轴的距离之和为：， 点C到两坐标轴的距离之和为：， 点D到两坐标轴的距离之和为：， 点E到两坐标轴的距离之和为：， ∵点C、D两点分别到两坐标轴的距离之和均是点E到两坐标轴的距离之和的2倍， ∴点的2倍“灵动点”是，； ②∵， ∴， ∵点F是点D的倍“灵动点”，且点F在直线上， 设， ∴， ∴或， ∴点F的坐标为或； ③∵线段上的点到两坐标轴的距离之和为3，点在线段上， ∴，， ∵点所在直线上存在一点为点R的1倍“灵动点”， ∴设该点坐标为， ∴， ∵， ∴该方程有解的条件是， 解得． 【小问2详解】 解：由题意知，原坐标的距离之和为， 设所求点原坐标为， ∵平面内恰有两点是点P在原坐标系下的倍灵动点， ∴， ∴该方程的图形是中心在原点，顶点在的正方形内， ∵坐标原点移动到点，建立新平面坐标系， ∴原坐标对应新坐标为，点P原坐标对应新坐标为， ∴点P在新坐标系下的距离之和为， ∵该点是点P在新坐标下的1倍灵动点， ∴M满足， ∴该方程的图形是中心在的正方形， 记，则顶点为，，，， ∵两个正方形恰好有2个交点， 此时分情况讨论： ①当时，， 此时在第三象限，原正方形所有点满足，， 代入方程②得：，此时方程无解，没有交点，不符合要求； ②当时，， 此时在第一象限，原正方形所有点满足，， 代入方程②得：，此时方程无解，没有交点，不符合要求； ③当时，， 此时在第一象限，原正方形所有点满足，， 代入方程②得：， 当时，则有， 如图，原正方形的一整条边都落在第二个正方形上，有无数个交点，不符合要求， 当时，则有， 如图，原正方形的一整条边也落在第二个正方形上，有无数个交点，不符合要求， ∴当时，两个正方形恰好交于两个不同点，符合“恰有两点”的要求， 综上所述，m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $