广西崇左市江州区2025～2026学年度下学期第二阶段素质评价 八年级数学

**基本信息** 沪科版八年级下学期期中素质评价卷，以一元二次方程、勾股定理等为核心，通过基础题巩固抽象能力，创新题如“和谐方程”“勾股定理拓展探究”发展推理意识与应用意识，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|一元二次方程定义、二次根式意义、勾股定理应用|结合数轴（第9题）考查几何直观| |填空题|4/12|二次根式化简、方程根的性质|开放题（第14题）培养创新意识| |解答题|7/72|方程求解、几何证明、规律探究|“和谐方程”定义证明（第22题）发展推理能力，汽车出口增长率（第8题）体现数学与现实联系|

【沪科版】 2025~2026学年度下学期第二阶段素质评价 八年级数学 (全卷满分120分，考试时间120分钟) 注意事项： 1. 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2. 考生作答时，请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡),在本试卷、草稿纸上作答无效。 3. 不能使用计算器。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分。 在每小题列出的四个备选项中，只 有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。) 1. 若关于x 的方程ax²-2x-1=0 是一元二次方程，则a 的取值范围是 A.a≤0 B. a≠0 C.a≥0 D.a 为任意实数 2. 若式子 有意义，则实数x 的值可以是 A.-1 B.0 C.2 D.4 3. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 4. 小明运用配方法解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时发现所得结果有误，计算 开始出现错误的步骤为 2x²-4x=1 解：x²-2 x=1,……………………① x²- 2x+1=1+1, 即(x-1)²=2,……………………② x-1=±, ③ ∴x₁=1+,x₂=1- ④ A.① B.② C.③ D.④ 5. 若x₁,x₂ 是方程x²-2x-5= 0 的两个根，则3x₁+3x₂ 的值为 A.6 B.-6 C.10 D.-10 6. 若一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程(x-2)(x-4)=0 的根，则这个三 角形的周长为 A.11 B.13 C.11 或13 D.12 或 1 3 八年级数学评价二第1页(共4页) 7. 一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸(单位： mm) 可知两孔 中心A,B 之间的距离是 A.11 B.12 C.13 D.14 (第7题图) 8.根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国. 已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆.设7月至9月的平均增长率为 x, 则可列方程为 A.57.5(1+x)²=65.2 B.57.5(1+2x)=65.2 C.65.2(1-x)²=57.5 D.57.5(1-2x)=65.2 9.如图，长方形ABCD 的边AD 落在数轴上，A,D 两点在数轴上对应的数分别为-1 和 2 ,AB=1, 连接AC, 以 A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点E, 则 点E 在数轴上所表示的数为 A.3 B. ( (第9题图) )C.-1 D.2.2 10. 如图，在小正方形组成的网格中，有AB,CD,EF,GH 四条线段，下列选项中，能组成直 角三角形的三条线段是 A.AB,CD,EF B.AB,CD,GH C. AB,EF ,GH D.CD,EF,GH 11. 如 图 ，折叠长方形的一边AD, 使点D 落在边BC 的 点F 处，已知AB=8 cm,BC=10 cm, 则线段EF 的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 12. 已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x²+bx+k-1=0 的根的情况是 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 (第10题图) (第11题图) (第12题图) 南 (第15题图) 二 、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分。) 13. 化简：² = ▲ 14. 请写出一个有两个相等实数根的一元二次方程，该方程为_ ▲ _ 15. 如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一座抽水站A, 在水塔的东南方向24m 处有一个 建筑工地 B, 在 A,B 间建一条直水管，则水管的长为 ▲ _ · 16. 已知方程x²-5x-24=0 的两根分别为a 和 b, 则代数式a²-4a+b 的值为 ▲ _ · 八年级数学评价二第2 页 ( 共 4 页 ) 三、解答题(本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明或演算步骤。) 17. (本题满分8分，每小题4分) (1)计算： (2) 解方程：5x²-3x-2=0 18. (本题满分10分)如图，在△ABC中 ，CD⊥AB于 点D,AC=20,CD=12,BD=9. (1)求AB 的长； (2)判断△ABC的形状，并说明理由. (第18题图) 19. (本题满分10分)已知关于x 的方程x² +x+m²- 2 m=0 有一个实数根为-1,求它的另一 个根及m 的值. 20. (本题满分10分)根据学习“数与式”积累的经验，我们可以通过“由特殊到一般”的方法 探究下面二次根式的运算规律，观察下列各式： ① ( , )… (1)请举出一个符合上述运算规律的例子为 ▲ ; (2)如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述运算规律为 ▲ _; (3)用上述运算规律计算： 21. (本题满分10分)已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a,b 为方程 x²—mx+3m+6 =0的两个根. (1)求m 的值； (2)求直角三角形的面积和斜边上的高. 八年级数学评价二第3页(共4页) 22. (本题满分12分)定义：若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 满足b=a+c, 则称该方程为“和 谐方程”. (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ▲ _ ;(填序号) ①3x²+4x+1=0;②x²-2x-1=0:③2x²+2x=0: (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根， 求a, c 的数量关系. 23. (本题满分12分)【初步探究】 (1)如图①,分别以Rt△ABC 三条边为边向外作正方形，其面积分别用S,S₂,S₃ 表示.请写 出S₁,S₂,S₃ 之间满足的等量关系，并说明理由. 八年级数学评价二第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 ① ( ③ )② (第23题图) ④ 【类比探究】 (2)如图②,分别以Rt△ABC 三条边为直径向外作半圆，其面积分别用S₁,S₂,S₃ 表示，请写 出S₁,S₂,S₃ 之间满足的等量关系，并说明理由. 【探究应用】 (3)如图③,分别以Rt△ABC 三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S₁,S₂,S₃ 表示，则S₁,S₂,S₃ 之间满足的等量关系是 ▲ · 【拓展应用】 (4)如图④,在四边形ABCD中 ，AC⊥BD, 现以四边形ABCD的四条边为边向外作正方形， 其面积分别为S₁,S₂,S₃,S4. 请写出 S₁,S₂,S₃,S4 之间满足的等量关系，并说明理由. 2025~2026学年度下学期第二阶段素质评价【沪科版】 八年级数学参考答案 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D A A B C A C B C C 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。） 13． 14．（答案不唯一） 15．40 16．29 三、解答题（本大题共7小题，共72分。） 17.（1）解：原式= …………………………………………………2分 = 5-3-3 =-1. ……………………………………………………………………4分 （2） 解：a=5,b=-3，c=-2， ∴ ，…………………………………………………………2分 ，. ………………………………………………………4分 该题也可用因式分解法. 18.解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°，……………………………………………………1分 在Rt△ADC中， AC=20，CD=12，（第18题 图） 根据勾股定理得， =16. ………………………………3分 ∴AB=AD+BD=16+9=25. .…………………………………………………5分 （2）△ABC是直角三角形. 理由如下：…………………………………….…6分 在Rt△BDC中， CD=12，BD=9， 根据勾股定理得，=15，……………….…8分 在△ABC中， ， 即 ，根据勾股定理逆定理得， ∴∠ACB=90°， ∴ △ABC是直角三角形.…………………………………………………10分 19. 解：设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得， -1+x2=-1，解得，x2=0，……………………………………………………………4分 把x=-1代入方程得，，……………………………………………6分 解得，，. ∴方程的另一个根是0，m的值为0或2. …………………………………………10分 20.（1）；……………………………………………3分 此题答案不唯一，符合题意即可 （2） …………6分 （3）原式 …………………………………………………8分 .……………………………………………………………………10分 21. 解：（1）由题意得，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ，…………………………………2分 解得，，，…………………………………………………………4分 ∵ ∴ 不合题意舍去， 符合题意. ∴ m的值为14. ………………………………………………………………………5分 （2）∵，， ∴，……………………………………………………………………………6分 ∴该直角三角形的面积等于. ……………………………………………………8分 设斜边上的高为h，则有，即， ……………………9分 ∴斜边上的高等于4.8 . ………………………………………………………………10分 22.解：（1）① ③ …………………………………………………………………………………3分 （选对一个给1分） （2）证明：由△=b2-4ac ，b= a+c， ∵△=（a+c）2 -4ac ……………… ……………………………………………………4分 =a2+2ac+c2-4ac =a2-2ac+c2 =（a-c）2 ……… …………………………………………………………………6分 ∵（a-c）2≥0 ∴△≥0, ∴和谐方程总有实数根. …………………………………………………………………8分 （3）∵该方程有两个相等的实数根 ∴△=0 ，即b2-4ac=0. ………………………………………………………………9分 ∵方程为和谐方程， ∴ b= a+c， ∴（a+c）2-4ac=0，……………………………………………………………………10分 ∴ a2-2ac+c2=（a-c）2=0 ………………………………………………………………11分 ∴a=c, ∴a，c的数量关系为a=c.………………………………………………………………12分 23.解：（1）S1=S2十S3. ………………………………………………………………………1分 理由如下：在Rt△ABC中， 根据勾股定理得， , ………………………………………………2分 又∵,, ∴S1=S2+S3. ……………………………………………………………………………3分 （2）S1=S2+S3 …………………………………………………………………………4分 理由如下： ∵,,, ∴， ………………………………5分 又∵, ∴S1=S2+S3 .……………………………………………………………………………6分 （3）S1=S2+S3;；………………………………………………………………………8分 （4）S1+S3=S2+S4.理由如下: ………………………9分（第23题 图） 设AC与BD相交于点O， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠COD=∠BOC=90°. 在Rt△AOB中，, 在Rt△COD中，， 在Rt△BOC中，, 在Rt△AOD中，. ∴.……………………11分 ∴S1+S3=S2+S4.………………………………………12分 $